對一道期末考試題的研究與拓展

☉浙江紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

對一道期末考試題的研究與拓展

☉浙江紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

對試題的研究是教師在教學(xué)和復(fù)習(xí)中經(jīng)常做的一件事，通過研究把蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質(zhì)屬性.不但可以提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的能力.本文以嵊州市2016學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)成績調(diào)研測試八年級數(shù)學(xué)試題第26題（壓軸題）為例，作一些探索.

一、試題呈現(xiàn)

題目：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的一個動點(diǎn)（不運(yùn)動至點(diǎn)B、C），點(diǎn)E在BC所在的直線上，連接AD、AE，且∠DAE=45°.

（1）若點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F，連接AF、CF、DF、EF.

①求證：△ABD≌△ACF；

②若BD=1，DE=2，求CE的長.

圖1

圖2

此題以直角三角形為依托，全面考查全等三角形、軸對稱圖形及勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng).在中考復(fù)習(xí)時，筆者選擇此題作為家庭作業(yè)，結(jié)果在批閱時大大出乎我的意料，發(fā)現(xiàn)第（2）題“卡殼”現(xiàn)象較嚴(yán)重，不少學(xué)生無從下手.那么該題如何解？有何規(guī)律？筆者愿以此文與各位同仁探討.

【評析】這是一道典型的兩邊相等的大角夾其半角的試題，即兩個圖形中同一個頂點(diǎn)上的兩個角有倍半關(guān)系，且倍角的兩鄰邊相等.只要抓住變中不變的本質(zhì)，就會使題目的證明迎刃而解.三個問題難度由淺入深，層層遞進(jìn)，學(xué)生的思維需要拾級而上，三個問題所表現(xiàn)的功能涇渭分明，清晰可見，問題之間確立的關(guān)系起承轉(zhuǎn)合，水到渠成.第（1）題中的第①問謂“起”，問題的起源，起點(diǎn)低，容易上手，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究的信心；第②問謂“承”.承上啟下，把第①問中的證明三角形全等過渡到計算線段長度，為第（2）題的設(shè)置作好鋪墊；第（2）題謂“轉(zhuǎn)”.峰回路轉(zhuǎn)，問題考查的能力、基本思想和呈現(xiàn)方式都發(fā)生了很大變化，在求解時需積累感悟第（1）題的求解經(jīng)驗(yàn)：先畫出∠DAE=45°，作出對稱圖形，然后分類思考，即點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)與右側(cè)的情形，這是破解第（2）題的關(guān)鍵.當(dāng)然這些念頭其實(shí)是由第（1）題遷移而來，是一種順勢而為，是一種經(jīng)驗(yàn)的“噴薄”.

二、對第（2）題的研究與拓展

波利亞在《怎樣解題》中指出“當(dāng)我們的問題比較困難時，我們可能很有必要進(jìn)一步把問題再分解成幾部分，并研究其更細(xì)微的末節(jié)”.所以，研究幾何圖形，一個基本的方法就是認(rèn)真分析條件，尋找與之相關(guān)的基本圖形，并利用這個基本圖形的暗示作用來獲得或推理相關(guān)的結(jié)論.

就第（2）題而言，通過閱讀題中條件，容易讓我們想到熟悉的“半角”模型.何謂“半角”模型？如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=，這樣的圖形我們叫“半角”模型.

圖3

“半角”模型是幾何中的一個常見圖形，因?yàn)椤鞍虢恰蹦Ｐ捅阌谶w移，并且結(jié)論異彩紛呈，涉及的解決問題的方法靈活多樣，因此，它常常是各地命題者追逐的對象和日常教學(xué)研究的對象.

1.“半角”模型的特殊圖形探究.

（1）如圖4，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+DF.

圖4

圖5

圖6

簡析：解決該問題的常規(guī)思路是截長補(bǔ)短法，如果我們從圖形變化的角度來思考會更有數(shù)學(xué)的味道.思路1：如圖5，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，再證△AEF≌△AGF，進(jìn)而求證.思路2：如圖6，把△ADF沿AF對折，點(diǎn)D落在D′處，連接ED′，可證△ABE≌△AD′E，進(jìn)而求證.以上給我們提供了解決“半角”模型的常用方法和思路.

（2）如果我們再連接對角線BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，如圖7，求證：MN2=BM2+DN2.

圖7

圖8

簡析：如圖8，把△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ADM′，連接NM′，易證△ANM≌△ANM′，因?yàn)椤鱊M′D為直角三角形，利用勾股定理進(jìn)而求出關(guān)系，這里也可以選擇軸對稱思路來分析，此處不再贅述.

如果我們再把上述圖形抽取變形，就可建立下面的基本模型：

（3）如圖9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN=45°，求BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖9

圖10

簡析：如圖10，我們依然把△ABM把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，可以證得△AMN≌△ADN，把線段BM、MN、NC轉(zhuǎn)化到了△DCN中.由于∠DCN=∠ACD+∠ACB=45°+45°=90°，所以由勾股定理，可得DN2=CD2+ CN2，即MN2=BM2+NC2.這樣我們就得到了“半角”模型的又一個基本結(jié)論.

（4）如圖11，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB= AC，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且∠DAE= 45°，求DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系.

圖11

圖12

簡析：如圖12，我們先把△ADE沿AE翻折得到△AD′E，易知△ADE≌△AD′E，從而可證△BAD≌△CAD′，進(jìn)而知∠ACD′=45°，∠BCD′=90°，BD=CD′，所以把線段DE、BD、CE轉(zhuǎn)化到了△CD′E中.由于∠D′CE= 90°，所以由勾股定理，可得D′E2=D′C2+CE2，即DE2=BD2+ CE2.這樣我們就得到了“半角”模型的一個變式.

（5）如圖13，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠DAE=45°，EA的延長線交CB于點(diǎn)F.求DF、BD、CF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖14

圖13

簡析：如圖14，我們先把△FAD沿AE翻折得到△FAD′，則FD=FD′.由題意可證△BAD≌△CAD′，進(jìn)而知∠ACD′=45°，∠BCD′=90°，BD=CD′，所以把線段DF、BD、CF轉(zhuǎn)化到了△CD′F中，由于∠D′CF=90°，所以由勾股定理，可得D′F2=D′C2+CF2，即DF2=BD2+CF2.這樣我們就得到了“半角”模型的又一個變式.

上述問題是直角夾45°這一特殊的“半角”模型，我們由特殊延伸到一般，又會怎樣呢？

2.“半角”模型的一般圖形探究.

（6）如圖15，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)M、N在邊BC上，∠MAN=，BM=x，NC=y，MN=z，求x、 y、z的數(shù)量關(guān)系.

圖15

圖16

在這里我們依然可以采用旋轉(zhuǎn)變換的方式，如圖16，把線段x、y、z轉(zhuǎn)化到△DCN中，利用三角函數(shù)，可得到一般化的結(jié)論：z2=x2+y2+2xycosα（有興趣的老師可以證一下，這里不再贅述），從而，α=90°其實(shí)就是“半角”模型的一種特殊情況，這也是問題的本質(zhì)所在.

3.第（2）題的解題思路.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時，可仿照圖9、圖10的思路，求得CE=3；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時，可仿照圖11、圖12的思路，求得所以CE=3或

4.“半角”模型的鞏固提升題.

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變.”變則靈動，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開了學(xué)生獲取解題方法的有效通道.進(jìn)行有效試題“變式”可以鏈接不少中考試題，進(jìn)一步感悟、理解問題的本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法，提升分析、思考、研究問題的思維能力.

1.（2011年咸寧市）（1）如圖17，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù).

（2）如圖18，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M、N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH的位置，連接NH，試判斷MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖17

圖18

圖19

（3）如圖19，在圖17中，連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，若EG=4，GF=6，求AG、MN的長.

2.（2016年淄博市）如圖20，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C、D重合），AM、AN分別交BD于點(diǎn)E、F，且∠MAN始終保持45°不變.

（2）求證：AF⊥FM；

（3）請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明.

圖20

三、三點(diǎn)感悟

1.關(guān)注方法，為學(xué)生夯實(shí)知識保駕護(hù)航.

基本數(shù)學(xué)思想是貫穿數(shù)學(xué)問題的一條隱線，對解題起著高屋建瓴的指導(dǎo)作用.正如羅增儒教授認(rèn)為的，題目的結(jié)論告訴我們向何方前進(jìn)、預(yù)告需知，并引導(dǎo)解題方向.弄清了結(jié)論就等于弄清了行動目標(biāo)，也就隨身帶了糾正偏差的指南針.上述題目的解法由結(jié)論的特殊形式能夠想到勾股定理和直角三角形，這需要廣泛的聯(lián)想（即轉(zhuǎn)化的前提）；再通過變換思想（翻折和旋轉(zhuǎn)）將共線的三線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，最終達(dá)到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)、整合圖形信息的目的.這些都需要學(xué)生積極參與、獨(dú)立思考、合作交流，才能逐步感悟.

2.立足模型，為學(xué)生能力提升鋪路搭橋.

幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.此文所舉的試題及相關(guān)問題題設(shè)中通常含有兩邊相等的大角夾其半角的特征，解法幾乎都適用.因此，在平時的教學(xué)中，應(yīng)緊緊抓住高效的中考題，努力挖掘試題的價值，不斷引導(dǎo)學(xué)生對自己的解題過程進(jìn)行反思、聯(lián)想、總結(jié)，將高效的中考題發(fā)散，層層深入，化題為型，凝題成鏈，結(jié)題成網(wǎng)，讓這類試題成為學(xué)生鞏固知識、探究問題、發(fā)展能力、掌握思想方法的重要渠道，真正實(shí)現(xiàn)由“明一理”到“通一類”的飛躍，為學(xué)生的能力提升鋪路搭橋.

3.問題領(lǐng)路，為學(xué)生思維升華拓展空間.

學(xué)起于思，教學(xué)活動的主線是解決問題.因此，教學(xué)過程應(yīng)注重問題引導(dǎo)學(xué)生，圍繞知識的核心，以數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)為線索，精心設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和探索，積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn).筆者通過這些拾級而上、環(huán)環(huán)相扣的問題，在以方法、策略為主線，按由特殊到一般的順序逐次展開的同時，激發(fā)學(xué)生的參與意識.同時，在循序漸進(jìn)的設(shè)問和釋問的過程中，使學(xué)生的思維逐漸駛?cè)肟v深處，使得課堂更加精彩.

1.葉紀(jì)元.解決一類中考題的利器：旋轉(zhuǎn)、軸對稱［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（6）.

2.曹嘉興.挖掘隱含結(jié)論提升解題能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（2）.

3.沈岳夫.巧用45°特殊角妙解綜合試題［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（7/8）.

4.沈岳夫.對2014年浙江省紹興市中考第23題的研究與拓展［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（5）.