強(qiáng)化分析引導(dǎo)注重方法積累提升學(xué)習(xí)素養(yǎng)
——初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的探索與實(shí)踐

☉江蘇張家港市港區(qū)初級(jí)中學(xué) 王維英

強(qiáng)化分析引導(dǎo)注重方法積累提升學(xué)習(xí)素養(yǎng)
——初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的探索與實(shí)踐

☉江蘇張家港市港區(qū)初級(jí)中學(xué) 王維英

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，數(shù)學(xué)研究的過程就是解決問題的過程，數(shù)學(xué)研究的成果也都是用問題及其解決的形式記錄下來的.數(shù)學(xué)教學(xué)有重視解題的優(yōu)秀傳統(tǒng)，人們相信，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題.事實(shí)也是如此，只有充分掌握了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)方法和一定的解題技巧，才能真正應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.因此，作為數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中既要重視數(shù)學(xué)的基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)的傳授，也要加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題方法、技能的教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念、鞏固知識(shí)、掌握方法、積累解題經(jīng)驗(yàn)，形成一定的解題技巧，提高數(shù)學(xué)教與學(xué)的有效性.以下是本人對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)探索與實(shí)踐的幾點(diǎn)體會(huì)，與廣大一線教師分享，期望對(duì)一線教師的解題教學(xué)有所幫助.

一、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的鏈接，激活自身的知識(shí)儲(chǔ)備

數(shù)學(xué)解題的過程，實(shí)際上就是知識(shí)鏈接的過程，需要學(xué)生充分調(diào)動(dòng)自身的知識(shí)儲(chǔ)備，實(shí)現(xiàn)知識(shí)由此及彼的相互轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化.如果將題目中提供的相關(guān)條件看作信息源，那么由此展開的所有信息輻射，就是對(duì)學(xué)生原有知識(shí)的激活.而這里所說的“激活”，指的就是知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，從而形成新的思維鏈，促使學(xué)生在新的思維過程中獲得啟迪，提高學(xué)生的解題能力.

例1已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），且圖像過點(diǎn)（-3，-2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【分析引導(dǎo)】通過已知條件可以看出，這是一道求二次函數(shù)解析式的題目.教師在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，要從已知條件開始入手，引導(dǎo)學(xué)生選擇合理的解析式.已知函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3），所以應(yīng)選用頂點(diǎn)式，這樣只需要將點(diǎn)（-3，-2）代入y=a（x+2）2-3，求得a的值，從而確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式，減少了計(jì)算步驟，提高了解題的正確率.

【教學(xué)思考】通過上述問題的求解，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想利用“待定系數(shù)法”求解函數(shù)解析式的四部曲：①設(shè)，即設(shè)解析式；②列，即列方程或方程組；③解，即解方程或方程組；④代，即代到相關(guān)解析式中.利用這種聯(lián)想思維，可以將相關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起，構(gòu)成一系列微型的知識(shí)體系，為學(xué)生形成正確的解題思路鋪路架橋.因此，數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，一定要注重培養(yǎng)學(xué)生由此及彼、由淺入深、由果及因的聯(lián)想思維，充分激活學(xué)生所有的知識(shí)儲(chǔ)備.

二、正確利用數(shù)學(xué)概念的思辨，掌握基本的解題方法

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都比較抽象，學(xué)生理解起來比較困難.

概念的辨析是進(jìn)一步深化對(duì)概念的理解最有效的途徑，通過適當(dāng)?shù)淖兪?、概念形式的變形或不同概念之間相互關(guān)系的比較以實(shí)現(xiàn)對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)知.在此過程中，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)、激發(fā)學(xué)生的思維靈感、記錄他們思維的過程、展示他們思維的結(jié)果，從而可以大大地提高學(xué)生的思維品質(zhì).為此，教師要通過探究方式進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生利用好數(shù)學(xué)概念的思辨，把握基本的解題方法和策略.

【分析引導(dǎo)】若將一個(gè)分式方程去分母后得到的整式方程是一元一次方程，那么，分式方程的無解就有如下兩種可能：一是這個(gè)一元一次方程無解；二是這個(gè)一元一次方程的解是原方程的“增根”.上述方程可化為2（x+2）-mx-2=3（x-1），整理，得（m+1）x=5.若原方程無解，需要考慮兩種情形：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，方程（m+1）x=5無解，此時(shí)，原方程也無解；（2）當(dāng)m≠-1時(shí)，方程（m+1）x=5有解，為，由題意得是原方程的增根，所綜上所述，當(dāng)

【教學(xué)思考】概念的應(yīng)用是概念鞏固的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的外化過程.在這個(gè)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生將原有的知識(shí)系統(tǒng)與新知識(shí)進(jìn)行整合與內(nèi)化，找到概念間的異同與內(nèi)在聯(lián)系.更要讓學(xué)生運(yùn)用比較、分析、假設(shè)、推理等多種思維方式，進(jìn)行新、舊概念間的比較、歸類、整合，修正原有知識(shí)體系中的謬誤，建立知識(shí)與應(yīng)用之間的橋梁，提高知識(shí)的應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵與外延的理解.通過充分的外化過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化.

三、合理采用化繁為簡(jiǎn)的方式，把握適當(dāng)?shù)慕忸}技巧

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，非常注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的教學(xué)與傳授.因此，學(xué)生基本知識(shí)的積累比較好，基本解題方法就掌握得比較牢固.在解題教學(xué)和學(xué)生的練習(xí)題中，大多數(shù)問題是緊緊圍繞當(dāng)堂課的教學(xué)內(nèi)容設(shè)置的.但是，為了培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，提高學(xué)生的綜合能力，訓(xùn)練學(xué)生的多元化思維意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散式、創(chuàng)新性的思維方式，有些習(xí)題的設(shè)置往往會(huì)將前后知識(shí)進(jìn)行綜合，凸顯比較多的難點(diǎn)，促使學(xué)生必須采用多樣化思維方式，才能作出正確的解答.

例3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，7），與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，若|x1-x2|=3，并且該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【分析引導(dǎo)】本題的難點(diǎn)在于條件“|x1-x2|=3”的使用，如果直接利用求解的話，一是需要用到韋達(dá)定理，超出了課標(biāo)的要求，二是運(yùn)算量非常大，難以求得正確的結(jié)果.若利用“|x1-x2|=3”，結(jié)合“圖像的對(duì)稱軸為直線x=1”，我們就會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點(diǎn)這樣的條件轉(zhuǎn)化需要學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、很強(qiáng)的幾何直觀能力.于是我們可以設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)（-1，7）的坐標(biāo)代入得a=4，所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為

【教學(xué)思考】著名的數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“當(dāng)原問題看起來不可解時(shí)，人類的高明之處就在于會(huì)迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助問題.”采用化繁為簡(jiǎn)的解題策略，不但大大提高了學(xué)生的解題速度，而且有效培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，更有利于提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

四、注重培養(yǎng)正反轉(zhuǎn)化的意識(shí)，提高學(xué)生的解題能力

一般情況下，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，都習(xí)慣從已知條件出發(fā)進(jìn)行順向思考，然而，事物往往具有可逆性特征，很多事物都是互為因果的.如果在順向思維出現(xiàn)阻礙時(shí)，應(yīng)考慮逆向思維.因此，教師要指導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用順向思維解決問題出現(xiàn)困難時(shí)，可以考慮從問題的對(duì)立面（反面）進(jìn)行思考，適度地掌握逆向思維的解題策略，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)素養(yǎng).

例4已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+a=0和x2+ 2ax+3=0，若這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【分析引導(dǎo)】我們把x2+2x+a=0記為方程①，x2+2ax+ 3=0記為方程②.如果從正面考慮這一問題，需要從三個(gè)方面來考慮：（1）方程①有實(shí)數(shù)根，并且方程②無實(shí)數(shù)根；（2）方程①無實(shí)數(shù)根，并且方程②有實(shí)數(shù)根；（3）方程①和②都有實(shí)數(shù)根，計(jì)算過程較為復(fù)雜.如果從“至少有一個(gè)”的反面“一個(gè)都沒有”來進(jìn)行論證，那么情況就變得簡(jiǎn)單多了.解答過程如下：假設(shè)方程①和②都沒有實(shí)數(shù)根，則Δ1=4-4a＜0，Δ2=4a2-12＜0，解此不等式組得到1＜由此可知，符合題意的a的取值范圍是：a≤1或

【教學(xué)思考】逆向思維在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，靈活地應(yīng)用它，不但可以簡(jiǎn)化解題過程，降低解題難度，巧獲解題結(jié)果，而且對(duì)于鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，是大有裨益的.對(duì)于以下命題，往往需要從反面開始思考：①結(jié)論為否定形式的命題；②結(jié)論以“至多”“至少”“唯一”等形式出現(xiàn)的命題.因此在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們必須有意識(shí)、有計(jì)劃地滲透和強(qiáng)化逆向思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生自覺應(yīng)用逆向思維的意識(shí)和能力，幫助學(xué)生優(yōu)化解題方法、提升解題能力、完善思維品質(zhì).

五、利用一題多變的途徑，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的示范輻射

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們常常會(huì)對(duì)題目中的條件及結(jié)論進(jìn)行更改，也就是通過增加或減少條件、加強(qiáng)或削弱結(jié)論、改變圖形的位置或形狀、變換圖形折疊或旋轉(zhuǎn)的方式等，將原來的題目進(jìn)行變化，將知識(shí)或者方法進(jìn)行拓寬、引申，這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的新鮮感，并會(huì)激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生主動(dòng)去探索變化后題目之間的變化與聯(lián)系，尋求一定的規(guī)律，在這個(gè)過程中自然而然也就實(shí)現(xiàn)了學(xué)生解題能力的提高.

例5如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的點(diǎn)F處，求CE的長度.

圖1

圖2

圖3

變式1：如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，將△ADC沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，AF與BC相交于點(diǎn)E，求CE的長度.

變式2：如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，將梯形CDFE沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在矩形ABCD外部的點(diǎn)G處，求CE的長度.

【分析引導(dǎo)】圖形的折疊問題是中考的熱點(diǎn)之一，這類問題涉及的知識(shí)比較多、綜合性比較強(qiáng)、能力要求比較高.解題時(shí)，首先要弄清折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化，如何通過圖形，探究數(shù)量關(guān)系，利用方程解決問題.在圖1的折疊中，我們很容易發(fā)現(xiàn)AD= AF=10，進(jìn)而可以利用勾股定理求得BF=8，所以CF=2，假設(shè)CE=x，則DE=6-x，在Rt△CEF中再利用勾股定理，可得x2+4=（6-x）2，解得即CE的長度為.圖形的折疊問題題型比較多，相互之間聯(lián)系比較緊密，解法也比較相似.因此，這類問題往往有較多的變式、拓展，通過比較發(fā)現(xiàn)共性，尋求解題的方法和規(guī)律.在圖2的折疊中，假設(shè)CE=x，則BE=10-x，可以利用三角形的全等或平行線的性質(zhì)，證得AE=CE，在Rt△ABE中再利用勾股定理求得x的值，即CE的長度.在圖3的折疊中，假設(shè)AF=x，則BF=DF=10-x，在Rt△ABF中利用勾股定理求得x的值，即AF的長.利用折疊和平行線的性質(zhì)，證得BE=BF，所以CE=AF，從而解決CE的長度.讀者不妨一試.

【教學(xué)思考】對(duì)一題變出的多個(gè)題目，學(xué)生通過多角度、多側(cè)面的探求，使自己在變化的相互比較中，思維能力迅速提高.課本中的不少題目看似平常，實(shí)際上卻蘊(yùn)藏著極其豐富的外延和內(nèi)涵.教學(xué)中，如對(duì)這些命題進(jìn)行變換和延伸，誘導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面、多層次探索和聯(lián)想，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，不僅會(huì)增加學(xué)生的知識(shí)信息獲取量，加深對(duì)原題的理解，而且能在“改變”中激活學(xué)生的思維廣闊性、探究性和創(chuàng)造性，潛化創(chuàng)新意識(shí).有效地進(jìn)行一題多變教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一.

六、注重避虛就實(shí)的策略，提升學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

我們知道，許多數(shù)學(xué)知識(shí)是以公式、定理、法則等形式呈現(xiàn)的.因此，有些數(shù)學(xué)問題的條件可以根據(jù)公式、定理、法則相互轉(zhuǎn)換.在解答這類數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以盡量避開題中變化的量和關(guān)系，而從不變的量和關(guān)系去尋求突破，從而達(dá)到以不變應(yīng)萬變的效果.

例6已知凸n邊形所有內(nèi)角中，恰好有3個(gè)鈍角，求邊數(shù)n的最大值.

【分析引導(dǎo)】對(duì)于這個(gè)問題，由于多邊形內(nèi)角和是隨著邊數(shù)的變化發(fā)生變化的，因此，我們利用凸n邊形內(nèi)角和等于（n-2）·180°，難以找到突破口，無法求解.如果將內(nèi)角的問題轉(zhuǎn)化為外角問題，解決起來就容易多了，因?yàn)槿魏瓮筺邊形的外角和是不變化的.利用有3個(gè)鈍角的n邊形有3個(gè)外角是銳角，而其余外角都是直角或鈍角，又因外角和是360°，所以外角最多還有3個(gè)，這樣多邊形最多有6個(gè)外角，所以邊數(shù)n的最大值是6.

【教學(xué)思考】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確指出：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法的靈魂，是形成學(xué)生的良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.因此，解題教學(xué)中應(yīng)注重避虛就實(shí)的策略，實(shí)現(xiàn)以不變應(yīng)萬變的教學(xué)效果，提高學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

提升初中學(xué)生的解題能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，是教育、教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，教師應(yīng)該給予足夠的重視.一要重視基礎(chǔ)知識(shí)的傳授、基本方法的教學(xué)，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的解題方法，形成自身的數(shù)學(xué)思維；二要作好課前準(zhǔn)備，預(yù)想學(xué)生會(huì)遇到的困難，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換位思考，制定好切實(shí)、有效的解決方案；三是在對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)時(shí)，既要充分調(diào)動(dòng)好學(xué)生的積極性，又要保護(hù)學(xué)生的情緒.通過教師的精心安排和系統(tǒng)組織，真正使學(xué)生形成合理、穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過提高素質(zhì)、提升能力來提高學(xué)習(xí)成績(jī)，讓初中階段的學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生培養(yǎng)人格、塑造人生的重要階段.