高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)的思考

葉琪飛

[摘 要] 梳理高中數(shù)學(xué)知識中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)主線，可以讓數(shù)形結(jié)合的重要思想一以貫之地體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中. 教師要做的工作就是發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合教學(xué)契機的存在，并決定是采用顯性還是隱性的教學(xué)方式. 其中，識圖能力的培養(yǎng)是重要的思路，而作圖又是識圖能力形成的關(guān)鍵. 此外，數(shù)學(xué)應(yīng)用中的學(xué)習(xí)反思需要重視數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)掘.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)反思

數(shù)形結(jié)合是一種重要的思想，在當(dāng)前學(xué)科核心素養(yǎng)的討論視界中，數(shù)形結(jié)合被賦予了更為重要的意義. 在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尋找數(shù)形結(jié)合的主線，可以讓數(shù)學(xué)認知體系的構(gòu)建更為順利，同時可以讓學(xué)生形成更為有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法. 這種學(xué)習(xí)方法如果遷移到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)或者生活中，可以為學(xué)生面對未知領(lǐng)域提供一種有效思維. 即使從數(shù)學(xué)本身來看，數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想，其也可以讓學(xué)生在抽象的高中數(shù)學(xué)知識中，發(fā)現(xiàn)到貌似孤立的知識之間的聯(lián)系美，看到抽象的數(shù)學(xué)表面之下的形象美. 本文試以高中數(shù)學(xué)教材中的主要知識為基礎(chǔ)，梳理其中的數(shù)形結(jié)合成分，以為同行高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些參考.

[?] 數(shù)形結(jié)合思想下高中數(shù)學(xué)知識的梳理

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，而思想從來就不是單獨存在的，其一定是依賴于數(shù)學(xué)知識而存在的. 高中數(shù)學(xué)知識中，從剛開始的集合知識起，其實就有著豐富的數(shù)形結(jié)合思想的存在. 考慮到整個高中數(shù)學(xué)的知識太多，因此這里僅挑選其中的幾個例子，這些例子未必是最典型的，但一定是能夠說明數(shù)形結(jié)合思想的價值與特征的.

首先，就是集合的知識. 學(xué)生在義務(wù)教育階段就學(xué)過在數(shù)軸上表示數(shù)，這已經(jīng)是一種初步的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn). 到了集合知識的學(xué)習(xí)中，可以利用在數(shù)軸上表示數(shù)集，用Venn圖來形象地描述比較抽象的集合，給學(xué)生著力強調(diào)數(shù)形結(jié)合. 這個時候的強調(diào)可以是顯性的，明確告訴學(xué)生數(shù)形結(jié)合就是抽象的“數(shù)”與形象的“形”結(jié)合在一起，描述數(shù)學(xué)概念或規(guī)律. 這樣的樸素描述，可以讓學(xué)生有效地建立數(shù)形結(jié)合的認識. 而之所以在這里強調(diào)顯性教學(xué)，就是考慮到集合這一知識難度并不算很大，學(xué)生建構(gòu)起來沒有太多的思維上的困難，因此可以將教學(xué)的重心適當(dāng)偏移到數(shù)形結(jié)合這一思想方法上來.

其次，函數(shù)知識的學(xué)習(xí). 在函數(shù)知識的教學(xué)中，一個基本的動作就是讓學(xué)生在基本相同的思路之下去學(xué)習(xí)多種函數(shù). 這里所說的相同思路包括函數(shù)的概念、定義、定義域、值域、圖像、單調(diào)性、奇偶性等. 如果只從知識積累的角度來看，那教學(xué)可以在多個函數(shù)教好之后，用表格來羅列不同函數(shù)的上述特征. 而如果有了數(shù)形結(jié)合的思想，則可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中認識不同函數(shù)的特征，尤其是不同函數(shù)的圖像比較，可以讓學(xué)生將不同函數(shù)聯(lián)系起來，從而形成一個較大的知識組塊，這對于促進學(xué)生對函數(shù)知識的記憶是極有好處的. 因此，函數(shù)可以說是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個極為重要的數(shù)形結(jié)合教學(xué)的契機. 包括后面的基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等，都具有數(shù)形結(jié)合的教學(xué)價值.

再次，幾何知識的教學(xué). 傳統(tǒng)上的高中數(shù)學(xué)教學(xué)曾經(jīng)有過立體幾何與解析幾何的分開教學(xué)，現(xiàn)行教材沒有將這兩種幾何截然分開，個中原因在此不再討論. 但需要認識到的是，作為以“形”為主要學(xué)習(xí)對象的數(shù)學(xué)知識，需要基于“形”去引導(dǎo)學(xué)生認識“數(shù)”是如何用來描述這些“形”的. 高中幾何是在學(xué)生熟悉的點、線基礎(chǔ)上，去描述面、體的關(guān)系的，這種描述的手段除了“形”的空間關(guān)系之外，主要就是“數(shù)”的運用. 因此，幾何知識的學(xué)習(xí)是一個重要的滲透數(shù)形結(jié)合的機會.

最后，向量知識的教學(xué). 這是高中階段的新學(xué)知識，學(xué)生此前幾乎沒有一點相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且將大小與方向集中到同一個數(shù)學(xué)概念上，這對于學(xué)生來說是非常陌生的，學(xué)生構(gòu)建起來也是非常困難的. 盡管這是一個明顯的具有數(shù)形結(jié)合特征的知識，理論上來說是形象與抽象并存，學(xué)生學(xué)起來應(yīng)該很容易. 可事實證明，這一知識在滲透數(shù)形結(jié)合思想的時候是需要注意的，一定要在學(xué)生成功建構(gòu)了向量概念的基礎(chǔ)上，再去分析其中的數(shù)形的并存. 這可能是高中數(shù)學(xué)知識中為數(shù)不多的例外.

[?] 基于識圖能力培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識

數(shù)形結(jié)合從概念解構(gòu)的角度來看，“數(shù)”與“形”沒有先后主次之分，但從學(xué)生知識建構(gòu)的難易角度來看，還是要注意先后順序的. 盡管高中學(xué)生的抽象思維能力比較強，但在很多時候尤其是他們遇到構(gòu)建知識困難的時候，還是會憑直覺利用形象思維去解決問題. 而高中數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程中，凡是遇到數(shù)形結(jié)合的，都要考慮“數(shù)”與“形”的先后順序，尤其是對于部分知識而言，要先培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力.

在現(xiàn)實教學(xué)中遇到的一個問題是，識圖能力從哪里來？通常情況下，對于這一問題或許可以有兩個答案：一是從已有圖形的分析中來，如在學(xué)習(xí)向量知識的時候，通常都是教師先給出某個向量，然后與學(xué)生一起去分析. 這樣的教學(xué)中，“形”在前而“數(shù)”在后，學(xué)生是在給出圖形的基礎(chǔ)上賦予其“數(shù)”的意義的. 這也是構(gòu)建相對較難的數(shù)學(xué)知識時常常采用的方法. 而很多情況下尤其是在新構(gòu)建某些知識的時候，可以將識圖再前置一步，即從學(xué)生的作圖開始就培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，進而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想. 這里可以看一個例子.

在函數(shù)知識的教學(xué)中，有一個重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，就是根據(jù)函數(shù)的解析式去讓學(xué)生作出函數(shù)的圖像. 在實際教學(xué)中筆者注意到一種情況，那就是有的教師為了增加教學(xué)的容量，在課堂上采用了多媒體去作圖，有的還花了大量的力氣，利用一些程序語言去開發(fā)了可以輸入系數(shù)的對話框，以讓學(xué)生比較不同系數(shù)下同一函數(shù)的圖像的異同. 這樣的教學(xué)設(shè)計常常受到專家的肯定，認為課堂容量大，且教學(xué)手段的運用比較充分，符合現(xiàn)代教學(xué)理念；而學(xué)生也很喜歡，因為這樣的課堂“聲光電”俱全，容易吸引他們的注意力；模仿的教師也多，因為這樣的設(shè)計，可以讓圖像的得出非常準確，省掉了學(xué)生學(xué)習(xí)中因為各種各樣的原因?qū)е碌漠媹D不準的情形. 但在筆者看來，這樣的高效背后存在著忽視學(xué)生體驗的問題，而最直接的“惡果”就是失去了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力與思想的機會.

試想，讓學(xué)生用最基本的描點法去作圖，確實會消耗時間，確實會面對學(xué)生各種各樣的錯誤的情形. 但在這個過程中，學(xué)生的思維難道是無效的嗎？認真分析學(xué)生在此過程中的思維可以發(fā)現(xiàn)，他們需要根據(jù)解析式去給函數(shù)進行多次賦值，而每次賦值后的計算又是在重復(fù)對應(yīng)的思路（對應(yīng)可是函數(shù)最重要的思想）. 在坐標上找點是培養(yǎng)學(xué)生對坐標感知能力與數(shù)學(xué)精確性的絕好時機，而描點之后形成的圖像則可以讓學(xué)生獲得一種成就感. 這樣的過程被所謂的現(xiàn)代教學(xué)手段代替了，這顯然不見得是什么好事.

因此在這樣的教學(xué)中，筆者一直強調(diào)要還學(xué)生的學(xué)習(xí)以原生態(tài)，需要讓學(xué)生自己動手去做，自己動腦去想，通過自己的努力去發(fā)現(xiàn)并改正錯誤，直到最終得到一個完美的函數(shù)圖像. 要知道，這看起來是一個作圖的過程，實際上是數(shù)形同時運用的過程，這個過程中所獲得的數(shù)形結(jié)合的體驗是極為豐富的. 而有了這樣的基礎(chǔ)再去跟學(xué)生一起研究數(shù)形結(jié)合思想，那學(xué)生此時的思維基礎(chǔ)該是多么的堅實，效果自然就會很好.

這里需要指出的是，數(shù)形結(jié)合的一個重要理解就是以“數(shù)”描“形”，以“形”助“數(shù)”. 說得更通俗一點，就是當(dāng)學(xué)生感覺到“數(shù)”的抽象時，就用“形”來幫助學(xué)生進行理解（這是利用學(xué)生形象思維的能力），而當(dāng)所學(xué)的知識比較形象需要以簡潔語言描述時，“數(shù)”也就有了存在的價值.

[?] 數(shù)學(xué)應(yīng)用深化學(xué)生數(shù)形結(jié)合的理解

數(shù)學(xué)應(yīng)用無論是在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)語境中，還是在課程改革以來的語境里，都是一個極為重要的話題. 最直接的原因，就是學(xué)生在高考中的分數(shù)，就是靠應(yīng)用得來的. 盡管這個應(yīng)用不是數(shù)學(xué)應(yīng)用的全部，但數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值是任何人也無法忽視的. 那么，數(shù)學(xué)應(yīng)用對于數(shù)形結(jié)合的理解有什么幫助呢？筆者發(fā)現(xiàn)這個問題非常具有研究價值.

筆者主要是從學(xué)生的思維角度去分析的，因為數(shù)學(xué)應(yīng)用就是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的過程. 在這個過程中，學(xué)生會回憶所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，會選擇所用過的問題解決的策略，也會利用自己的解題經(jīng)驗去判斷問題解決是否有效. 此中，數(shù)形結(jié)合有時候幾乎是無處不在. 什么意思呢？因為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)考試評價中的問題，基本上都是“數(shù)”與“形”的復(fù)合體（這里主要是指考試中能夠拉分的問題），因此學(xué)生解決這些問題的時候，必然存在數(shù)形綜合應(yīng)用的過程.

筆者想強調(diào)的不是這個過程，因為這個過程幾乎所有高中數(shù)學(xué)教師都有經(jīng)驗，沒有重復(fù)的必要. 筆者想強調(diào)的是，在順利地解決了問題之后，一定要回過頭去跟學(xué)生一起分析其中的數(shù)形結(jié)合的思路，因為這樣的問題解決一般都是發(fā)生在綜合性的復(fù)習(xí)之后，學(xué)生有了顯性認識數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ). 這里教師唯一要做的就是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在不同題目中，是如何以“數(shù)”描“形”的，是如何以“形”助“數(shù)”的. 解決了這兩個方向相反的問題，就可以完整理解數(shù)形結(jié)合了.