解題研究再深入：以一道習(xí)題網(wǎng)絡(luò)研討為例

☉重慶市涪陵第十四中學(xué)校 賀清倫

解題研究再深入：以一道習(xí)題網(wǎng)絡(luò)研討為例

☉重慶市涪陵第十四中學(xué)校 賀清倫

網(wǎng)絡(luò)研題是當(dāng)前一個熱點(diǎn)教研現(xiàn)象，突出表現(xiàn)在一些主題QQ群、微信群里，由于網(wǎng)絡(luò)平臺打破了時空的限制，且交流上沒有地位、名氣、權(quán)威的限制，較能暢所欲言，常常也能見到不少精彩的論述.本文記錄一道習(xí)題在網(wǎng)絡(luò)上的深入研討，并給出跟進(jìn)反思，供分享.

一、一道幾何習(xí)題的解法突破

（這是QQ群里某教師提出的一道習(xí)題）

題1：請用三角板、圓規(guī)或量角器等工具，畫∠POQ= 60°，在邊OP上截取OA=20mm，在邊OQ上截取OB= 30mm，連接AB，畫∠AOB的平分線交AB于點(diǎn)C，并求出AC∶OC的值.

網(wǎng)絡(luò)研討簡記：很快就有人給出該題的思路貫通，限于篇幅不展示原題的解答過程，我們把問題重新表述為題2，當(dāng)然，不改變原題的結(jié)構(gòu)與求解目標(biāo).

題2：如圖1，BD為等邊三角形

ABC的角平分線，點(diǎn)P為邊BC上一

點(diǎn)，且BP=2CP，連接AP交BD于Q，求

PQ∶BQ的值.

圖1

在△ABP中，由角平分線性質(zhì)，可得PQ∶AQ=2∶3，于是

在△BPQ中，利用正弦定理，BQ∶sinα=PQ∶sin30°，代入計(jì)算，得出PQ∶BQ的值為

思路2：如圖2，再補(bǔ)一個等邊三角形ACM，則有菱形ABCM，根據(jù)相似性質(zhì)，結(jié)合上一問中求出的AP長，容易求出BQ∶QM=BP∶AM=2∶3，從而也可求出BQ的長（避開使用正弦定理）.

圖2

思路3：（九年級學(xué)生提供）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，解出直線AP、BP的方程，再聯(lián)立求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求出BQ、PQ的長.

典型錯誤解法：研討過程中，也有人指出問題就是求圖1中等腰三角形BPQ的底邊與腰之比.這是一種典型錯誤，該錯漏原因在于想當(dāng)然地認(rèn)為△BPQ是等腰三角形，我們可以利用幾何畫板構(gòu)造圖3看清上述觀點(diǎn)的錯誤所在.

圖3

二、變式改編后精彩解法

題3：（題1的變式改編）如圖4，△ABC中，∠ABC=60°，BD是角平分線，BC=4，AB=6.求sin∠BDC的值.

思路1：如圖5，構(gòu)造∠BDE=30°，作DF⊥BC于F.依次求出CD、DF、CF、EF、DE、BE、BD的長，最后利用正弦定理帶來的面積公式得出等量關(guān)系獲得突破.

圖4

圖5

圖6

思路2：這是一個老師構(gòu)造的圖形（如圖6），并示意了相關(guān)求解數(shù)據(jù)，一目了然.

思路3：如圖7，將原△ABC補(bǔ)成等邊三角形ABE，并作CG⊥BF于G，延長BD交AE于F點(diǎn)，進(jìn)而可確認(rèn)F為AE的中點(diǎn)，容易根據(jù)相似三角形求出DF的長，從而獲得思路貫通.

后記：筆者將該題作為家庭作業(yè)，布置給所教班級學(xué)生練習(xí)之后，再將上述變式與系列過程進(jìn)行詳細(xì)講評，不少學(xué)生課后還以數(shù)學(xué)寫作的方式整理該題的不同解題思路與變式.

圖7

三、關(guān)于解題研究的相關(guān)思考

1.解題研究要嘗試多樣化解題路徑，在“善于比較”中走向“多解歸一”.

教師的解題研究不同于數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)競賽型選手的研題方式，在較快的思路下貫通難題，就繼續(xù)下一問題，我們需要追求服務(wù)教學(xué)，讓更多的后進(jìn)學(xué)生、理解有困難的學(xué)生能跟進(jìn)理解.這就需要我們在解題研究時對一道難題的思路不能滿足于單一的、狹窄的解題路徑，而要設(shè)法探求出多樣化的解題路徑.在獲得一道題的多種解法之后，需要思考不同方法之間的關(guān)聯(lián)，比如上文中圖2與圖6所對應(yīng)的思路屬于同一類；圖1與圖7所對應(yīng)的思路也相對接近.當(dāng)我們對問題的不同思路有了深入比對之后，才能居高臨下地看待課堂上學(xué)生出現(xiàn)的不同思路，并作出即時而精準(zhǔn)的評價或引導(dǎo).

2.解題研究不能滿足于就題論題，應(yīng)在“洞察結(jié)構(gòu)”之后“變式改編”.

常常見到不少解題愛好者解完一題，也能從不同角度貫通思路，追求一題多解甚至多解歸一（這在不少期刊上的一些解題研究的文獻(xiàn)中較為多見），然而這類研究還有深入下去的方向，這就是在洞察問題的深層結(jié)構(gòu)之后，可以開展對問題的變式改編，在不破壞問題原來結(jié)構(gòu)、解題目標(biāo)的前提下，積極開展變式研究，這既是我國數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的特色，也有利于命題基本功、教學(xué)基本功的自主提升.比如上文中的題1到題2、題3，都可看成是這一方向的努力與嘗試.事實(shí)上，我們見到很多優(yōu)秀的中考試題，多數(shù)都是由之前大家很熟悉的某一類經(jīng)典問題通過恰當(dāng)?shù)母木?，包括改變問題呈現(xiàn)方式，改編設(shè)問角度，設(shè)計(jì)出來的.這種基于“多元表征”的變式研究是值得很多同行積極實(shí)踐的，根據(jù)筆者的教學(xué)研究、命題研究的經(jīng)驗(yàn)，能否在洞察問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行恰當(dāng)?shù)母木幵O(shè)計(jì)，常常是一份試卷質(zhì)量高低的重要指標(biāo)，或者是一份教案中例題、習(xí)題選編的重要表征.

3.解題研究后注意素材歸類搜集，并研發(fā)適合學(xué)生的專題學(xué)案.

作為必要素材收集與歸類整理，我們在研究一些有價值問題之后要及時進(jìn)行收集與歸類整理，目前網(wǎng)絡(luò)研討之后不少有心的同行利用自媒體如微信、博客、QQ空間等平臺堅(jiān)持整理發(fā)布一些系列思考，并引發(fā)不少傳播，是值得我們學(xué)習(xí)的.此外，我們還可把這些優(yōu)秀的素材進(jìn)行適當(dāng)整理，研發(fā)適合學(xué)生的專題學(xué)案或微課教案.作為本文的最后，我們也將上文中的這道習(xí)題的研究資料整理成一份微課學(xué)案，拋磚引玉，供分享.

四、微課學(xué)案設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)教學(xué)時間20分鐘.

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）從等邊三角形出發(fā).

引例問題：如圖8，BD為等邊三角形ABC的角平分線，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且BP=2CP，連接AP交BD于Q.

（1）設(shè)CP=2，求AD的長；

（2）設(shè)CD=3，求△ACP的面積；

（3）求tan∠APB的值；

（4）求PQ∶AQ的值.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）例題講評

例題：（題1的變式改編）如圖9，△ABC中，∠ABC=60°，BD是角平分線，BC=4，AB=6.

（1）求CD的長；

（2）求△ABC的面積；

（3）求△BCD中CD邊上高的長；（4）求sin∠BDC的值.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）變式反饋.

變式題∶如圖9，△ABC中，∠ABC=60°，BD是角平分線，BC=2，AB=3.

（1）求AD的長；

（2）求點(diǎn)A到BC邊的距離；

（3）求BD的長；

（4）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC所在直線為x軸，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系xBy，求D點(diǎn)的坐標(biāo).

圖8

圖9

1.鮑建生，顧冷沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

2.朱金祥，劉東升.數(shù)學(xué)教學(xué)中例題變式的策略——基于教學(xué)追問的視角［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（09）.

3.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

4.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.