基于學(xué)生思維水平的評價標準制定*
——以一個“分割”任務(wù)的評價標準發(fā)展過程為例

☉北京師范大學(xué)未來教育高精尖創(chuàng)新中心 曹辰☉北京師范大學(xué)教育學(xué)部何聲清

基于學(xué)生思維水平的評價標準制定*
——以一個“分割”任務(wù)的評價標準發(fā)展過程為例

☉北京師范大學(xué)未來教育高精尖創(chuàng)新中心 曹辰
☉北京師范大學(xué)教育學(xué)部何聲清

無論是終結(jié)性的學(xué)業(yè)測試還是過程性的課堂隨考，對學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)進行科學(xué)評價一直是數(shù)學(xué)測評的基本內(nèi)容和目標.傳統(tǒng)的評價標準往往過于簡單，客觀題一般是“正確”“錯誤”的二元判分；主觀題一般是按照“解題過程”分步判分.不可否認的是，這種形式的評價標準對學(xué)生“成績”的判定有其合理性，也比較高效.然而，它難以深及學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，因而也難以揭示學(xué)生作答的深層原因.本文以一個“分割”任務(wù)為例，通過“直觀化—層次化—數(shù)學(xué)化”的探索過程，逐步明確學(xué)生作答的思維水平及深化問題的評價標準.

一、數(shù)學(xué)任務(wù)呈現(xiàn)

如圖1所示的點陣擺放方式是每行n個，共n行，稱作“n×n點陣”.小明、小貝、小夢對該點陣進行了不同的分割，將各區(qū)域的點數(shù)累加起來，發(fā)現(xiàn)了一些有趣的結(jié)論.

圖1

小明按照方式1進行分割，將點陣分成n個區(qū)域.第1個區(qū)域有n個點，第2個區(qū)域有n個點，第3個區(qū)域有n個點，…，第n個區(qū)域有n個點.所以，該點陣中點的總數(shù)為“點陣的每一個區(qū)域中點的個數(shù)之和”，用數(shù)學(xué)表達式記為

圖2：方式1

小貝按照方式2進行分割，將點陣分成n個區(qū)域.第1個區(qū)域有1個點，第2個區(qū)域有3個點，第3個區(qū)域有5個點，…，第n個區(qū)域有2n-1個點.所以，該點陣中點的總數(shù)為“點陣的所有區(qū)域中點的個數(shù)之和”，用數(shù)學(xué)表達式記為：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

圖3：方式2

小夢按照方式3進行分割，將點陣劃分為2個區(qū)域.第1個區(qū)域有（n-1）×（n-1）個點，第2個區(qū)域有n+n-1（即2n-1）個點.所以，該點陣中點的總數(shù)為“點陣的所有區(qū)域中點的個數(shù)之和”，用數(shù)學(xué)表達式記為：（n-1）2+2n-1=n2.

圖4：方式3

你還有新的分割方式嗎？請作出你的分割，并寫出你從該分割方式中發(fā)現(xiàn)的等式.

在對該開放性問題進行評價的過程中，我們遇到了困惑：學(xué)生對圖形的分割各式各樣，相應(yīng)的表達式也五花八門.如何針對學(xué)生的作答，制定出一個既能反映學(xué)生的思維水平，又能兼顧作答準確性的評分標準呢？在實際操作中，我們進行了以下探索.

二、“直觀化”：評價標準的初步劃分及其局限

我們首先根據(jù)分割線條的幾何形狀對其進行了直觀的初步劃分.在小明、小貝及小夢的范例中，對n×n點陣的分割出現(xiàn)了橫線型、折線型兩種情形.在學(xué)生的作答中，大致出現(xiàn)了以下4種分割方式（如圖5～8）：橫（豎）線型、折線型、斜線型、方塊型.

圖5：橫線型

圖6：折線型

圖7：斜線型

圖8：方塊型

如何根據(jù)學(xué)生的作答來判定其思維水平呢？我們認為，在之前的范例中已經(jīng)出現(xiàn)過橫線型和折線型分割，這給學(xué)生提供了基本參照和模仿的可能；而斜線型及方塊型分割沒有出現(xiàn)過.據(jù)此，我們對學(xué)生的思維水平進行了初步判斷：斜線型、方塊型分割的思維水平高于折線型、橫（豎）線型分割的思維水平.但如何在折線型與橫（豎）線型之間，斜線型與方塊型之間進行比較呢？參照學(xué)生在最后的等式表達式中的作答，我們認為，折線型分割的等式表達形式比橫（豎）線型分割的等式表達形式復(fù)雜，因此折線型分割的思維水平比橫（豎）線型分割的要高；同理，斜線型分割的思維水平高于方塊型分割的.綜上所述，我們認為4種分割方式的水平排序為斜線型＞方塊型＞折線型＞橫（豎）線型.

然而我們又發(fā)現(xiàn)，即使在同類別的幾何形狀分割中，學(xué)生的水平也會有一定的區(qū)別.以豎線型分割為例（如圖9～10），有的學(xué)生只畫了一道豎線，將點陣分割為兩個區(qū)域；而有的學(xué)生則將點陣分割為n個區(qū)域.

圖9：有限的豎線型分割

圖10：無限的豎線型分割

我們認為，將點陣分割為無限個區(qū)域的學(xué)生的思維水平高于將點陣分割為有限個區(qū)域的學(xué)生的思維水平.據(jù)此，在根據(jù)學(xué)生分割的幾何形狀進行分類后，我們在每個大類中又根據(jù)分割區(qū)域的個數(shù)，將其進一步細分為有限型和無限型兩類.總計為4大類8小類（如表1），基本涵蓋了學(xué)生的全部作答情況.

在對上述4大類8小類分割的賦值過程中，我們又面臨了新的問題：如何針對這8小類的作答，更加具體地區(qū)分出學(xué)生思維層次的高低？在之前的討論中，我們僅僅在這4大類之間進行了水平排序，但一旦加入“分割區(qū)域的有限或無限性”變量，新的8小類水平的排序似乎不那么容易.例如，對于斜線型中的有限區(qū)域分割和橫線型中的無限區(qū)域分割，哪一個更能體現(xiàn)學(xué)生的思維深度呢？并且，即使我們將這8小類進行了最終排序，但在評分過程中因為分類過細而難以操作.因此，上述評分標準仍需調(diào)整.

三、“層次化”：評分標準的進一步探索

若僅僅根據(jù)幾何特征對學(xué)生的分割進行分類，則難以深及問題實質(zhì).為此，我們試圖對上述分割的深層原因進行分析.在范例中，我們已經(jīng)呈現(xiàn)了橫線型及折線型的分割，如果學(xué)生在最后的開放性問題中采用了橫（豎）型、折線型的分割，我們認為其是在范例的基礎(chǔ)之上進行了修改，基本屬于模仿的思維水平.對于斜線型分割，雖然范例中沒有出現(xiàn)過，但在幾何形狀上也屬于直線型，因此我們認為，作出斜線型分割的學(xué)生是在范例的基礎(chǔ)上進行了較大程度的改動，體現(xiàn)了對于范例的遷移理解能力.對于方塊型分割，無論是其幾何特征，還是最后的等式表達式，均是范例中沒有出現(xiàn)過的，我們認為這種分割已經(jīng)超出了模仿、遷移的范疇，達到了創(chuàng)新的層次，體現(xiàn)了較高的思維水平.綜上所述，我們將學(xué)生的分割水平排序調(diào)整為：方塊型＞斜線型＞橫（豎）線型、折線型.

上述水平劃分標準雖然對4大類分割排序進行了簡化，但之前的問題還是沒有得到較好解決：對于同一類幾何形狀的分割，我們該如何體現(xiàn)其區(qū)別？進一步，我們將研究的重心放到了最后的等式表達式上.例如，以下兩個折線型分割方式中（如圖11～12），雖然都是將點陣分割為兩個區(qū)域，但體現(xiàn)的思維水平是相同的嗎？

圖11：“有限+無限”折線型分割

圖12：“無限+無限”折線型分割

總體而言，上述分割可歸結(jié)為“有限+無限”型與“無限+無限”型兩類.從表達式來看，前者一般是“數(shù)字+含n的表達式”，后者一般是“含k的表達式+含n的表達式”.因此在后續(xù)的分析中，我們嘗試脫離分割方式的幾何特征，僅從分割區(qū)域的數(shù)量上進行排序.即：分割的區(qū)域越多，越能體現(xiàn)學(xué)生思維水平的層次.但問題也隨之出現(xiàn)：在分割區(qū)域數(shù)量相同的情況下，如何評估不同的分割方式所體現(xiàn)的思維水平呢？若簡單地認為“無限”優(yōu)于“有限”，僅僅比較無限區(qū)域的個數(shù)的話，就會出現(xiàn)以下情況（如圖13～14）.圖13的分割是4個“無限”區(qū)域的累加，其表達式為：n+2n+3n+（n-6）n=n2；圖14的分割是1個“有限”區(qū)域和3個“無限”區(qū)域的累加，其表達式為：16+（n-4）×4+（n-4）×4+（n-4）2=n2.盡管前者有較多的“無限”區(qū)域，然而其表達式相對簡單.

圖13：“無限+無限+無限+無限”型

圖14“有限+無限+無限+無限”型

綜上所述，無論是從“模仿、遷移或創(chuàng)新”的角度進行排序，還是從分割區(qū)域的個數(shù)進行排序，均不具有可行性與合理性.盡管如此，這些嘗試為我們后續(xù)探索打開了思路：我們應(yīng)該脫離分割方式的幾何形狀表象，基于其背后的深層思維表現(xiàn)評估學(xué)生的水平.

四、“數(shù)學(xué)化”：評分標準的深化及其合理性

在探索該開放性問題的評分標準時，我們對小明、小貝及小夢的分割方式進行了反思，并有了意外的發(fā)現(xiàn).

1.方式1的分割可以歸結(jié)為“二次函數(shù)型”.例如，小明采用橫線型分割將點陣分為n個區(qū)域，所得的表達式為“n個n相加”（即n2）.在我們的測試中，也出現(xiàn)了類似的情況.例如，有學(xué)生進行了如下分割（如圖15），其表達式為：3n+（n-3）n=n2.更一般地，該類分割可以歸納為：kn+（n-k）n=n2.

圖15

2.方式2的分割可以歸結(jié)為“等差結(jié)構(gòu)型”.例如，小貝的分割雖然也將點陣分成了n個區(qū)域，但它更體現(xiàn)了其對于“規(guī)律”的探索，從而采用“等差數(shù)列的前n項和”的表達方式.更一般地，該類分割還有以下幾種常見形式（如圖16～17）.

圖16：“1+2+3…”型（部分）

圖17：“1+5+9…”型（部分）

3.方式3的分割可以歸結(jié)為“完全平方公式型”.例如，小夢的分割可以看作是將點陣分為4個區(qū)域（如圖18），其表達式為：（n-1）2+2（n-1）+1=n2，這是一個完全平方公式的結(jié)構(gòu).更一般地，該點陣可以作如下分割（如圖19），其表達式為：k2+2（n-k）·k+（n-k）2=n2.

圖18：“完全平方公式型”示例

圖19：“完全平方公式型”一般形式

4.“方塊型”分割可以歸結(jié)為“平方差公式型”.例如，對于圖20的分割，其表達式為：42+（n-4）·n+4·（n-4）=n2.若對其稍加變換，它是一個典型的“平方差”結(jié)構(gòu)：n2-42=（n-4）·n+4·（n-4）=（n+4）（n-4）.更一般地，該類分割的一般形式如圖21所示，其表達式為：k2+（n-k）·n+k（n-k）=n2.

圖20：“平方差公式型”示例

圖21：“平方差公式型”的一般形式

實際上，“平方差公式型”和“完全平方公式型”可以從一般意義上視為一類情形.例如，如果將圖20的分割改為圖22的“等價形式”，我們發(fā)現(xiàn)它還可以用“完全平方公式型”表達.盡管如此，我們認為有必要對其進行區(qū)分.

圖22：“平方差公式型”的等價形式

綜上，我們對學(xué)生作答的評價標準完全脫離了其幾何形狀的直觀特征和尚不夠明朗的層次性劃分，轉(zhuǎn)而從“數(shù)學(xué)化”的視角對其進行了更深層次的剖析，厘清了幾類典型的思維表現(xiàn).

五、反思

本文對學(xué)生在“分割”任務(wù)中的評分標準是在“直觀化—層次化—數(shù)學(xué)化”的過程中逐步清晰和深化的.我們深刻體會到，關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)的評價，只有深入其思維實質(zhì)，才真正對我們了解學(xué)生有實際的意義.誠然，當(dāng)前的評價標準尚不足以概括學(xué)生的全部作答，但這樣的劃分為我們的后續(xù)改進提供了基本視角.

實際上，我們在設(shè)置該開放題時并未對其評價標準做過多預(yù)設(shè)，該文的評價標準基本上是逐漸探索而生成的.誠然，在制定學(xué)生作答表現(xiàn)的評價標準方面，一個基本的經(jīng)驗是：基于學(xué)生作答作合理分類和概括.但我們?nèi)孕柚赋?，教師在設(shè)置評價任務(wù)時，有必要對任務(wù)本身進行必要的設(shè)計和預(yù)設(shè).換言之，我們要考查學(xué)生哪方面的表現(xiàn)？設(shè)置什么問題去考查？如何通過該問題去考查？這都需要教師在教學(xué)中多下功夫.

本文系北京師范大學(xué)未來教育高精尖創(chuàng)新中心項目“中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科診斷分析工具開發(fā)與應(yīng)用研究”（項目編號：BJAICFE2016SR-008）的階段性成果.