例談少教多學(xué)、自主高效的數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)

鄭偉強(qiáng)

[摘 要] 農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要做到“少教多學(xué)，自主高效”，必須充分利用課堂45分鐘，以有效的問(wèn)題串組織整堂課的教學(xué)，以學(xué)生熟悉的生活問(wèn)題入手設(shè)計(jì)導(dǎo)入問(wèn)題，以生活性、層次性為原則設(shè)計(jì)認(rèn)識(shí)新知問(wèn)題，以針對(duì)性、啟發(fā)性、思維性為目的設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生積極思考.

[關(guān)鍵詞] 少教多學(xué)；自主高效；問(wèn)題設(shè)計(jì)

在農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何做到“少教多學(xué)，自主高效”，是困擾農(nóng)村教師的一大難題. 由于農(nóng)村學(xué)生知識(shí)面窄、在家里沒(méi)有較好的學(xué)習(xí)環(huán)境，家長(zhǎng)知識(shí)水平基本偏低，在孩子的學(xué)習(xí)上無(wú)法跟教師配合，而老師與學(xué)生接觸的時(shí)間一般每天只有45分鐘，因此如何做到“少教多學(xué)，自主高效”顯得更為重要.

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程. 因此教師是否做到精心準(zhǔn)備問(wèn)題、層層深入、步步發(fā)問(wèn)，是否以有效的問(wèn)題串組織整堂課的教學(xué)過(guò)程，是能否達(dá)到“少教多學(xué)，自主高效”的關(guān)鍵. 下面筆者以華師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“17.2.1平面直角坐標(biāo)系”為例，談?wù)剬?duì)這節(jié)課數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的幾種做法.

以學(xué)生熟悉的生活問(wèn)題入手設(shè)

計(jì)導(dǎo)入問(wèn)題

在回顧舊知，導(dǎo)入新課階段，由17.1 的問(wèn)題1我們知道氣溫變化圖可以直觀地表示出不同時(shí)間的氣溫，反映出氣溫變化的規(guī)律. 像這樣，函數(shù)常?？梢杂盟膱D像來(lái)表示，利用函數(shù)的圖像可以幫助我們直觀地研究函數(shù).

問(wèn)題1：什么是函數(shù)的圖像？怎樣畫出函數(shù)的圖像呢？

根據(jù)學(xué)生的回答，告訴學(xué)生“要畫出函數(shù)的圖像，可借助今天要學(xué)習(xí)的一個(gè)非常有用的工具——直角坐標(biāo)系. ”

問(wèn)題2：你們?nèi)ル娪霸嚎措娪皶r(shí)是怎么找座位的？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：因?yàn)殡娪捌鄙隙紭?biāo)有“×排×座”的字樣，所以找座位時(shí)先找到第幾排，再找到這一排的第幾座就可以了，也就是說(shuō)電影院里的座位完全可以由兩個(gè)數(shù)確定下來(lái).

總結(jié)：物體的位置可由兩個(gè)數(shù)確定.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的找電影院座位入手，喚醒學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的的記憶，激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生產(chǎn)生就近聯(lián)想，從而使新課的導(dǎo)入水到渠成.

以生活性、層次性為原則設(shè)計(jì)

認(rèn)識(shí)新知問(wèn)題

在設(shè)置情境、認(rèn)識(shí)新知階段，從學(xué)生身邊熟悉的生活場(chǎng)景入手，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，層層深入設(shè)計(jì)問(wèn)題，使學(xué)生經(jīng)歷新知的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程. 首先出示地圖（如圖1，這張地圖是學(xué)生非常熟悉的縣城中的一部分），引導(dǎo)學(xué)生看地圖，十字路口是易購(gòu)超市，易購(gòu)的正東方向40米是教育局，正西方向30米是發(fā)燒友電器商店.

問(wèn)題1：你能用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它們的位置嗎？

引導(dǎo)學(xué)生思考討論后得出解決方法：由于這三個(gè)地方都在筆直的城東街上，把這條街抽象為一條數(shù)軸，把這三個(gè)地方抽象為三個(gè)點(diǎn)，如果把易購(gòu)作為原點(diǎn)，以向東為正方向，以1米為單位長(zhǎng)度，可用數(shù)軸來(lái)描述它們的位置，教育局記為+40，發(fā)燒友電器商店記為-30.

問(wèn)題2：易購(gòu)正北方向的城東北街上35米是緣喜婚慶商店，如何描述它的位置？

引導(dǎo)學(xué)生思考討論后，得到解決方案：再建一條與城東街垂直的數(shù)軸，為了方便，仍以易購(gòu)為原點(diǎn)，以正北為正方向，以1米為單位長(zhǎng)度，可把緣喜婚慶商店記為+35.

問(wèn)題3：派出所在城東北街東邊36米，在城東街北邊90米，又要怎樣表示它的位置？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，再小組討論，最后全班交流. 引導(dǎo)學(xué)生得出解決方案：在城東北街東邊36米，若向橫的數(shù)軸作垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)字就是+36，可用+36表示，在城東街北邊90米，若向縱的數(shù)軸作垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)字就是+90，可用+90表示，規(guī)定先寫橫的數(shù)軸上的數(shù)，再寫縱的數(shù)軸上的數(shù)，可寫為（36，90）.

問(wèn)題4：能把派出所的位置（36，90）寫成（90，36）嗎？

引導(dǎo)學(xué)生觀察思考后發(fā)現(xiàn)：（90，36）是表示城東北街東邊90米，城東街北邊36米的位置，這不是派出所的位置. 數(shù)對(duì)是有順序的，順序不同則表示的位置不同.

問(wèn)題5：唯信網(wǎng)吧在城東北街西邊50米，在城東街北邊27米，能用（50，27）表示它的位置嗎？

引導(dǎo)學(xué)生思考討論后得出：必須用（-50，27）來(lái)表示.

問(wèn)題6：能統(tǒng)一用有序數(shù)對(duì)表示教育局、發(fā)燒友電器商店、緣喜婚慶商店的位置嗎？

和學(xué)生一起討論后發(fā)現(xiàn)能統(tǒng)一用有序數(shù)對(duì)表示它們的位置. 教育局就是在城東北街所在直線的東邊40米，在橫的數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)數(shù)字是+40，在縱的數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)數(shù)字是0，因此可表示為（40，0），同理發(fā)燒友電器商店記為（-30，0），緣喜婚慶商店記為（0，+35）.

歸納：老師畫圖并歸納講解平面直角坐標(biāo)系相關(guān)概念，如圖2，像這樣在平面上畫兩條原點(diǎn)重合、互相垂直且具有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，稱為平面直角坐標(biāo)系. 通常把其中水平的一條數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩數(shù)軸的交點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).

回顧總結(jié)：根據(jù)剛才的合情推理發(fā)現(xiàn)，只要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，就可以用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示任何一個(gè)物體的位置，從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，又把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題（有序數(shù)對(duì)），這是多么神奇和巧妙?。?/p>

問(wèn)題7：你們知道平面直角坐標(biāo)系是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的嗎？引導(dǎo)學(xué)生看課本42頁(yè)閱讀材料：笛卡兒的故事.

設(shè)計(jì)意圖 利用學(xué)生剛在17.1 變量與函數(shù)的問(wèn)題1中體會(huì)到氣溫變化圖可以直觀地表示出不同時(shí)間的氣溫，形象地反映出氣溫變化的規(guī)律，知道了函數(shù)的圖像可以幫助我們直觀地研究函數(shù)，因此學(xué)生迫切地想知道什么是函數(shù)的圖像，怎樣畫出函數(shù)的圖像，從而喚起學(xué)生的求知欲望，為更好地完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)做好了準(zhǔn)備. 用學(xué)生身邊熟悉的地圖創(chuàng)設(shè)情境，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，發(fā)現(xiàn)確定點(diǎn)的位置是生活中經(jīng)常會(huì)遇到的實(shí)際問(wèn)題. 引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生先用數(shù)軸來(lái)表示點(diǎn)的位置，再引出在兩條數(shù)軸的圖形中用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示點(diǎn)的位置，最后歸納出平面上任一點(diǎn)都可用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示其位置. 問(wèn)題由淺入深，分散難點(diǎn)，逐個(gè)突破，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，為后面解決根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)這兩個(gè)難點(diǎn)做好準(zhǔn)備. 最后引導(dǎo)學(xué)生閱讀與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家善于觀察、熱愛思考、追求真理的精神，培養(yǎng)學(xué)生的良好品格.

以針對(duì)性、啟發(fā)性、思維性為目

的設(shè)計(jì)探究問(wèn)題

在探究提升，深化認(rèn)識(shí)知識(shí)階段，老師提的問(wèn)題應(yīng)緊扣教材重點(diǎn)和難點(diǎn)，要有針對(duì)性、啟發(fā)性和思維含量. 要提有思考價(jià)值的問(wèn)題，才能使學(xué)生在問(wèn)題的啟發(fā)下、老師的引導(dǎo)下解決問(wèn)題，深刻理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵.

1. 認(rèn)識(shí)坐標(biāo)概念，由點(diǎn)寫坐標(biāo)

讓學(xué)生動(dòng)手畫一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，老師巡視，糾正學(xué)生畫得不對(duì)的地方，若發(fā)現(xiàn)普遍性錯(cuò)誤，則進(jìn)行統(tǒng)一講解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)并改正錯(cuò)誤.

接著模仿剛才用有序數(shù)對(duì)表示派出所、唯信網(wǎng)吧位置的方法（老師在屏幕上演示，如圖3），在平面直角坐標(biāo)系中畫點(diǎn)P，從點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為M，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？從點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為N，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)多少？

點(diǎn)M在x軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字3稱為點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N在y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字2稱為點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)，依次寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，中間用逗號(hào)隔開，用括號(hào)括起來(lái)，得到一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)（3，2），稱為點(diǎn)P的坐標(biāo). 這時(shí)點(diǎn)P可記作P（3，2）.

問(wèn)題1：如果點(diǎn)P不在老師畫的位置，而是在平面直角坐標(biāo)系中的任何一個(gè)地方，你們能通過(guò)畫圖寫出它的坐標(biāo)嗎？接下來(lái)請(qǐng)大家動(dòng)手在自己剛才畫的直角坐標(biāo)系中任意畫一點(diǎn)P，并通過(guò)畫圖寫出它的坐標(biāo)，畫好后小組交流討論.

老師巡視指點(diǎn)，并把有錯(cuò)誤的選擇幾張投影，讓大家共同分析錯(cuò)在哪里，最后每個(gè)小組選出一張做得最好的在班里進(jìn)行成果展示.

歸納總結(jié)：在平面直角坐標(biāo)系中任何一點(diǎn)都能寫出它的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)通常與表示該點(diǎn)的大寫字母寫在一起，注意“先橫后縱”，用逗號(hào)隔開，加上括號(hào).

問(wèn)題2：一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有多個(gè)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生一起探究得到：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，所以點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是唯一確定的，一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)只有一個(gè).

活動(dòng)：出示帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系，老師指出點(diǎn)的位置，讓學(xué)生搶答點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖 先模仿用有序數(shù)對(duì)表示派出所、唯信網(wǎng)吧位置的方法，老師在屏幕上演示點(diǎn)的坐標(biāo)的畫法和寫法，由剛才的實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，從特殊到一般，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型思想，歸納思想. 讓學(xué)生在自己所畫的平面直角坐標(biāo)系中由點(diǎn)找坐標(biāo)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后小組交流討論，老師巡視指點(diǎn). 有的同學(xué)可能會(huì)把點(diǎn)畫在坐標(biāo)軸上，只要按上面的畫圖方法一樣能得出它的坐標(biāo)，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)討論或老師指點(diǎn)后解決. 有的學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中可能把坐標(biāo)順序?qū)懛戳耍械目赡軟](méi)有寫括號(hào)，而這些生成都是我們所需要的，是寶貴的教學(xué)資源，能使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)坐標(biāo)的內(nèi)涵. 最后引導(dǎo)學(xué)生探討點(diǎn)的坐標(biāo)的唯一性，在帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系搶答點(diǎn)的坐標(biāo)活動(dòng)，使學(xué)生更深刻認(rèn)識(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

2. 由坐標(biāo)找點(diǎn)

問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中知道任何一點(diǎn)都能寫出它的坐標(biāo)，那知道坐標(biāo)能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？怎么找？如坐標(biāo)為（3，2）的點(diǎn)P該如何找？

有了剛才的經(jīng)驗(yàn)，在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過(guò)討論就會(huì)很快找到方法.

總結(jié)：（老師板演講解）先過(guò)x軸上表示3的點(diǎn)作垂線，再過(guò)y軸上表示2的點(diǎn)作垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是坐標(biāo)為（3，2）的P點(diǎn).

活動(dòng)：請(qǐng)大家在自己畫的平面直角坐標(biāo)系中分別描出坐標(biāo)是（2，3），（-2，3），（3，-2）的點(diǎn)Q ，S，R，然后小組交流討論.

老師巡視指點(diǎn)，并把有錯(cuò)誤的選擇幾張投影，讓大家共同分析錯(cuò)在哪里，最后每個(gè)小組選出一張做得最好的在班里進(jìn)行成果展示.

問(wèn)題2：P（3，2）與Q（2，3）是同一點(diǎn)嗎？S（-2，3）與R（3，-2）是同一點(diǎn)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生討論回答：P（3，2）與Q（2，3）不是同一點(diǎn)，P（3，2）是過(guò)x軸上表示3的點(diǎn)的垂線與過(guò)y軸上表示2的點(diǎn)的垂線的交點(diǎn)，而Q（2，3）是過(guò)x軸上表示2的點(diǎn)的垂線與過(guò)y軸上表示3的點(diǎn)的垂線的交點(diǎn)；同理S（-2，3）與R（3，-2）也不是同一點(diǎn)（如圖4）.

歸納總結(jié)：點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)不能顛倒，點(diǎn)的坐標(biāo)是有序數(shù)對(duì).

問(wèn)題3：一個(gè)坐標(biāo)能對(duì)應(yīng)多個(gè)點(diǎn)嗎？

經(jīng)過(guò)剛才的探究，學(xué)生交流討論后能很快得到答案，老師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行綜合總結(jié)：過(guò)橫坐標(biāo)的垂線與過(guò)縱坐標(biāo)的垂線相交，由于它們只有一個(gè)交點(diǎn)，所以一個(gè)坐標(biāo)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，由剛才的探究可知，平面上的一個(gè)點(diǎn)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo).

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：以前學(xué)過(guò)，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，今天我們經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的.

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)過(guò)由點(diǎn)寫出坐標(biāo)的探究活動(dòng)，特別是在帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系搶答點(diǎn)的坐標(biāo)活動(dòng)，學(xué)生不但深刻地認(rèn)識(shí)了點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，還把點(diǎn)與坐標(biāo)的思維探究活動(dòng)推向了高潮. 老師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)探究由坐標(biāo)找點(diǎn)，符合辯證的思維訓(xùn)練特點(diǎn)，能很好地培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的探究能力. 由于經(jīng)過(guò)前面由點(diǎn)寫出坐標(biāo)的探究活動(dòng)，這次的探究就會(huì)顯得駕輕就熟，經(jīng)過(guò)動(dòng)手畫圖、討論、交流展示，學(xué)生能夠很輕松地理解坐標(biāo)的有序性、唯一性，總結(jié)出坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，完成了數(shù)形結(jié)合從一維到二維的飛躍.

陶行知先生說(shuō)，“發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)一個(gè)問(wèn)”，老師如何設(shè)計(jì)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生也是相同的道理. 課堂提問(wèn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是貫穿整節(jié)課的紐帶，數(shù)學(xué)老師只有深入研究教材、研究學(xué)生，才能針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，在合適的時(shí)機(jī)提出合適的問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生積極思考，達(dá)到少教多學(xué)、自主高效的教學(xué)效果.