感悟基本圖形提升解題能力

☉江蘇泰州市第二中學(xué)附屬初中曹文喜

感悟基本圖形提升解題能力

☉江蘇泰州市第二中學(xué)附屬初中曹文喜

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的思維能力的一門科學(xué)，數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)，就是要研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科，它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一.在進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)，許多學(xué)生不能靈活解題，不會(huì)獨(dú)立思考，遇到復(fù)雜的圖形就束手無(wú)策，仍然靠通過(guò)做大量的習(xí)題來(lái)鞏固知識(shí)，這樣勢(shì)必加重了課業(yè)負(fù)擔(dān).我認(rèn)為在圖形教學(xué)中，要加強(qiáng)基本圖形的感悟.感悟就是對(duì)圖式進(jìn)行分析、抽象、提煉與概括，感悟就是從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，借助于基本圖形，使解題思路產(chǎn)生在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從而能輕松得到解決圖形問(wèn)題的辦法.這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，要善于總結(jié)歸納基本圖形，使學(xué)生在自己熟悉的圖形基礎(chǔ)之上逐步構(gòu)建知識(shí)，學(xué)會(huì)知識(shí)點(diǎn)的歸納、總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升學(xué)生的解題能力.

一、基本圖形的概念

基本圖形是指能夠反映一個(gè)或幾個(gè)定理的幾何圖形，或經(jīng)常使用的反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形.具體來(lái)說(shuō)可分為兩類，第一類是指幾何中的線段、角、相交線、平行線、垂線、三角形（包括等腰三角形、直角三角形）、四邊形（包括平行四邊形和梯形）、圓等；第二類是在教材對(duì)應(yīng)的例題、習(xí)題中發(fā)現(xiàn)的具有典型性的圖形.第一類基本圖形是第二類基本圖形的基礎(chǔ)，第二類基本圖形通常是由幾個(gè)第一類基本圖形組合而成的.

二、為什么要提煉基本圖形

1.在進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)生很難形成分析推理能力，不會(huì)獨(dú)立思考，遇到陌生的問(wèn)題就束手無(wú)策.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，如果只會(huì)解決自己做過(guò)、教師講過(guò)的問(wèn)題，不能獨(dú)立分析、解決問(wèn)題，那么思維能力是非常弱的.這樣的學(xué)生往往是通過(guò)大量的重復(fù)練習(xí)來(lái)提高成績(jī)，會(huì)有比較重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).

當(dāng)學(xué)生不會(huì)做題時(shí)，問(wèn)他在這幾分鐘進(jìn)行了哪些思考，不少人總是回答：不知道怎樣想，好像在這幾分鐘內(nèi)大腦沒(méi)有進(jìn)行任何活動(dòng)一樣.在進(jìn)行練習(xí)或考試時(shí)，不少學(xué)生只會(huì)做那些見(jiàn)過(guò)、做過(guò)的面孔熟悉的題目.一遇到陌生的問(wèn)題就不會(huì)思考，不會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化.甚至經(jīng)常有講過(guò)、做過(guò)幾遍的問(wèn)題，在考試中還不能解答的情況.有些學(xué)生，能記住相關(guān)內(nèi)容的文字表述，但不會(huì)根據(jù)具體圖形具體問(wèn)題具體分析，看到問(wèn)題不知道從何處著手思考.筆者深有感觸的是江蘇的中考特別是泰州的中考試卷，近幾年來(lái)，幾乎沒(méi)有什么所謂的很深的偏的幾何題，應(yīng)當(dāng)說(shuō)試題的命制基本都體現(xiàn)了新課標(biāo)要求下的教學(xué)導(dǎo)向，回歸教材找題源是試題命制常用的方法.對(duì)幾何題，我們總是從課本基本圖形入手，變換課本母題的條件和結(jié)論改編成一個(gè)新的題型來(lái)考查學(xué)生的逆向思維能力；或改變母題的條件使之從靜態(tài)變成動(dòng)態(tài)，命制一個(gè)符合課標(biāo)要求且具有創(chuàng)新性的題目，來(lái)考查學(xué)生的靈動(dòng)思維和應(yīng)變能力.因此對(duì)初中數(shù)學(xué)教師而言，特別是對(duì)畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教師而言，應(yīng)該好好研究教材，注重學(xué)生對(duì)基本圖形的感悟，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.

2.感悟基本圖形，提升解題能力的理論依據(jù).（1）建構(gòu)主義和最近發(fā)展區(qū)理論是本實(shí)踐研究的主要理論基礎(chǔ).通過(guò)建構(gòu)基礎(chǔ)知識(shí)的基本圖形和典型的基本圖形，便于學(xué)生在自己熟悉的知識(shí)的基礎(chǔ)上逐步地建構(gòu)知識(shí)，通過(guò)分析法和綜合法形成解決幾何問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的的思維能力.（2）圖式理論：德國(guó)心理學(xué)家巴特利特認(rèn)為，圖式是個(gè)體已有的知識(shí)結(jié)構(gòu).而知識(shí)結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)和實(shí)踐在人的心理，特別是在思維過(guò)程中形成的知識(shí)體系，這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)于個(gè)體認(rèn)識(shí)事物發(fā)揮著重要作用.感悟基本圖形就是在學(xué)生的頭腦中構(gòu)建種種圖式，在分析問(wèn)題時(shí)便于根據(jù)相關(guān)的聯(lián)系把圖式提取出來(lái)，有利于問(wèn)題的解決.

3.重視基本圖形的積累和感悟是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵.這里主要是指第二類基本圖形，它是在教材對(duì)應(yīng)的例題、習(xí)題中發(fā)現(xiàn)的典型例題，由幾個(gè)第一類基本圖形所構(gòu)成，可以認(rèn)為是基本圖形的組合體，在平時(shí)頭腦中多積累這些基本圖形，并通過(guò)對(duì)圖形的感悟，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力.借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.所以我們說(shuō)強(qiáng)化對(duì)基本圖形的感悟是提升學(xué)生解題能力，提高解決問(wèn)題效率的關(guān)鍵.

三、例談如何提煉基本圖形

運(yùn)用幾何基本圖形教學(xué)時(shí)，要注重幾何知識(shí)和基本圖形的雙向關(guān)聯(lián)作用.建立基本圖形與幾何知識(shí)的雙向關(guān)聯(lián)，是分析、解決問(wèn)題的先決條件，沒(méi)有這種基本的關(guān)聯(lián)，訓(xùn)練思維能力就缺少了必要的載體.教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中，要滲透這種理解、記憶幾何知識(shí)的方法.

在教學(xué)時(shí)要求學(xué)生能夠做到由定理（或概念）聯(lián)想圖形，由圖形聯(lián)想定理（或概念），實(shí)現(xiàn)直觀與抽象的有機(jī)轉(zhuǎn)換，從而促進(jìn)學(xué)生幾何思維能力的提升.對(duì)一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，我們一般能根據(jù)題目所給條件和結(jié)論直接得到基本圖形；若解決問(wèn)題有困難，要綜合考慮題目中的條件和結(jié)論，對(duì)圖式進(jìn)行分析、抽象、提煉與概括，從圖形中尋找基本圖形；若不能找到，則看有沒(méi)有某個(gè)基本圖形的一部分，然后根據(jù)條件或結(jié)論思考怎樣添加輔助線構(gòu)造出基本圖形.當(dāng)圖形比較復(fù)雜、不能把注意力集中在圖形的某個(gè)部分進(jìn)行思考時(shí)，可以考慮把圖形中對(duì)解決問(wèn)題有用的一部分分離出來(lái)，在圖形的旁邊重新畫(huà)出，以便更方便地進(jìn)行思考分析.另外，我們要特別注重分析基本圖形與數(shù)學(xué)思想方法相融合，分析問(wèn)題應(yīng)在基本的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下進(jìn)行.如無(wú)處不在的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.重要的是借助基本圖形，使解題思路產(chǎn)生在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).解決一個(gè)問(wèn)題有困難時(shí)可考慮把它轉(zhuǎn)化為其他問(wèn)題，轉(zhuǎn)化前后都應(yīng)考慮基本圖形.

1.在問(wèn)題圖形中直接提煉基本圖形.

圖1是很常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：由∠ABD=∠C，可得△ABD∽△ACB，從而可得AB2=AD·AC.

應(yīng)用：如圖2，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE= 2，ED=4.

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）延長(zhǎng)DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1

圖2

圖3

分析：（1）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，本圖形中有一相似的基本圖形（如圖3），根據(jù)題目中所給出的條件AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到∠ACB=∠D.

則∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB，則△ABE∽△ADB，則AB2=AE·AD=12.

（2）略.

圖4就是一個(gè)常見(jiàn)的基本圖形：易得△AED∽△BCE.

應(yīng)用：如圖5，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AB上運(yùn)動(dòng)，連接PC，作PQ⊥PC，垂足為P，已知AB=3，BC=2，設(shè)AP=x，△CDQ的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式和S的最小值.

圖4

圖5

分析：根據(jù)已知條件可得一對(duì)相似的基本圖形，即△APQ∽△BCP，則，即點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)時(shí)，S取得最小值

圖6也是很常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：

圖6

應(yīng)用：如圖7，直線l：y=-x+

14與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的一條直線l2與直線l1交于y軸上的同一點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P以每秒一個(gè)單位的速度由B向A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒兩個(gè)單位的速度由A向C運(yùn)動(dòng).

圖7

（1）求直線l2的解析式；

（2）點(diǎn)A到直線l2的距離為多少？

（3）求證：在線段BC上一定存在點(diǎn)E，使∠PEQ=∠B.分析：（1）和（2）略.

設(shè)BE=x，BP=t，AQ=2t，則CQ=5-2t.

2.通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造基本圖形來(lái)解決問(wèn)題.

有些幾何問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的幾何圖形中，圖形不夠完善，要添加輔助線構(gòu)造對(duì)應(yīng)的基本圖形.

應(yīng)用：如圖8，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的圓O交BC于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，交圓O于點(diǎn)F，連接DF，∠CAE=∠ADF.

（1）判斷AB與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若PF∶PC=1∶2，AF=5，求CP的長(zhǎng).

圖8

圖9

分析：這是泰州市2016年的一道中考題，題目的原型來(lái)自于蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)（下），第（2）題的得分率很低，好多平時(shí)比較優(yōu)秀的學(xué)生在此題上花費(fèi)了很多時(shí)間都沒(méi)有做好，原因是學(xué)生的思維過(guò)度發(fā)散，解題的思路不在最近發(fā)展區(qū).其實(shí)根據(jù)條件和結(jié)論進(jìn)行綜合分析，發(fā)現(xiàn)連接FC，構(gòu)造如圖9所示的基本圖形才是解題的關(guān)鍵！

∠CAE=∠ADF，由題（1）可證得∠ADF=∠PCF.

則∠CAE=∠PCF.又∠P=∠P，則△PCF∽△PAC，則PC2=PF·PA.設(shè)PF=x，則PC=2x，則（2x）2=x·（x+5），解得x=，則CP的長(zhǎng)為.

特別要強(qiáng)調(diào)的是，有些題目所提供的圖形容易使人產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)，這就要求我們有所“感悟”，要有敏銳的幾何直觀，要根據(jù)題意，綜合考慮已知條件，添加正確的輔助線構(gòu)造正確的基本圖形.

比如：圖10是典型的屬于第一類的有關(guān)角平分線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的基本圖形.

圖10

應(yīng)用：如圖11，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求證：∠B+∠D=180°.

圖11

圖12

圖13

在平時(shí)的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生的第一感覺(jué)是延長(zhǎng)AD、BC相交于E（如圖12），如果作以上的輔助線就走入了誤區(qū)，因?yàn)槲覀儫o(wú)法證明△ABC≌△AEC，正確的方法應(yīng)是過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F（如圖13）.由AC平分∠BAD，得CE=CD.又BC=CD，則Rt△CBE≌Rt△CDF，則∠B=∠CDF.又∠CDF+∠CDA=180°，則∠B+∠CDA=180°.

我們?cè)谏厦嬷v過(guò)圖4所示的基本圖形，但有些題目中并沒(méi)有出現(xiàn)這種圖形，這就要求我們根據(jù)題中的已知條件構(gòu)建這種基本圖形來(lái)解決問(wèn)題.

應(yīng)用：如圖14，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，如圖，折痕為FG，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在長(zhǎng)方形內(nèi)部，E到AD的距離ME為2cm，且BG=10，求FH的長(zhǎng).

圖14

圖15

分析：延長(zhǎng)ME與BC邊交于N，立即就可以發(fā)現(xiàn)如圖16所示的基本圖形，則△MEO∽△NGE.由題意可知EM=2，則EN= 6.

在Rt△EGN中，由勾股定理，得GN=8.

圖16

當(dāng)然，也可以連接FB、FE，根據(jù)FB=FE，求得結(jié)果.

總之，通過(guò)建構(gòu)基礎(chǔ)知識(shí)的基本圖形和典型的基本圖形，便于學(xué)生在自己熟悉的知識(shí)的基礎(chǔ)之上構(gòu)建知識(shí)，通過(guò)對(duì)基本圖式的感悟，即對(duì)圖形進(jìn)行分析、抽象、提煉與概括，既可以幫助學(xué)生活化幾何知識(shí)，提高圖形的認(rèn)知水平；還能在解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，有效提取經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)正向遷移.這種把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本圖形的問(wèn)題，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的基本圖形的問(wèn)題的方法，正是數(shù)學(xué)思想之所在.我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)化對(duì)基本圖形的感悟，不斷地提升學(xué)生的解題能力.