讓學(xué)生感受活靈活現(xiàn)的數(shù)學(xué)

[摘 要] 優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)靈活多變的思維支撐. 因此，不斷將知識(shí)內(nèi)容，特別是基礎(chǔ)知識(shí)以變形創(chuàng)新的方式加以呈現(xiàn)，已經(jīng)成了當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的首選之法. 筆者通過(guò)對(duì)相關(guān)教學(xué)理論進(jìn)行研究，結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)，以不同內(nèi)容為界，總結(jié)出了若干知識(shí)變形途徑，旨在為數(shù)學(xué)教學(xué)增添活力，提升實(shí)效.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；基礎(chǔ)知識(shí)；變形；推廣；途徑

靈活性是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)突出特點(diǎn)，它既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力所在，也是知識(shí)接受的難點(diǎn)體現(xiàn). 對(duì)于這把雙刃劍，如果能夠處理好、運(yùn)用好，將會(huì)成為教學(xué)實(shí)效提升的重要契機(jī). 體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的靈活性，切入點(diǎn)有很多，其中思路最為清晰的一個(gè)方式就是從基礎(chǔ)知識(shí)入手，對(duì)之進(jìn)行變形與推廣，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)靈活元素之所在，從而將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)推向新的高度.

[?] 立足函數(shù)知識(shí)，開(kāi)展變形推廣

函數(shù)并不是高中階段的學(xué)習(xí)特例，而是在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中都有所滲透與貫穿. 函數(shù)不僅僅是一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)內(nèi)容，更是一種分析方法與思維方式. 因此，對(duì)于函數(shù)知識(shí)進(jìn)行靈活變形，在促進(jìn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體效果中便顯得尤為關(guān)鍵.

例如，在對(duì)函數(shù)圖像的內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，筆者曾經(jīng)要求學(xué)生完成這樣一個(gè)問(wèn)題解答：請(qǐng)通過(guò)配方的方式，找到函數(shù)f（x）=-3x2-6x+1的對(duì)稱(chēng)軸方程與頂點(diǎn)坐標(biāo)，并確定其單調(diào)區(qū)間與能夠取得的最值. 為了讓學(xué)生能夠?qū)D像這個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)掌握到位，筆者以這個(gè)內(nèi)容為基點(diǎn)，對(duì)提問(wèn)進(jìn)行了變形：在二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c中，f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），則f

的值是多少？為了將知識(shí)要點(diǎn)體現(xiàn)得更加明確，筆者又將問(wèn)題繼續(xù)變形成為：在函數(shù)f（x）=x2+px+q中，對(duì)于任意的x都有f（1+x）=f（1-x），則f（0）， f（-1）與f（1）之間的大小關(guān)系如何？最后，筆者還為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，其所表示的是函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像. 那么，能否盡可能多地將關(guān)于a，b，c的正確結(jié)論找出來(lái)？這些問(wèn)題雖然彼此不同，卻都是很明確地指向了函數(shù)圖像這個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn). 通過(guò)問(wèn)題的不斷變形，學(xué)生對(duì)于這個(gè)內(nèi)容的理解把握也更加深入了，真正體會(huì)到了圖形的有效運(yùn)用對(duì)于函數(shù)問(wèn)題分析解答的重要意義.

函數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)內(nèi)容多種多樣，根據(jù)不同的函數(shù)形式，可以拓展出不同的變形路徑. 函數(shù)知識(shí)的這一特點(diǎn)也為基礎(chǔ)知識(shí)的變形推廣提供了十分廣闊的空間. 如果對(duì)每種形式的函數(shù)都能夠進(jìn)行這一靈活探究，必然可以將學(xué)生的函數(shù)思想不斷地夯實(shí)、提升.

[?] 立足向量知識(shí)，開(kāi)展變形推廣

向量知識(shí)是學(xué)生進(jìn)入到高中階段之后才逐步開(kāi)始接觸的. 表面看來(lái)，向量?jī)?nèi)容的理解與應(yīng)用似乎并不困難，但如果對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行靈活變形，便能夠清晰地意識(shí)到，其背后所隱含的挖掘空間是十分巨大的.

例如，在對(duì)平面向量的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，它的線性運(yùn)算一直是一個(gè)基礎(chǔ)且重要的知識(shí)部分. 為此，筆者在課堂教學(xué)中圍繞這個(gè)知識(shí)內(nèi)容設(shè)計(jì)了一系列變形問(wèn)題. 問(wèn)題1：如圖2所示，四邊形ABCD是平行四邊形，且=a，=b，則應(yīng)當(dāng)如何用a，b來(lái)表示向量？問(wèn)題2：如圖3所示，在五邊形ABCDE中，=a，=b，=c，=d，則應(yīng)當(dāng)如何用a，b，c，d來(lái)表示向量和？問(wèn)題3：如圖4所示，若四邊形ABCD是平行四邊形，且=a，=b，=c，=d，則在a+b+c+d=0，a-b+c-d=0，a+b-c-d=0，a-b-c+d=0四個(gè)結(jié)論中，正確的是哪一個(gè)？問(wèn)題4：若a，b是兩個(gè)非零向量，那么“

”是“（a+b）與（a-b）”垂直的什么條件？問(wèn)題5：在四邊形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，且a與b不共線，則該四邊形的形狀如何？從大體結(jié)構(gòu)上來(lái)看，上述每個(gè)問(wèn)題之間都是存在著相似之處的，但看似細(xì)小的變形卻對(duì)學(xué)生提出了不同的解答要求. 隨著問(wèn)題變形的不斷推進(jìn)，向量運(yùn)算的各個(gè)知識(shí)角度都得到了考查.

[A][B][C][D][A][B][C][D][E][A][B][C][D][圖2][圖3][圖4][O]

不難發(fā)現(xiàn)，向量知識(shí)的學(xué)習(xí)是十分需要關(guān)注細(xì)節(jié)的. 雖然只是對(duì)題目當(dāng)中一些微小之處予以改變，其所對(duì)應(yīng)的分析方向和解答方法卻是完全不同的. 這也對(duì)向量基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)提出了要求. 以題目變形的方式強(qiáng)調(diào)知識(shí)細(xì)節(jié)，對(duì)于有效的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)來(lái)講助益頗多.

[?] 立足三角知識(shí)，開(kāi)展變形推廣

談到三角知識(shí)，學(xué)生所想到的大多是單一的計(jì)算公式. 其實(shí)，在這些枯燥的理論知識(shí)之余，三角知識(shí)的應(yīng)用路徑也是極其廣泛的. 即使知識(shí)內(nèi)容再基礎(chǔ)，也能夠在實(shí)際問(wèn)題的解答當(dāng)中發(fā)揮出十分重要的作用. 而這也為基礎(chǔ)知識(shí)的變形推廣提供了入口.

例如，為了引導(dǎo)學(xué)生理解三角的知識(shí)內(nèi)涵，筆者請(qǐng)學(xué)生依次完成下列實(shí)際問(wèn)題的解答. 問(wèn)題1：如圖5所示，小船甲航行至點(diǎn)A時(shí)被告知要前往點(diǎn)B，其位于點(diǎn)A正東20海里處. 甲立刻出發(fā)，并通知了位于點(diǎn)C的小船乙一同前往，乙位于甲的南偏西30°10海里處. 那么，小船乙需要將航行方向確定為北偏東多少度（精確到1°）？問(wèn)題2：如圖6所示，某人站在河岸一側(cè)，想要測(cè)量位于河對(duì)岸的鐵塔AB的高度. 他先選擇了與鐵塔底端B位于同一水平面內(nèi)的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)量出∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，且鐵塔頂端A在點(diǎn)C處的仰角是θ，則能否確定出鐵塔AB的高度？問(wèn)題3：如圖7所示，小船甲沿正北方向航行，速度為30海里/時(shí)，小船乙同樣在固定方向上進(jìn)行勻速航行. 當(dāng)甲航行至A1時(shí)，乙到達(dá)B1，且位于甲的北偏西105°，相距20海里. 20分鐘后，甲航行至A2，乙到達(dá)B2，且位于甲的北偏西120°，相距10海里. 則小船乙的航行速度是多少？在這樣的實(shí)際問(wèn)題解答過(guò)程中，學(xué)生反復(fù)運(yùn)用了正余弦定理等基本方法，于無(wú)形之中夯實(shí)了基礎(chǔ).

[A][B][C][北][A][B][D][C][20][圖5][圖6][10][北][A2][A1][B2][B1][甲][乙][120°][105°][圖7]

師生們總會(huì)認(rèn)為，基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)就是停留在理論層面的，也必然是單調(diào)枯燥的. 通過(guò)上述示例當(dāng)中的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)并不如此. 在開(kāi)始接觸基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，便可以加入實(shí)際應(yīng)用的元素，借助生活問(wèn)題的解答，強(qiáng)化知識(shí)理解，夯實(shí)基礎(chǔ)構(gòu)建. 將三角知識(shí)進(jìn)行這樣的靈活變形，不僅拓寬了知識(shí)理解路徑，還從一開(kāi)始為學(xué)生增加了不少學(xué)習(xí)興趣.

[?] 立足數(shù)列知識(shí)，開(kāi)展變形推廣

數(shù)列是被學(xué)生所公認(rèn)的難度較大的知識(shí)內(nèi)容. 當(dāng)數(shù)列問(wèn)題以靈活、復(fù)雜的面貌呈現(xiàn)出來(lái)后，學(xué)生便總會(huì)感到無(wú)從下手，不知道該如何進(jìn)行分析思考. 歸根結(jié)底，這還是知識(shí)基礎(chǔ)不夠牢固的原因所導(dǎo)致的. 如果教師能夠在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)階段便將知識(shí)加以變式，必然能夠?yàn)榻酉聛?lái)的有效學(xué)習(xí)提供不小幫助.

例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)非常重要的基本概念，理解并求解通項(xiàng)公式也是數(shù)列問(wèn)題當(dāng)中第一個(gè)重要組成部分. 除了根據(jù)公式進(jìn)行具體計(jì)算之外，通過(guò)前幾項(xiàng)來(lái)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式也是不可或缺的能力. 為此，筆者以這個(gè)內(nèi)容為準(zhǔn)設(shè)計(jì)了一些變形問(wèn)題. 問(wèn)題1：如圖8所示，請(qǐng)觀察圖中的圖形排列以及其中所包含的點(diǎn)數(shù)，將空格當(dāng)中的圖形與點(diǎn)數(shù)填寫(xiě)完整，并寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式. 問(wèn)題2：如圖9所示，這些圖形當(dāng)中體現(xiàn)出了這樣一系列規(guī)律：在圖①當(dāng)中，經(jīng)過(guò)等邊三角形的變化，形成了該多邊形；在圖②當(dāng)中，經(jīng)過(guò)正方形的變化，形成了該多邊形；…，后面的圖形也是以此類(lèi)推. 那么，若正n邊形所變化形成的多邊形邊數(shù)為an，則a6的值是多少？+++…+的值又是多少？問(wèn)題3：觀察圖10所示的圖形，按照其中的規(guī)律，當(dāng)10條直線相交時(shí)，最多能夠產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)？交點(diǎn)個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式是什么？一連串知識(shí)變形下來(lái)，學(xué)生對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想思維感悟得更加深刻了.

[（1）][（4）][（7）][（ ）][（ ）][（1）][（2）][（3）][（4）][（5）][2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)][3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)][4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)][圖8][圖9][圖10]

不難發(fā)現(xiàn)，我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中所經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的“靈活思維”，實(shí)際上就是一種思考分析的習(xí)慣. 一旦這種習(xí)慣形成了，無(wú)論是面對(duì)靈活問(wèn)題，還是靈活解答問(wèn)題，都將不再是障礙. 于基礎(chǔ)知識(shí)呈現(xiàn)階段便勤于將知識(shí)進(jìn)行變形，其所發(fā)揮出的思維鋪墊作用，在接下來(lái)的深入學(xué)習(xí)當(dāng)中體現(xiàn)得會(huì)十分明顯.

在持續(xù)的變形推廣過(guò)程當(dāng)中，高中數(shù)學(xué)的靈活性特點(diǎn)得到了淋漓盡致的體現(xiàn). 將基礎(chǔ)知識(shí)作為變形推廣的起點(diǎn)，能夠把靈活性學(xué)習(xí)滲透到高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域當(dāng)中去，且可以讓這個(gè)特點(diǎn)從知識(shí)接觸之初便得以體現(xiàn)出來(lái)，使之能夠伴隨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程. 當(dāng)變形推廣基礎(chǔ)知識(shí)的活動(dòng)成為一種常態(tài)之后，便可以在學(xué)生的頭腦當(dāng)中樹(shù)立起一種靈活多變的思維意識(shí)，于無(wú)形之中升華高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果.