理解定義關(guān)聯(lián)概念，解后反思走向教學(xué)
——一道新定義考題的思路突破與教學(xué)思考

☉河南省鄲城縣教研室 于杰

☉河南省鄲城縣第二高級(jí)中學(xué)

理解定義關(guān)聯(lián)概念，解后反思走向教學(xué)
——一道新定義考題的思路突破與教學(xué)思考

☉河南省鄲城縣教研室 于杰

☉河南省鄲城縣第二高級(jí)中學(xué)

當(dāng)前流行的函數(shù)綜合題多是以常見(jiàn)的函數(shù)圖像（直線(xiàn)、曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）為背景，融入幾何基本圖形進(jìn)行一些演算或推證，難點(diǎn)往往在幾何構(gòu)造，與函數(shù)的性質(zhì)或本質(zhì)甚至沒(méi)有直接相關(guān)性，使得不少命題研究者將上述試題歸到所謂“偽坐標(biāo)系”“偽函數(shù)題”.本文結(jié)合一道北京海淀區(qū)中考模考的新定義題，講解思路突破，反思問(wèn)題結(jié)構(gòu)，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.為p時(shí)，其函數(shù)值等于p，則稱(chēng)p為這個(gè)函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時(shí)，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的不變長(zhǎng)度.特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不變值時(shí)，其不變長(zhǎng)度q為0.例如，圖1中的函數(shù)有0、1兩個(gè)不變值，其不變長(zhǎng)度q等于1.

圖1

圖2

一、考題及思路突破

考題：（2016年北京海淀區(qū)中考二模，第29題）對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)p，當(dāng)其自變量的值

（2）已知函數(shù)y=2x2-bx.

①若其不變長(zhǎng)度為0，求b的值；

②若1≤b≤3，求其不變長(zhǎng)度q的取值范圍；

（3）記函數(shù)y=x2-2x（x≥m）的圖像為G1，將G1沿直線(xiàn)x=m翻折后得到的函數(shù)圖像記為G2.函數(shù)G的圖像由G1和G2兩部分組成，若其不變長(zhǎng)度q滿(mǎn)足0≤q≤3，分析m的取值范圍.

理解新定義：在開(kāi)始求解具體問(wèn)題時(shí)，我們先對(duì)所謂的新定義進(jìn)行直觀(guān)理解，構(gòu)造圖2分析，作出直線(xiàn)y=x，與原函數(shù)圖像相交于點(diǎn)O（0，0）、A（1，1）.這樣新定義提及的所謂不變長(zhǎng)度就是兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差|yA-yO|=1-0=1.我們用初中生熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將問(wèn)題重新表述之后，有利于后面思路的講解與突破.

思路突破：

（1）有了上面的準(zhǔn)備工作，我們就可構(gòu)造出圖3~圖5直觀(guān)理解，直接看出答案：函數(shù)y=x-1沒(méi)有不變值；函數(shù)有-1和1兩個(gè)不變值，其不變長(zhǎng)度為2；函數(shù)y=x2有0和1兩個(gè)不變值，其不變長(zhǎng)度為1.

圖3

圖4

當(dāng)然，我們也可“離開(kāi)”圖形，從“數(shù)”的角度算出答案.比如，函數(shù)y= x-1與直線(xiàn)y=x聯(lián)立得方程組該方程組無(wú)解；類(lèi)似的，聯(lián)立得方程組可得交點(diǎn)（1，1）或（-1，

圖5

（2）①函數(shù)y=2x2-bx的不變長(zhǎng)度為0，就是將其與直線(xiàn)y=x聯(lián)立后的方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解,即一元二次方程2x2-bx=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)Δ= 0可解出b=-1.此時(shí)拋物線(xiàn)y=2x2+x與直線(xiàn)y=x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（0，0），符合不變長(zhǎng)度為0的要求.

由1≤b≤3，得1≤x2≤2.不變長(zhǎng)度為x2-x1，代入x2的極值,可分析出y=2x2-bx的不變長(zhǎng)度q的取值范圍為1≤q≤2.

（3）首先想清楚拋物線(xiàn)y=x2-2x與直線(xiàn)y=x交于點(diǎn)O（0，0）及A（3，3），這樣我們就可依次構(gòu)造出圖6~9的可能情況，注意圖象的虛像與實(shí)數(shù)是由自變量x≥m及對(duì)稱(chēng)（沿直線(xiàn)x=m翻折）后的實(shí)像與虛像.

圖6

圖7

在圖6中，當(dāng)m=3時(shí)，可見(jiàn)到此時(shí)新圖像G（兩個(gè)實(shí)像分支組合而成）與直線(xiàn)y=x恰交于一點(diǎn)A（3，3），此時(shí)不變長(zhǎng)度q為0.符合要求（0≤q≤3）.想象將直線(xiàn)x=m向右平移（m＞3），則新圖像G與直線(xiàn)y=x就沒(méi)有交點(diǎn)了，說(shuō)明m＞3時(shí)不合題意.

接下來(lái)將直線(xiàn)x=m向左平移，如圖7所示，1≤m＜3時(shí)，新圖像G與y=x交于點(diǎn)A（3，3），還有另一點(diǎn)B，在線(xiàn)段AO上，顯然此時(shí)不變長(zhǎng)度q滿(mǎn)足0≤q≤3，故1≤m≤3符合要求.

接著將直線(xiàn)x=m向左平移，0≤m≤1時(shí)，如圖8，新圖像G與y=x交于點(diǎn)A（3，3），還有另一點(diǎn)C，在AO的延長(zhǎng)線(xiàn)上，此時(shí)q＞3，與0≤q≤3矛盾.

圖8

圖9

繼續(xù)將直線(xiàn)x=m向左平移，如圖9，可以想見(jiàn)翻折后的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=x有一次相切的情況（圖9中點(diǎn)D），此時(shí)設(shè)該拋物線(xiàn)的解析式為y=（x-n）2-1，易得n=-，即此時(shí)y=（x+）2-1，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)m=-；就是說(shuō)，此時(shí)不變長(zhǎng)度q對(duì)應(yīng)著A、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，不符合0≤q≤3的要求.而當(dāng)直線(xiàn)x=m繼續(xù)向左平移時(shí)，新圖像G左側(cè)部分與直線(xiàn)y=x就沒(méi)有交點(diǎn)了，這樣不變長(zhǎng)度q又回到A、O兩點(diǎn)之間的縱坐標(biāo)之差，符合要求.則m＜-符合題意.

解后反思：這道新定義考題除了表述新定義時(shí)附了一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，下設(shè)小問(wèn)都沒(méi)有給出圖像，但是我們卻可以根據(jù)題意構(gòu)造出豐富的圖像輔助理解，體現(xiàn)了以形助數(shù)的解法特點(diǎn)，特別是最后一問(wèn)，需要結(jié)合直線(xiàn)x= m的位置，想清楚虛像、實(shí)像，并理解實(shí)像與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)的意義，這樣考查思考、函數(shù)圖像性質(zhì)的考題較好地達(dá)到了“多想少算”的命題風(fēng)格，值得點(diǎn)贊.

二、關(guān)于新定義考題的教學(xué)思考

在近幾年北京中考試題的引領(lǐng)下，北京各區(qū)七、八、九年級(jí)的把關(guān)題都積極跟進(jìn)，出現(xiàn)了大量?jī)?yōu)秀的新定義考題，引領(lǐng)了教學(xué)方向，重在啟發(fā)學(xué)生思考，學(xué)會(huì)思維，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，以下再?lài)@新定義考題的教學(xué)，提出一些初步的思考.

1.學(xué)會(huì)閱讀并準(zhǔn)確理解新定義是成功解題的起點(diǎn).

新定義考題開(kāi)始的幾段話(huà)或幾句話(huà)都是闡釋新定義的內(nèi)容，并會(huì)輔以必要的例子、圖形來(lái)解釋新定義，就像數(shù)學(xué)上很多描述性定義一樣（比如，形如……的式子稱(chēng)為分式）.在解答新定義考題時(shí)，不要急著看后續(xù)設(shè)問(wèn)，而應(yīng)該在閱讀理解新定義語(yǔ)句、字符時(shí)下足功夫，做到讀懂、讀通、讀順新定義中的每一個(gè)字句、每一個(gè)字符、圖形上的每個(gè)線(xiàn)條的特點(diǎn)、字母的特點(diǎn)、位置的特點(diǎn)等.我們見(jiàn)到不少同學(xué)不能順暢解答新定義考題，往往是對(duì)總題干中的新定義沒(méi)有能準(zhǔn)確理解所致.

2.善于將新定義相關(guān)概念與所學(xué)概念關(guān)聯(lián)、對(duì)比.

新定義考題常常是初中階段所學(xué)的一些概念穿靴戴帽、喬裝改扮而來(lái)，在閱讀理解新定義后，要結(jié)合題干中所舉的例子、圖形認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)所謂新定義與此前初中數(shù)學(xué)哪一個(gè)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)在何處.比如，上面考題新定義的本質(zhì)就與一次函數(shù)中正比例函數(shù)y=x相一致，只是包裝了一個(gè)說(shuō)法而已，接下來(lái)對(duì)于不同形式的函數(shù)，只要將其與y=x聯(lián)立成方程組解出它的解即可繼續(xù)分析.

3.解函數(shù)類(lèi)新定義題要注重“數(shù)形結(jié)合”的分析策略.

本文述及的考題是一道函數(shù)類(lèi)新定義題，下設(shè)幾個(gè)小問(wèn)雖然沒(méi)有給定圖像，但是解題時(shí)心中要有圖形意識(shí)，我們?cè)谏衔闹袠?gòu)造出多個(gè)圖形就是想傳遞數(shù)形結(jié)合分析策略，因?yàn)橹庇^(guān)的圖像理解有助于對(duì)問(wèn)題的思考，也是符合函數(shù)本質(zhì)的（函數(shù)的關(guān)系就是溝通數(shù)形關(guān)系）.特別是考題的最后一問(wèn)，我們構(gòu)造了圖6~圖9，試圖從動(dòng)態(tài)的角度直觀(guān)發(fā)現(xiàn)圖像G與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)情況，最容易忽略的就是圖9中有一次相切的情形，而這又對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的判別式為0.為了幫助學(xué)生更好地從數(shù)形結(jié)合的角度分析最后一問(wèn)，教學(xué)時(shí)可設(shè)計(jì)出如下的一些提示問(wèn)題：

問(wèn)題1：當(dāng)m=1時(shí)，畫(huà)出函數(shù)G的圖象；

問(wèn)題2：當(dāng)m=3時(shí)，指出函數(shù)G的圖像與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)；

問(wèn)題3：當(dāng)m=-1時(shí)，指出函數(shù)G的不變長(zhǎng)度q；

問(wèn)題4：函數(shù)G的不變長(zhǎng)度q滿(mǎn)足0≤q≤3，分析m的取值范圍.

四、寫(xiě)在后面

近年來(lái)在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》見(jiàn)到一些新定義考題的教學(xué)研討文章，多數(shù)集中在解法探討，深入到如何開(kāi)展新定義考題的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓更多優(yōu)秀的、抽象的新定義考題能以更生動(dòng)、形象的面貌呈現(xiàn)在課堂上，我們要做的研究還很多，本文只是由一道新定義考題述及一些初步思考，做得還不夠，期待今后繼續(xù)努力，研發(fā)新定義考題的“一題一課”.

1.甘曉云.以退為進(jìn)：挑戰(zhàn)新定義考題的有效策略——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

2.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究—以2016年無(wú)錫卷第27題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

3.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.鄭毓信.“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.