一圖一世界，一法通一片

☉江蘇如皋市東陳鎮(zhèn)雪岸初級(jí)中學(xué) 陶成龍

一圖一世界，一法通一片

☉江蘇如皋市東陳鎮(zhèn)雪岸初級(jí)中學(xué) 陶成龍

眾所周知，中考數(shù)學(xué)壓軸題難度偏大，承載著區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)水平與選拔人才的功能.這一類(lèi)題重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題的能力.筆者有幸參與了2015年南通市中考數(shù)學(xué)網(wǎng)上閱卷工作，當(dāng)時(shí)評(píng)閱的正是壓軸題第28題，發(fā)現(xiàn)此題的命題思路似曾相識(shí).筆者查閱研究了近5年南通市中考數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題，發(fā)現(xiàn)此題與2012年南通中考第28題、2014年南通中考第28題和2015年南通中考第10題似乎在演“連續(xù)劇”，的確有點(diǎn)兒“純屬巧合”.現(xiàn)撰文回顧，供大家參考.

一、試題呈現(xiàn)

題目：（2015年南通中考第28題）已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，直線l：y=x-1.

（1）略；

（2）當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，∠ACM=∠PAQ（如圖1），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）略.

圖1

圖2

參考答案：（2）如圖2，當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線的解析式為y=x2+6x+5，可以求出A（-5，0）、C（0，5）、P（-3，-4）、Q（-2，-3），作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，證明Rt△CME∽R(shí)t△PAF，利用相似得x2+6x+5），則解得x1=0（舍去），x2=-4，于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，-3）.

點(diǎn)評(píng)：本題參考答案添加了3條輔助線，而添加輔助線對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，更何況添加了3條之多，解法有點(diǎn)兒唐突、生硬，其次發(fā)現(xiàn)并證明Rt△CME與Rt△PAF相似并不容易.在閱卷的過(guò)程中，考生的答題情況與我預(yù)估的情況差不多，采用這種方法解題的少之又少，當(dāng)時(shí)我一邊閱卷一邊在想，解決這個(gè)題目有沒(méi)有更好的方法？有沒(méi)有一種解法是學(xué)生能夠自然而然想到的？學(xué)生根據(jù)A（-5，0）、P（-3，-4）、Q（-2，-3）能夠發(fā)現(xiàn)△AQP為直角三角形，而且PQ∶AQ=1∶3，所以不妨在x軸上截取OE（如圖3），使得OE=3OC=15，這樣就使得∠CEO=∠PAQ，從而易證△CAE∽△DAC，根據(jù)AC2=AD·AE可以求得AD=2.5，從而可以求出直線CD的解析式y(tǒng)=2x-5，根據(jù)直線CD與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)M，通過(guò)聯(lián)立方程可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，-3）.現(xiàn)筆者簡(jiǎn)要介紹一下這個(gè)方法的來(lái)源，以及擷取3道南通中考?jí)狠S題談?wù)劥私夥ǖ膽?yīng)用.

圖3

二、溯本求源

1.認(rèn)識(shí)基本圖形.

新課程理念強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程.對(duì)于射影定理的基本圖形及結(jié)論師生再熟悉不過(guò)了（如圖4），如果將其題設(shè)∠BAC=∠ADC=90°再進(jìn)一步一般化，改成∠DAC=∠ABC，那么就得到幾何中最常見(jiàn)的基本圖形（如圖5），也就是說(shuō)射影定理的基本圖形其實(shí)是這一基本圖形的特殊情況（暫且稱(chēng)作“母子相似圖”）.這個(gè)幾何基本圖形直觀形象、結(jié)論簡(jiǎn)潔明了，對(duì)于解決相關(guān)壓軸題具有其他方法不可替代的優(yōu)越性，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的獨(dú)特效果.

圖4

圖5

2.辨析基本圖形.

例1（2015年南通中考第10題）如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，AB=6，AD=5，則AE的長(zhǎng)為（）.

A.2.5 B.2.8

C.3 D.3.2

圖6

分析：由勾股定理先求出BD的長(zhǎng)，由弦AD平分∠BAC，得到∠CBD=∠DAB，再利用“母子相似圖”這一基本圖形得到△ABD∽△BED，根據(jù)DB2=DE·DA可解得DE的長(zhǎng)為2.2，則AE=AD-DE=5-2.2=2.8，故選B.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是學(xué)生能從紛繁復(fù)雜的幾何圖形中分辨識(shí)別出這一基本圖形，從而利用其結(jié)論即△ABD∽△BED求出正確答案.波利亞曾說(shuō)過(guò)：“解題的成功，要靠正確地轉(zhuǎn)化.”有的時(shí)候，壓軸題不會(huì)具有明顯的這一基本圖形的結(jié)構(gòu)特征，需要學(xué)生基于對(duì)這一基本圖形的深刻認(rèn)識(shí)與理解，通過(guò)添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，創(chuàng)造性地構(gòu)造這一基本圖形來(lái)解決問(wèn)題.

3.構(gòu)造基本圖形.

例2（2012年南通中考第28題）如圖7，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-4）的拋物線+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（-2，0）和C， O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）略；

（2）略；

（3）設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長(zhǎng).

圖7

圖8

分析：如圖8，取OA的中點(diǎn)D，連接BD，則OB=OD=2，∠OBD=∠ODB=45°.因?yàn)椤螪BA+∠OAB=45°，所以在y軸上找一點(diǎn)M1，使得∠OM1B=∠DBA.從而△DAB∽△BAM1，即AB2=AD·AM1，從而求得AM1=10.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AM2=2，故AM的長(zhǎng)為2或10.

例3（2014年南通中考第28題）如圖9，拋物線y= -x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸DF與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F.

（1）略；

（2）略；

（3）設(shè)P為x軸上一點(diǎn)，∠DAO+∠DPO=∠α，當(dāng)tan∠α= 4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖9

圖10

分析：C（0，3）、A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），則tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α.然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠DPO=∠ADO，進(jìn)而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AO·AP，從而求得OP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo).再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，求得滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（19，0）和（-17，0）.

點(diǎn)評(píng)：這兩道壓軸題均是在分析角與邊的內(nèi)在關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加一定的輔助線構(gòu)造出完整的基本圖形，進(jìn)而應(yīng)用這個(gè)基本圖形的性質(zhì)及相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.可見(jiàn)教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生提煉一些典型的數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生在解決難題時(shí)形成思路，探得方法，從而有效地提高解題速度和得分率.

中考?jí)狠S題演繹著萬(wàn)千世界，命題者往往將一些基本圖形進(jìn)行改編與重組，但其背后運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法卻是相通的.作為教師，在中考復(fù)習(xí)時(shí)，要幫助學(xué)生從中考題海戰(zhàn)術(shù)中走出來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生以一圖識(shí)萬(wàn)圖的能力，這樣才能使學(xué)生達(dá)到學(xué)一法，會(huì)一類(lèi)，通一片的境界.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.［美］波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

3.曹志迅.“一線三等角”：客從何處來(lái)？——以“相似三角形”習(xí)題課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.