以學(xué)生為圓心、課標(biāo)為半徑，圓數(shù)學(xué)教學(xué)之理想

李建明

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)比較普遍的問題是：教師習(xí)慣以高考為導(dǎo)向，不關(guān)注學(xué)生的擁有與需求，不注重課標(biāo)的定位與要求. 這種教學(xué)應(yīng)付考試是保險(xiǎn)的，但于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是不利的，與課改的要求是相悖的. 本文以高三復(fù)習(xí)課為例闡述要提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，課堂教學(xué)須注意的幾個(gè)方面：遵循認(rèn)知規(guī)律，重整體強(qiáng)聯(lián)系；強(qiáng)化數(shù)學(xué)閱讀，突破理解障礙；把握問題本質(zhì)，理解知識價(jià)值；善用思想策略，啟迪數(shù)學(xué)智慧.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)生；圓心；課標(biāo)；半徑；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

曾經(jīng)聽到一位重點(diǎn)中學(xué)的優(yōu)秀畢業(yè)生在談到對高三學(xué)年的學(xué)習(xí)體會(huì)時(shí)說：高三這一年的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)把人練笨了！這句話讓筆者很驚詫，一直無法釋懷，時(shí)時(shí)會(huì)想起.希望通過課堂復(fù)習(xí)教學(xué)讓學(xué)生得到的思維訓(xùn)練、提升的能力素養(yǎng)都哪去了？為什么教學(xué)的理想與學(xué)生反饋的現(xiàn)實(shí)結(jié)果反差如此之大？帶著這些疑問，筆者開始了觀察與反思，發(fā)現(xiàn)在高三復(fù)習(xí)課中多數(shù)教師習(xí)慣于以高考為導(dǎo)向，高考考什么就重點(diǎn)復(fù)習(xí)什么，就讓學(xué)生練什么，所以考試說明與復(fù)習(xí)用書成了教師的法寶，不關(guān)注學(xué)生的擁有與需求、不注重課標(biāo)的定位與要求是現(xiàn)在復(fù)習(xí)課中一個(gè)比較嚴(yán)重的問題.本文談點(diǎn)個(gè)人在高三復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐中的一些做法與體會(huì)，歡迎批評指正.

[?] 遵循認(rèn)知規(guī)律，重整體強(qiáng)聯(lián)系

章建躍博士在一次報(bào)告中談到學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解遵循如圖1的一個(gè)自下而上的過程，這個(gè)過程的本質(zhì)是不斷地抽象、概括，它的理想目標(biāo)是從具體事物的個(gè)別規(guī)律——同類事物的普遍規(guī)律——數(shù)學(xué)整體上的思想觀念.

但在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，因各種客觀原因，課堂教學(xué)就事論事的現(xiàn)象比較普遍，學(xué)生對知識系統(tǒng)的整體把握較差，對知識間的聯(lián)系性掌握不清，對數(shù)學(xué)思想與觀念的理解也不能到位，這些都直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)必須考慮到學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求，為學(xué)生鋪設(shè)進(jìn)一步發(fā)展的階梯. 在高三復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)中要注意學(xué)生所掌握的知識點(diǎn)與方法逐個(gè)積累的特點(diǎn)，要注重對知識進(jìn)行系統(tǒng)性的梳理，確保學(xué)生能從整體性上把握知識體系，同時(shí)加強(qiáng)知識間聯(lián)系性的梳理，有效彌補(bǔ)這一缺陷.

例1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是

f（x）

在區(qū)間[-1，1]的最大值，證明：當(dāng)

a

≥2時(shí)，M（a，b）≥2.

分析：由f（x）=

x+

+b-，得對稱軸為直線x=-，

≥1，故f（x）在[-1，1]上單調(diào)，

所以M（a，b）=max{

接下來的問題在于如何研究這兩個(gè)數(shù)的絕對值的大小，那么首要的問題就是關(guān)于絕對值我們學(xué)了哪些知識？學(xué)生在回憶與討論中提出來下列關(guān)于絕對值或與絕對值有聯(lián)系的知識：

絕對值絕對值定義

分類討論去絕對值

平方去絕對值

V字形函數(shù)

絕對值三角不等式

點(diǎn)線距離公式

那么這些知識與方法是否都可以用以解決這個(gè)問題呢？

思路1：絕對值定義，根據(jù)定義，此式可理解為數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)1+b到兩定點(diǎn)-

的距離之和，可知此距離之和有最小值2

≥4，可得M（a，b）≥2成立.

思路2：分類討論去絕對值

當(dāng)a≥2時(shí)，由f（1）-f（-1）=2a≥4，得max{f（1），f（-1）}≥2；

當(dāng)a≤-2時(shí)，由f（-1）-f（1）=-2a≥4，得max{f（-1），-f（1）}≥2，

綜上，當(dāng)|a|≥2時(shí)，M（a，b）≥2.

思路3：平方去絕對值

f 2（1）=（1+a+b）2=1+a2+b2+2ab+2a+2b，

f 2（-1）=（1-a+b）2=1+a2+b2+2b-2a-2ab，

f 2（1）+f2（-1）=2（1+a2+b2+2b）=2a2+2（b+1）2≥2a2≥8，

則必有max{f 2（1），f 2（-1） }≥4成立.

思路4：V字形函數(shù)

思路5：絕對值三角不等式

根據(jù)抽屜原理，這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于等于2.

思路6：點(diǎn)線距離公式

區(qū)域a≤-2或a≥2內(nèi)的點(diǎn)到兩直線距離和的最小值.

從上述分析思路可以看到：正是因?yàn)榇嬖谥R間的聯(lián)系性，才有問題解決方法的多樣性！

學(xué)生從高一、高二新課所接受到的知識與方法多數(shù)是零散的，學(xué)生所需求的是對知識的系統(tǒng)性理解，對知識與方法的聯(lián)系性的把握. 如果學(xué)生對高中數(shù)學(xué)的每一章、每一個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識的整體性與聯(lián)系性都有這種清晰的認(rèn)識與把握，那么他對數(shù)學(xué)的認(rèn)知與理解就會(huì)越深刻，長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就能不斷得到提升與培養(yǎng)，在問題解決過程中的知識與方法的運(yùn)用才能做到得心應(yīng)手.

[?] 強(qiáng)化數(shù)學(xué)閱讀，突破理解障礙

學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的難度一般有兩種：一是“深度難度”，指對知識點(diǎn)考核的深度比較大；二是“形式難度”，形式難度主要表現(xiàn)于題型上新穎，背景陌生或者符號化語言突出. 陌生的背景、創(chuàng)新的題型，學(xué)生不熟悉，所考的知識點(diǎn)雖然不難，但學(xué)生閱讀理解時(shí)容易“發(fā)蒙”，對題意的理解存在障礙，影響答題. 另外符號語言的抽象性也會(huì)給學(xué)生閱讀理解題意帶來很大的障礙. 隨著新課改的深入，這兩年高考試題的一個(gè)趨勢是“以形式換深度”，學(xué)生考試時(shí)感覺試題難，主要體現(xiàn)在“形式難度”上.

例2：設(shè)函數(shù)f1（x）=x2，f2（x）=2（x-x2），f3（x）=sin2πx，

ai=，i=0，1，2，…，99，記

Ik=fk（a1）-fk（a0）+fk（a2）-fk（a1）+…+fk（a99）-fk（a98），k=1，2，3，則（ ）

A. I1

C. I1

這是浙江省2014年高考第10題，學(xué)生初識此題真正感覺到的難度是整個(gè)題目只有5個(gè)中文字，高度符號化的語言所帶給學(xué)生的抽象性讓學(xué)生“頭腦發(fā)蒙”，很多學(xué)生在考場中根本看不懂題目給了什么條件，要做什么事情，直接放棄. 數(shù)學(xué)描述客觀事物的語言有三種：文字語言、符號語言、圖形語言. 文字語言易懂，圖形語言直觀，符號語言簡練，但符號語言的簡練是源于它的抽象，而正是這種抽象又使學(xué)生在理解上帶來困難. 教學(xué)上要重視符號語言的閱讀理解，突破的方法主要有抽象符號具體化，符號語言圖示化表格化.

例3：一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，

x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，

x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，

其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.

現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于________.

此題的背景與高中數(shù)學(xué)知識幾乎無關(guān)聯(lián)，其難度不在于學(xué)生平時(shí)知識掌握的程度，更不在運(yùn)算復(fù)雜上，而在于其背景知識的新穎性與陌生感，學(xué)生初讀題目頭腦中會(huì)冒出一系列問題：二元碼是什么？碼元錯(cuò)誤是怎么回事？校驗(yàn)方程組有什么作用？一個(gè)碼元錯(cuò)誤的二元碼如何判定錯(cuò)元是哪個(gè)呢？

[?] 把握問題本質(zhì)，理解知識價(jià)值

經(jīng)常聽一些高三復(fù)習(xí)課，老師講解得很精彩，學(xué)生也聽得很認(rèn)真，從練習(xí)的反饋看學(xué)生也掌握得不錯(cuò)，但如果問一些基本的數(shù)學(xué)問題，比如：本堂課為什么要學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容？這節(jié)知識你認(rèn)為有什么價(jià)值與作用？ 學(xué)生卻無從回答.學(xué)生對課堂教學(xué)內(nèi)容知識的接受停留在要我學(xué)我就學(xué)并努力學(xué)好的狀態(tài)，而至于為什么要學(xué)，學(xué)了它有什么用之類的問題幾乎沒人會(huì)有思考.

例4：平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ，μ，使a=λe1+μe2.

定理表明了平面內(nèi)任一向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示出來，這為我們運(yùn)用向量方法研究問題帶來了極大的方便，這也是向量作為解決數(shù)學(xué)問題的工具的最為強(qiáng)大的功能之所在. 這是學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中理應(yīng)達(dá)成的目標(biāo)，但在實(shí)際課堂教學(xué)中這一目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了嗎？本人多次詢問剛復(fù)習(xí)了這節(jié)課后的高三學(xué)生；平面向量基本定理有什么用？它有怎樣的功能與價(jià)值？你對定理的強(qiáng)大功能與價(jià)值有體會(huì)嗎？很多學(xué)生很茫然.

例5：關(guān)于“tanα=” 的功能與價(jià)值.

在三角函數(shù)定義學(xué)習(xí)之后我們會(huì)學(xué)習(xí)三個(gè)三角函數(shù)間的關(guān)系：sin2α+cos2α=1，tanα=.如果僅是停留于了解掌握這三種三角函數(shù)間存在這兩種關(guān)系上，這對本節(jié)內(nèi)容知識的本質(zhì)的認(rèn)知是不到位的，對該公式的功能與價(jià)值的教學(xué)是不足的，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是欠缺的.比如公式“tanα=”，它反映了三種三角函數(shù)間存在這種特定的等量關(guān)系，同時(shí)作為一個(gè)公式，它的功能是可以像一座橋梁一樣溝通左右，它的價(jià)值就在于可以實(shí)現(xiàn)“切與弦”之間的互相轉(zhuǎn)化. 比如在解決問題“4cos50°-tan40°=_______（2013年重慶高考）”時(shí)學(xué)生就能迅速做出“切化弦”的決策；在遇到問題“已知α∈R，sinα+2cosα=，則tan2α=________（2013年浙江高考）”時(shí)，就能提出“弦化切”的辦法.

一個(gè)人只有了解把握所需研究問題的本質(zhì)之所在，才能真正地理解問題并找到問題解決之突破口；同樣也只有在明確所學(xué)知識的功能與價(jià)值之所在，才能更有興趣更自主地學(xué)習(xí)這一知識，才能在問題解決的過程中更好地發(fā)揮這些知識的功能與價(jià)值.

[?] 善用思想策略，啟迪數(shù)學(xué)智慧

數(shù)學(xué)是思維的體操，是智慧的化身.任何數(shù)學(xué)問題的解決過程中無不體現(xiàn)著問題解決者的思想、方法、策略與智慧，數(shù)學(xué)教學(xué)除了要傳授給學(xué)生必要的數(shù)學(xué)知識外，更重要的是學(xué)生能在學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)主動(dòng)地提出問題、學(xué)會(huì)積極地思考問題、學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、學(xué)會(huì)智慧地運(yùn)用策略思想，特別地，如果能在今后的生活工作中把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中沉淀下來的理性思維與智慧策略體現(xiàn)出來，這就是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的真正成功，這需要數(shù)學(xué)課堂的長期熏陶.

例6：已知在△ABC中，sinA（sinB+cosB）-sinC=0，sinB+cos2C=0，求角A，B，C的大小.

分析：由A+B+C=π，與sinA（sinB+cosB）-sinC=0聯(lián)立，

可消去一元，問題是消哪個(gè)元呢？

如果不做思考分析，隨意消元（比如消A或B）就可能致使問題無法解決.

注意觀察且三角公式熟悉度高的學(xué)生就能迅速做出判斷：消C是正道！

從而化簡可得：sinA=cosA，A=；

于是B+C=，又sinB+cos2C=0.

同樣的問題再一次出現(xiàn)：B，C兩個(gè)量消哪個(gè)呢？是不是消任何一個(gè)都可以解決問題？是不是消任何一個(gè)運(yùn)算的難度都一樣呢？如果注意觀察，可以發(fā)現(xiàn)如果消C，可以運(yùn)用誘導(dǎo)公式從而簡化運(yùn)算過程.

很多問題的解決會(huì)有不同的方法選擇，但也并不是一個(gè)問題的解決方法介紹得越多越好，不同方法之間必然存在知識與能力上的差異，對學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)與提高所起的作用也必然會(huì)有優(yōu)劣之分，那么如何在不同方法面前不經(jīng)歷過程就能做出選擇的策略，這就是我們需要學(xué)習(xí)與掌握的策略性知識.

例7：已知不等式x2-1≥a

對?x∈R恒成立，求a的取值范圍.

分析：這是聽一節(jié)課時(shí)一個(gè)例題的后半部分，當(dāng)該例題講到出現(xiàn)這個(gè)不等式時(shí)，學(xué)生被卡住了，這時(shí)教師提出了以下幾個(gè)引導(dǎo)性問題供學(xué)生思考.

問題1：你看到的是什么？（面對的是什么問題？）

——不等式恒成立問題.

問題2：不等式恒成立問題一般運(yùn)用什么知識研究？你有這方面的經(jīng)驗(yàn)嗎？

——不等式恒成立問題應(yīng)該用函數(shù)思想來研究解決！

問題3：如果運(yùn)用函數(shù)來研究該不等式，你會(huì)研究什么函數(shù)？你有不同的方法選擇嗎？

——方法1：移項(xiàng)整理，研究一個(gè)函數(shù)f（x）=x2-1-a

方法2：研究比較兩個(gè)函數(shù)：f（x）=x2-1，g（x）=a

方法3：研究參數(shù)分離后得到的函數(shù)：f（x）=.

接下來老師問了個(gè)很有價(jià)值的思考問題：在考試狀態(tài)下你會(huì)用什么方法來解決？這就要求學(xué)生在不經(jīng)過驗(yàn)算過程的情況下做出決策采用哪種方法來解決這個(gè)問題會(huì)更優(yōu)化，學(xué)生如果能經(jīng)常有機(jī)會(huì)思考這種策略性的問題，能夠有機(jī)會(huì)嘗試做出最優(yōu)化的決策，才能在學(xué)習(xí)與問題解決過程中有策略選擇的意識與思考，長期堅(jiān)持，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)必將得到很好的培養(yǎng)與提升.

理想的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生通過三年的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)其理性思維得到良好的培養(yǎng)、其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到很好的提升. 為此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)特別是高三復(fù)習(xí)教學(xué)一定要立足學(xué)生，以學(xué)生的所學(xué)作為生長點(diǎn)，以學(xué)生的不足與需求為出發(fā)點(diǎn)來思考設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，以課標(biāo)要求的范圍與難度為尺度標(biāo)準(zhǔn)來把握教學(xué)，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本目標(biāo)來定位評價(jià)教學(xué).