尺規(guī)作圖“倍立方”

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學(xué)劉志才

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學(xué)王壽云

尺規(guī)作圖“倍立方”

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學(xué)劉志才

☉江蘇鹽城市尚莊初級中學(xué)王壽云

一、倍立方問題

如圖1，已知正方體ABCD-EFGH.

用尺規(guī)求作：正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′，使得V正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′=2V正方體ABCD-EFGH.

二、作圖分析

圖2

假定正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′已經(jīng)作出，如圖2，設(shè)AB為1個(gè)單位長，則A′B′=個(gè)單位長.因此作出個(gè)單位長線段是解決問題的關(guān)鍵，這可借助平面直角坐標(biāo)系來求解.

設(shè)正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′的棱長為x個(gè)單位長，體積為y個(gè)單位長立方，則y=x3（x≥0）.我們知道，函數(shù)y= x3的圖像為一支曲線，點(diǎn)（，2）（記為點(diǎn)M）在這條曲線上，我們可以通過列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)圖像，進(jìn)而在圖像上確定出點(diǎn)M（，2），從而得到表示個(gè)單位長的線段.事實(shí)上，畫曲線時(shí)由于“連線”存在誤差，會導(dǎo)致點(diǎn)M的位置不準(zhǔn)確，根本的問題是這種方法不屬于尺規(guī)作圖的方法，用這種方法來求解顯然是錯誤的.但作直線時(shí)“連線”不存在誤差，如果點(diǎn)M在一條直線上，那么所求點(diǎn)M的位置就是準(zhǔn)確的，且所求得的個(gè)單位長線段才是尺規(guī)作圖所得.

圖3

通過上述方法處理后的曲線就顯得較為扁平、平滑了，但僅這一點(diǎn)還不夠，還需要在曲線上截取我們所需要的極小部分，以確保局部曲線直線化.方法是：找出左、右都逼近點(diǎn)M（，2）的點(diǎn)P和點(diǎn)Q.由于≈ 1.260，注意到是左、右逼近23■的較近的兩個(gè)值.這樣取值的目的，就是為了截取曲線中的極小部分，將PQ部分直線化，點(diǎn)M在PQ上，從而確保點(diǎn)M在直線PQ上.

通過以上兩次處理后，確保了點(diǎn)M在直線PQ上，接下來就是要確定點(diǎn)M在坐標(biāo)系中的準(zhǔn)確位置，在x軸上確定出表示個(gè)單位長的線段，從而作出所求正方體.

三、作圖實(shí)例

步驟1：作x軸垂直于y軸，垂足為O，在x軸上以已知正方體的棱長AB為x軸上的1個(gè)單位長，以個(gè)AB長作為y軸上的1個(gè)單位長作出平面直角坐標(biāo)系，如圖3.

說明：x軸上的單位長和y軸上的單位長不統(tǒng)一，這并不影響x軸上所有線段單位長的比值，也不會影響y軸上所有單位長的比值.隨著n值的逐步增大，曲線就顯得越來越扁平、平滑，就會有越來越多的點(diǎn)集中在同一條直線上.局部曲線直線化的范圍也同時(shí)被擴(kuò)大.

步驟3：在y軸上確定出表示2個(gè)單位長的點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HM垂直于y軸，交直線PQ于點(diǎn)M.

步驟4：過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N.

步驟5：以O(shè)N的長為所求正方體的棱長作出正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′，則正方體A′B′C′D′-E′F′G′H′為所求，如圖2.

說明：以上作圖都是在尺規(guī)作圖的范圍內(nèi)完成的，圖3中的曲線連接部分不屬于尺規(guī)作圖的范圍，只是直觀地作為輔助說明曲線直線化的道理及證明求解的需要.另外，圖1、圖2均為將所作實(shí)際圖形按一定比例縮小后的圖形.

四、后語

用以上方法作一個(gè)正方體，可分別為已知正方體的3倍、4倍、…、n倍，關(guān)鍵是要恰到好處地找出左、右都分別逼進(jìn)它們立方根的較近的兩個(gè)值，以確保局部曲線直線化.

尺規(guī)作圖的應(yīng)用，是學(xué)生對所學(xué)知識點(diǎn)自我的綜合考量與檢測，是一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動.學(xué)生必須要手腦并用，學(xué)會全面地、融匯貫通地進(jìn)行分析與疏理，從中找出解決問題的方法.當(dāng)然，我們還可以借助幾何畫板進(jìn)行演練，使學(xué)生從中找到樂趣，這對于愉悅學(xué)生的身心有一定的好處，它迎合現(xiàn)代教育的主流方向，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的有效途徑.