對(duì)一道課本例題的變式教學(xué)

☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 鄧珍珍☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 張新全

對(duì)一道課本例題的變式教學(xué)

☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 鄧珍珍
☉合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 張新全

扎根于課本的數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過(guò)不同角度、不同側(cè)面、不同情形、不同背景的變化，使學(xué)生有效地加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，再?gòu)摹安蛔儭敝刑角笠?guī)律.數(shù)學(xué)變式教學(xué)不僅很好地解釋了“中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論”，而且其一題多變、一題多解、多題歸一（一法多用）和一題多用的變式給學(xué)生以新鮮感，增加了學(xué)習(xí)興趣，減輕了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高了教學(xué)有效性，培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維品質(zhì).下面是我們對(duì)一道課本例題進(jìn)行的變式教學(xué)設(shè)計(jì).

題目：（滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)等腰三角形課后例題）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、E是底邊上兩點(diǎn)，BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數(shù).

思路：通過(guò)分析條件，很容易想到從三角形內(nèi)角和為180°與等腰三角形底角相等出發(fā)，盡可能多地求出圖中角的度數(shù)，最終求出所求角的度數(shù).

圖1

因?yàn)锽D=AD，所以∠BAD=∠B=30°.

同理可得：∠CAE=∠C=30°.

所以∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30° =60°.

一、改變條件，抓住本質(zhì)

變式1：本例去掉條件AB=AC，能否求得∠DAE的度數(shù)？

思路：去掉條件AB=AC，我們不再知道∠BAD和∠EAC分別是多少度，但由等邊對(duì)等角可知∠BAD+∠EAC=∠B+∠C=180°-120°=60°.

所以∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=120°-60°= 60°.

可見(jiàn)原題中的條件“AB=AC”是多余的，變式1從特殊的等腰三角形ABC推廣到一般的三角形ABC，但只要保持本質(zhì)屬性不變，結(jié)論仍然成立.這種變式有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的形成.

變式2：已知：如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，D、E是BC邊上兩點(diǎn)，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數(shù).

答案：∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=90°-90°= 0°.

此時(shí)，AD與AE重合.

變式3：已知：如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，D、E是直線BC上兩點(diǎn)，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數(shù).

答案：∠DAE=（∠BAD+∠CAE）-∠BAC=120°-60°=60°.

變式2、3不斷地變換條件的層次，將原題條件∠BAC=120°分別變?yōu)椤螧AC=90°、∠BAC=60°，而且變式2、3強(qiáng)調(diào)了∠DAE與∠BAD+∠CAE、∠BAC的關(guān)系.這樣不但活躍了學(xué)生的思維，還將知識(shí)、能力和思維方法在更多的新情境中反復(fù)滲透，達(dá)到了深化、升華的效果.

圖2

圖3

二、條件一般化，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律

“一般化”是構(gòu)造變式題的一種重要方法，如果∠BAC的度數(shù)未知，那么∠DAE與∠BAC有何關(guān)系？于是，我們得到如下變式：

變式4：已知：在△ABC中，∠BAC=α，點(diǎn)D、E是直線BC上的兩點(diǎn)，且BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度數(shù).

解析：因?yàn)锽D=AD，所以∠BAD=∠B.同理可得∠CAE=∠C.

（1）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，

∠DAE=（∠BAD+∠CAE）-∠BAC=（∠B+∠C）-∠BAC=（180°-α）-α=180°-2α.

（2）當(dāng)90°≤α＜180°時(shí)，

∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=∠BAC-（∠B+∠C）=α-（180°-α）=2α-180°.

綜上可得：∠DAE=|180°-2α|.

變式4實(shí)際上是對(duì)前三個(gè)變式的歸納總結(jié)，變常量為變量.對(duì)于上述演變過(guò)程，我們可以利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示給學(xué)生看.以課本例題為“鑰匙”，通過(guò)改變條件，引申探究，加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，可以提高學(xué)生自覺(jué)鉆研書(shū)本例、習(xí)題的積極性.

三、改變背景，訓(xùn)練思維

變式5：已知：如圖4，在△ABC中，∠BAC=120°，D、E是直線BC上兩點(diǎn)，且AB=BD，AC= CE.求∠DAE的度數(shù).

解析：因?yàn)锳B=BD，所以∠BDA=∠BAD.同理可得∠AEC=∠CAE.又因?yàn)椤鱁AD的內(nèi)角和為180°，所以∠AEC+∠BDA+∠EAD=∠CAE+∠BAD+∠EAD=180°.∠BAD+∠CAE=∠BAC+∠EAD=120°+∠EAD.

因此120°+2∠EAD=180°，則∠EAD=30°.

在解題教學(xué)的思維訓(xùn)練中，通過(guò)改變問(wèn)題背景進(jìn)行變式訓(xùn)練是一種很有效的方法.通過(guò)改變條件，可以讓學(xué)生對(duì)不同條件的情況作出正確的分析；通過(guò)改變結(jié)論可以培養(yǎng)學(xué)生推理、探索的思維能力，使學(xué)生的思維更加靈活和嚴(yán)密.類(lèi)比以上變式，引導(dǎo)學(xué)生自主參與變式，能不能使條件一般化“令∠BAC=α”，對(duì)參數(shù)α進(jìn)行討論，得出一般規(guī)律？學(xué)生探究有困難時(shí)，可適當(dāng)予以提示：點(diǎn)D、E可以在線段BC上，也可以在其延長(zhǎng)線上，甚至可以重合.最后，利用幾何畫(huà)板向?qū)W生演示動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程.

變式6：已知：在△ABC中，∠BAC=α，D、E是直線BC上兩點(diǎn)，且AB=BD，AC=CE.求∠DAE的度數(shù).

圖4

四、因果互換，逆向思維

把∠DAE與∠BAC的地位交換，即∠DAE的度數(shù)是已知的，其他不變，是否可求∠BAC的度數(shù)？

變式7：在△ABC中，D、E是直線BC上兩點(diǎn)，且BD= AD，CE=AE，∠DAE=60°.求∠BAC的度數(shù).

解析：因?yàn)锽D=AD，所以∠BAD=∠B.同理可得∠CAE=∠C.

（1）當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)（如圖5），因?yàn)椤螧AC=∠BAD+∠EAD+∠CAE，∠EAD=60°，所以∠BAC=∠B+∠C+60°.又因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角和為180°，所以∠B+∠C+∠BAC= 2（∠B+∠C）+60°=180°，則∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=60°，則∠BAC=120°.

圖5

圖6

（2）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)：

①當(dāng)D、E其中一點(diǎn)在線段BC上，另一點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3）.因?yàn)椤螮AD=∠EAC+∠CAD=60°，△ABC的內(nèi)角和為180°，所以∠B+∠BCA+∠BAC=180°=∠B+∠BCA+∠BAE+∠EAC=∠B+2∠BCA+∠BAE，則180°+∠EAD=∠B+2∠BCA+∠BAE+∠EAC+∠CAD= 2（∠B+∠BCA）=240°，所以∠B+∠BCA=120°，則∠BAC= 60°.

②當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖6）.∠EAD=∠EAB+∠BAC+∠CAD=60°，∠ABC=∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠ECA=∠CAE=∠CAB+∠BAE.又△ABC的內(nèi)角和為180°，即∠ABC+∠BCA+∠BAC=180°，所以180°+∠EAD=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠EAB+∠BAC+∠CAD=2（∠ABD+∠ECA）=240°.故∠ABD+∠ECA=120°，則∠BAC=60°.

綜上可得，∠BAC=60°或∠BAC=120°.

逆向變式，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.分類(lèi)討論，可以鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

課本上的例題、習(xí)題都是教材編寫(xiě)者精心編排的，教師應(yīng)該扎根課本，抓住知識(shí)的本質(zhì)，對(duì)課本例題、習(xí)題進(jìn)行多角度的變式教學(xué).從而“把冰冷的美麗化為火熱的思考”，既能減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，也能增強(qiáng)課堂教學(xué)的有效性，不斷提高學(xué)生的思維能力.