聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考
——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例

☉江蘇蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 沈麗婧

聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考
——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例

☉江蘇蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 沈麗婧

中考二輪復(fù)習(xí)期間，大量的復(fù)習(xí)資料、專題復(fù)習(xí)、?？荚囶}需要講評(píng)，常常在講評(píng)之后發(fā)現(xiàn)不少看似形式差異較大的綜合題，在解題思想、結(jié)構(gòu)上卻有一定的關(guān)聯(lián)或相似之處.本文結(jié)合新近講評(píng)過的一些習(xí)題作一些例析和跟進(jìn)思考，供研討.

一、關(guān)聯(lián)試題思路簡述與結(jié)構(gòu)反思

（1）求k的值.

（2）如圖2，將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線OM始終在第一象限，交l1于點(diǎn)C，射線ON交l2于點(diǎn)D，連接CD交y軸于點(diǎn)Q，在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OCD的大小是否發(fā)生變化？若不變化，求出tan∠OCD的值；若變化，請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

思路簡述：（1）限于篇幅不給出過程，k=-8.

（2）首先猜想∠OCD的大小不變.可以構(gòu)造相似三角形來證明這一結(jié)論.如圖3，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F.

圖3

結(jié)構(gòu)反思：第（2）問的難點(diǎn)在于構(gòu)造出△DFO∽△OEC，利用這組相似三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例來貫通思路，而它們的直角邊恰與直線與“雙曲線”的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)！

題2：（2013年江蘇南通中考，第28題）如圖4，直線y= kx+b（b＞0）與拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C.設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0.

（1）求b的值；

（2）求證點(diǎn)（y1，y2）在反比例函數(shù)的圖像上；

（3）求證x1·OB+y2·OA=0.

圖4

圖5

思路簡述：（1）限于篇幅，直接給出b=8.

則點(diǎn)（y1，y2）在反比例函數(shù)的圖像上.

（3）如圖5，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，則OE=-x1，AE=y1，OF=x2，BF=y2.由（2）得y1y2=-x1x2，則又∠AEO=∠OFB=90°，則△AEO∽△OFB.則以-x1·OB= y2·OA，即x1·OB+y2·OA=0.

結(jié)構(gòu)反思：如圖4，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y=ax2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)ab=1時(shí)，△AOB一定是直角三角形.

我們曾改編過如下一道變式考題安排學(xué)生練習(xí)，這里可附出這一素材：

題3：（變式題）如圖4，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y= ax2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C.

（2）在（1）的條件下，求證點(diǎn)（y1，y2）在反比例函數(shù)y=的圖像上.

（3）小樂經(jīng)過演算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)ab=1時(shí)，△AOB一定是直角三角形.請(qǐng)判斷“小樂發(fā)現(xiàn)”的真假，并說明理由.

教學(xué)手記：前兩問只是題2的簡單數(shù)據(jù)的改編，第（3）問則引導(dǎo)學(xué)生走一般，說明理由.以下是一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生給出的解法（如圖6），思路能夠貫通，但在處理“y1y2= -x1x2”這一步時(shí)略顯跳躍.

圖6

題4：（2014年四川宜賓，有精減）如圖7，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，-1），與x軸交于A、B兩點(diǎn).設(shè)正比例函數(shù)y=kx的圖像與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，連接MC、MD，求證MC⊥MD.

圖7

圖8

思路簡述：如圖8，分別過點(diǎn)C、D作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線，交EC于G，交DF于H.

設(shè)D（m，m2-1）、C（n，n2-1）.聯(lián)立拋物線、直線方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程：y=x2-kx-1.這樣由根與系數(shù)的關(guān)系得mn=-1.CG=yC-yG=n2-1-（-1）=n2，DH=yD-yH=m2-1-（-1）=m2，于是CG·DH=m2·n2=1，于是GM·MH=CG·DH，從而得出△CGM∽△MHD，即可貫通思路.

結(jié)構(gòu)反思：可以發(fā)現(xiàn)，題4的證明思路與題2、題3是一致的，只是題4將x軸向上平移了1個(gè)單位而已，證明思路仍然是構(gòu)造一組直角三角形相似.

二、關(guān)于中考專題復(fù)習(xí)的初步思考

上面這個(gè)素材是我們在中考二輪專題復(fù)習(xí)時(shí)的一些積累，主要還是來自于解后的教學(xué)手記，這啟示著我們關(guān)于中考專題復(fù)習(xí)的一些思路.

1.專題復(fù)習(xí)的切入口宜小，不宜廣種薄收，力爭一課一得.

我們注意到不少教輔資料上對(duì)于中考專題復(fù)習(xí)常常劃分為：最值問題、新定義問題、設(shè)計(jì)優(yōu)化問題、圖表信息問題、實(shí)際應(yīng)用問題、閱讀理解問題、開放探究問題、動(dòng)態(tài)探究問題等形式化、表面化的分類專題.比如，一節(jié)閱讀理解題的專題復(fù)習(xí)中所選例題之間只是形式上有閱讀理解的外貌，卻在各自解法上南轅北轍，缺少內(nèi)在的關(guān)聯(lián).我們認(rèn)為這種廣種薄收的專題復(fù)習(xí)雖然十分流行，但是值得商榷，有很大的改進(jìn)空間.上文中我們把一類形式不同的綜合題歸到一個(gè)小專題進(jìn)行研究，就是從解題思路、問題結(jié)構(gòu)上關(guān)聯(lián)思考，訓(xùn)練學(xué)生的眼力、洞察具有相同結(jié)構(gòu)的難題.

2.專題復(fù)習(xí)的習(xí)題需精選，削枝強(qiáng)干，突出專題訓(xùn)練重點(diǎn).

中考復(fù)習(xí)課通常只有40分鐘左右，而一道綜合題的答題時(shí)間從命題預(yù)設(shè)的角度也在30分鐘以上，所以中考專題復(fù)習(xí)如果定位在綜合題的講評(píng)輔導(dǎo)，對(duì)入選試題需要進(jìn)行刪減，特別是要削枝強(qiáng)干，突破本節(jié)課訓(xùn)練的重點(diǎn).比如，上文中題4原是一道中考?jí)狠S題（設(shè)有系列3個(gè)小問），但我們將其選入專題復(fù)習(xí)，為了使其與前面3個(gè)試題具有高度相關(guān)性，我們將其刪減，保留了第（3）問的求證方向，也就突出了本專題的訓(xùn)練重點(diǎn).

3.專題復(fù)習(xí)后需變式再練，簡單改編與拓展思考相結(jié)合.

由于中考二輪復(fù)習(xí)常常聚焦于中考較難題、把關(guān)題、壓軸題，這些試題往往源于各級(jí)模考、中考試題中承載區(qū)分功能的難題，所以僅僅是在課堂上合作探究、貫通思路，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，仍然有很多學(xué)生難以當(dāng)堂消化理解，所以必要的跟進(jìn)變式再練十分重要.這也是我們在上面提供“題3”的原因，根據(jù)我們對(duì)題3訓(xùn)練效果的反饋，學(xué)生對(duì)簡單改編的前兩問訓(xùn)練效果還不錯(cuò)，但是最后一問的拓展思考，全班只有少數(shù)幾個(gè)學(xué)生能貫通思路或看出解題方向，但在演算上仍然缺少規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟襟E.

三、寫在后面

中考復(fù)習(xí)“歲歲年年花相似，但年年歲歲花不同”.因?yàn)橹锌紡?fù)習(xí)沒有課標(biāo)的規(guī)定、缺少教材的支持，教學(xué)內(nèi)容需要靠教師自主研發(fā)，這就給廣大教師帶來了專業(yè)自主的空間，能否使多年來的“八股化”題型復(fù)習(xí)走向更具內(nèi)在關(guān)聯(lián)的微專題復(fù)習(xí)，是值得深入思考的研討方向.我們的努力還很初步，期待更多的批判與實(shí)踐跟進(jìn).

1.何明.由博返約，追求簡潔——一道“雙曲線”綜合題的命題過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）.

2.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2010（11）.

3.劉東升.我們需要怎樣的“問題”驅(qū)動(dòng)課堂——由美國莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說起［J］.教育研究與評(píng)論（課堂觀察版），2016（11）.

4.王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)——九年級(jí)“探究四點(diǎn)共圓”教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.