從試題、解題賞析走向“一題一課”教學
——以2016年溫州卷第23題為例

☉浙江樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學俞衛(wèi)勝

從試題、解題賞析走向“一題一課”教學
——以2016年溫州卷第23題為例

☉浙江樂清市大荊鎮(zhèn)第一中學俞衛(wèi)勝

近讀《中學數學》2016年10月初中版，江蘇省無錫市新區(qū)許燕老師針對2016年無錫卷第27題從考題與思路簡述、一題一課教學微設計、教后反思這三個方面進行了思考，筆者深受啟發(fā).恰巧2017年1月在溫州市初中數學初高銜接教研活動中，筆者就2016年溫州卷第23題進行了一題一課教學，得到聽課老師的一致好評.本文從考題、試題賞析與思路簡述及該課的教學設計，給出教后反思，供研討.

一、試題賞析與思路簡述

考題：（2016年浙江溫州，第

23題）如圖1，拋物線y=x2-mx-3（m＞0）交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內，BE⊥y軸，交y軸于點E，交AO的延長線于點D，BE=2AC.

（1）用含m的代數式表示BE的長.

圖1

（3）AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G.

①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值.

②連接AE，交OB于M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是________.

試題賞析：本題以動態(tài)的拋物線為背景，隨著m的改變，牽一發(fā)而動全身，充分考查學生的轉化能力，較好體現了數形結合的思想，同時滲透了動態(tài)中不變的量即點C始終不動.問題（1）的解法體現了拋物線的對稱性，但若學生沒有想到，仍然可以用“解析式求點”的方法求得點A的坐標，這樣就兼顧了大部分學生，真正體現不同層次學生可以用不同的方法解決問題.對于問題（2），關鍵要熟練掌握點坐標與解析式之間的轉換，進行由點求解析式和由解析式求點即兩點定線，兩線定點.綜合考查二次函數、一次函數、全等三角形等知識點，方法多樣，體現較好的區(qū)分度.問題（3）巧妙地將三角形面積與邊長建立聯(lián)系，層層遞進，考查學生的轉化能力，對學生的探究能力要求較高，在突出數學思想方法的理解與簡單應用的同時，將數學基礎知識、基本技能與能力的考查有機結合.

思路簡述：

（1）因為BE=2AC，只要將AC用含m的代數式表示即可.由CA⊥y軸可得A、C的縱坐標相同，即把y=-3代入拋物線的表達式，可得x=0或x=m.所以AC=m，則BE=2AC= 2m.

圖2

（2）（幾何法）當m=■3時，這個拋物線就確定下來了，只要求出點D的坐標就可以判斷點D是否落在拋物線上.BE=2AC=2，把x= 2代入拋物線y=x2-x-3，得y=3，即OE=3.容易證明△AOC≌△DOE，即得D（-，3）.把x=-代入y=x2-■3x-3，得y=3，所以點D落在拋物線上.

（3）①因為∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，可得四邊形ECAG是矩形，即EG=AC=BG.又FG∥OE，且EG=BG，所以EO=2FG.又因為·DE·EO=·GB·GF，則2DE=BG=

圖3

②（轉化法）過M作MN⊥BE交BE于點N，當S△BGF=S△AMF時，S△BGF+S四邊形EMFG=S△AMF+S四邊形EMFG，即S△BEM=S△AEG.又BE=2EG，所以對應高（2m2-3）］=m2.不難得到點N是EG的中點，可得BN=

另解：（解析法）由A（m，-3）、B（2m，2m2-3）、E（0， 2m2-3），得直線AE∶y=-2mx+2m2-3，直線OB∶y=則消去y，得解得，即點M的橫坐標為.因為△AMF的面積等于△BFG的面積，所以·（2m2-3），整理得2m4-9m2=0.又m＞0，則m=

二、“一題一課”教學微設計

教學目標：

1.回顧二次函數的相關內容：開口方向，圖像與坐標軸的交點，頂點，對稱軸等.

2.運用動態(tài)思維感受m值變化引起對應圖像變與不變的量，同時感悟m值變化引起點動、線動、三角形的數與形的變化.

3.通過動態(tài)演示，培養(yǎng)學生提出問題、解決問題的能力.

4.注重解題策略的多樣化及優(yōu)化思想.滲透數形結合、方程、分類討論、轉化等數學思想方法.

重點：感悟m值變化引起圖形的變化及兩個三角形數與形的探究.

難點：第（3）題②中思維含量比較高，解決起來具有一定的難度.

教學過程：

教學環(huán)節(jié)（一）創(chuàng)設情境回顧舊知.

問題：已知二次函數y=x2-2x-3的圖像（圖略），你能獲得什么信息？

師生活動：請一位學生說說，可以從開口方向，對稱軸，與坐標軸的交點，頂點，增減性等方面進行回顧，教師及時板書.

追問：將y=x2-2x-3中的系數2變成m（m＞0），則y=x2-mx-3對應的圖像哪些不變？（哪些變？）

【設計意圖】創(chuàng)設開放性的問題情境，切口小，入口寬，讓更多的學生參與進來，激發(fā)學生探究的興趣，將系數2變成m（m＞0），引入參數后，引導學生感受變與不變的量，培養(yǎng)學生動態(tài)思維能力.

教學環(huán)節(jié)（二）問題呈現引發(fā)思考.

問題：拋物線y=x2-mx-3（m＞0）交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內. BE⊥y軸，交y軸于點E，且BE=2AC.你能用含m的代數式表示圖中的線段嗎？

【設計意圖】通過線段的表示，進一步運用二次函數的相關知識，在表示AC長度時學生可能利用拋物線的軸對稱性得到，也可能用解析式求點的坐標，進而轉化為線段的長度，培養(yǎng)學生解題策略的多樣化.

教學環(huán)節(jié)（三）問題延伸嘗試提問.

追問：連接AO并延長交BE的延長線于點D.此時，有什么值得研究的問題？

師生活動：先讓學生展開動態(tài)思維的想象力，若有困難，教師可借助幾何畫板進行演示，在m值的變化過程中，感受圖形的變化.

預設：1.點D在拋物線上時，m的值是多少？

2.某兩條線段的長度相等時，求m的值.

3.△DEO與△AOC全等時，求m的值.

【設計意圖】在動態(tài)幾何中，引導學生嘗試提出一些可探究的問題，培養(yǎng)學生提出問題的能力，在學生回答的基礎上，引導學生提煉m變，引起點動、線動、形變（三角形），從而可探究點在某個特殊位置，一個三角形的形狀（等腰三角形或直角三角形），兩個三角形之間形（相似，全等）與數（面積）的關系.

教學環(huán)節(jié)（四）深入探究提升能力.

問題：剛才探究Rt△DEO與Rt△AOC兩者的問題，若AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G，出現了新的Rt△BGF，此時，Rt△DEO與Rt△BGF又有什么值得研究的問題呢？

追問：若連接AE，交OB于M，此時新的△AMF與△BGF面積相等時，m的值是多少？

【設計意圖】通過這兩個三角形數與形的探究，滲透轉化思想、分類討論的數學思想方法，引導學生從多角度、多渠道解決問題，體現方法的多樣化及優(yōu)化.

三、教后反思

思想決定行動，思路決定出路.“以生為本，以師為導”的教學理念決定教學行為，數學課堂注重思維的訓練，在問題設計中，通過設計開放性的問題情境，嘗試讓學生提出問題，并在問題解決中，注重一題多解，培養(yǎng)思維的發(fā)散性，同時滲透數學思想方法.

1.自主編題，完善學生的思維方式.

在教育改革不斷深入的今天，通過自主編題開啟學生自我思考之門，變被動做題到主動編題，變被動接受知識為主動獲取知識，從而進一步自覺學習和感悟數學，真正成為數學學習的主人，是對所學知識的靈活運用，是創(chuàng)新思維的提煉和升華，是新課堂所追求的至高境界.作為新時代的教師，只有長期堅持對學生的培養(yǎng)和訓練，才會使他們變成思維活躍、勤于觀察、善于思考、敢于發(fā)言、勇于創(chuàng)新的人，也只有這樣，我們的學生才會更自信，更樂于探究，我們的數學課堂才更富魅力！

2.關注學情，促成課堂的動態(tài)生成.

動態(tài)生成的前提是關注學情，孔子曰：因材施教！其實質就是關注學情！新課程標準強調：教師要能轉變教育觀念、教學方法；鼓勵學生質疑問題，探究思考；讓學生感受和體驗數學知識產生、發(fā)展和應用的過程；啟發(fā)學生發(fā)現問題和提出問題，善于獨立思考，使數學學習成為再發(fā)現、再創(chuàng)造的過程.教師在教學活動中要保持一種開放的心態(tài)，采取多種多樣的教學方法和手段，來促使學生充分展示自己的學習風采與個性.每一個學生都有發(fā)展的空間，具有進步的潛力，教師要積極鼓勵學生充分發(fā)揮自己的優(yōu)勢，彌補自己的不足.煥發(fā)學生的創(chuàng)新意識和主體意識，更好地激發(fā)學生的學習熱情，促進生成新的教學資源.

3.重視提煉，滲透數學的思想方法.

在復習課教學中，教師要及時引導學生進行提煉，提煉數學知識、思想方法、解題策略，挖掘動態(tài)問題中不變的量，同時要滲透各種數學思想方法.通過提煉、滲透，讓學生能夠從中理解知識點的內涵和外延，從反思過程中汲取經驗教訓，鞏固和擴大解題成果，進一步提升學生思維的深刻性.

四、寫在最后

初中數學復習課中，如果教師能夠從一個題目（一般是課本的例、習題和中考試題）出發(fā)，開放性地設計問題，鼓勵學生從多角度解決問題，并嘗試讓學生自主編題，提出問題，同時關注學情，動態(tài)生成，可讓課堂更加自然，流暢.在這樣一條復習主線下，提煉解題策略，挖掘數學本質，注重數學思想方法的滲透，真正讓數學復習課成為學生的主陣地，走出“題海戰(zhàn)術”的陰影，追求簡約卻不簡單的課堂，還學生時空，體現“一題一課”的價值，真正凸顯“以生為本”的教學理念.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.顧冷沅主編.初中數學教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2012.

3.吳立建.數學課堂中應重視引導學生提出問題［J］.數學通報，2013（7）.

4.趙萍萍.“一題一課”走向簡約的嘗試——以2014年廣東省中考第23題教育為例［J］.中學數學（下），2015（2）.

5.波利亞主編.數學的發(fā)現——對解題的理解、研究與講授［M］.北京：北京科學出版社，2016.

6.俞衛(wèi)勝.由博返約，追求簡潔——一堂“一題一課”復習課的思考［J］.中學數學（下），2016（11）.

7.許燕.從解題賞析走向教學研究——以2016年無錫卷第27題教育為例［J］.中學數學（下），2016（10）.

8.張合遠.追求自然、簡約、深刻的思維課堂——以直角三角形的性質復習課為例［J］.中學數學（下），2017（1）.

9.俞衛(wèi)勝.一題一課追求簡潔，貴在自然［J］.中學數學（下），2017（2）.