強化圖形引領(lǐng) 彰顯數(shù)學(xué)魅力

張建

[摘 要] 在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們所要滲透給學(xué)生的不僅僅是知識與技能，還需要在知識與技能的建構(gòu)過程中幫助學(xué)生積淀相應(yīng)的思想與方法. 其實，高中數(shù)學(xué)階段有很多的思想與方法需要教師用心去滲透和灌輸，需要學(xué)生用心去積淀和領(lǐng)悟.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；概念；問題；總結(jié)

“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中是最為常見，也是最為重要的一種思想方法，這既是在問題解答之中適用范圍十分廣泛的一種思想方法，也為我們揭示出了高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的一條捷徑——圖形. 但是，在部分學(xué)生的心目中，總會用慣常的思維來認識“數(shù)形結(jié)合”——那就是只有在具體數(shù)學(xué)問題的解答過程當(dāng)中才會借助到圖形. 實際上，這種想法是十分狹隘的. 從某種程度上來講，數(shù)學(xué)教學(xué)就是一門圖形的藝術(shù)，圖形的加入，往往會使得抽象的理論內(nèi)容具體化、靈活化，為知識的理解提供了極大便利. 因此，圖形不僅僅是問題解答的導(dǎo)航員，更是課堂學(xué)習(xí)的引領(lǐng)者. 筆者結(jié)合實際的案例，談?wù)勅绾螐娀瘓D形在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的引領(lǐng)價值，如何深化它對學(xué)生數(shù)學(xué)思想積淀的影響.

[?] 圖形引領(lǐng)概念建構(gòu)，深入細節(jié)堅實基礎(chǔ)

從知識接受順序來講，概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開端，也是知識建立的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)的概念構(gòu)建越來越復(fù)雜、抽象. 而數(shù)學(xué)概念的理解又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在，更是學(xué)生開展后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的基礎(chǔ). 而且概念的建構(gòu)過程也突顯了高中數(shù)學(xué)的精煉、抽象、復(fù)雜等特點. 雖然從文字表面看來，高中數(shù)學(xué)概念的篇幅并不長，卻往往蘊含著豐富的內(nèi)涵. 往往簡單幾十個字，就足以通過很多道習(xí)題來予以檢驗. 而概念的建構(gòu)過程又是那么曲折復(fù)雜，在建構(gòu)的過程中更需要講究方法與技巧，更要在長期的學(xué)習(xí)過程中積淀相應(yīng)的方法與技巧，最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力. 因此，僅靠學(xué)生一方的努力，是很難達成我們預(yù)設(shè)的效果的，很難提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，也很難將數(shù)形結(jié)合的方法巧妙地滲透到概念的架構(gòu)之中. 而這就需要我們教師在概念架構(gòu)的教學(xué)過程中把概念與數(shù)形結(jié)合進行銜接，將概念的全部含義把握準確，將數(shù)與形巧妙地合為一體，讓學(xué)生在圖形的引領(lǐng)下，輕松自如地達成對概念的深入理解.

【案例1】 在冪函數(shù)的概念建構(gòu)過程中，僅從字面上來看十分簡單，定義如下：一般地，函數(shù)y=xa叫作冪函數(shù)，x是自變量，a是常數(shù). 然而，其中卻包含了a的不同取值所代表的不同形態(tài)的函數(shù). 為了讓冪函數(shù)的概念全面細致地展現(xiàn)出來，筆者在對這個內(nèi)容進行教學(xué)時，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)建構(gòu)的其他函數(shù)的概念和圖像，引領(lǐng)學(xué)生將不同形態(tài)的冪函數(shù)圖像集中在了同一個平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中（如圖1）. 由此，學(xué)生得以一目了然地看到了冪函數(shù)的全部，并對結(jié)合不同形式的冪函數(shù)的表達和圖像的差異建構(gòu)了一個較為完整的認知，學(xué)會了判斷和辨別. 如果沒有圖形的輔助，這一細節(jié)是很難從文字上體現(xiàn)出來的. 除此之外，在概念的建構(gòu)過程中，教師可以借助圖形的逐一呈現(xiàn)來協(xié)助概念的逐一達成，能讓概念的抽象慢慢顯現(xiàn)，讓學(xué)生在圖形的引領(lǐng)下完成對概念的逐一建構(gòu)，變抽象為形象，變復(fù)雜為直觀.

教師如果站在學(xué)生的角度去審視數(shù)學(xué)概念的話，許多知識難免晦澀難懂. 而如果加入了圖形，便可以開辟一個新的途徑來詮釋概念. 圖形的方式，不僅讓冷冰冰的數(shù)學(xué)概念重新煥發(fā)出了生命力，還可以在圖形表示的同時，為學(xué)生展現(xiàn)出概念當(dāng)中的許多細節(jié)，讓學(xué)生結(jié)合圖像對概念理解得更深、更細、更廣. 這些細節(jié)，都是學(xué)生在常規(guī)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中十分容易忽略、混淆的，卻是對學(xué)習(xí)效果具有決定性作用的. 在圖形的引領(lǐng)之下，關(guān)鍵細節(jié)得到凸顯，關(guān)鍵的難點和重點也得了突破. 此時，堅實的知識基礎(chǔ)也就此打下了.

[?] 圖形引領(lǐng)問題分析，一目了然清晰思維

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，冗長復(fù)雜的問題比比皆是. 面對這些問題時，如果只是對著文字本身展開思考，目光必然是狹隘的，思維也自然無法開闊. 這時，便需要圖形的引領(lǐng)與幫助. 在知識內(nèi)容教學(xué)的同時，筆者在教學(xué)過程中，還十分重視對學(xué)生圖形構(gòu)建能力的培養(yǎng)，甚至要求學(xué)生將畫圖變成自己面對數(shù)學(xué)問題時的一個條件反射，能習(xí)慣性地利用數(shù)形間的彼此轉(zhuǎn)化來達成對知識的架構(gòu)、難點的突破、方法的鎖定. 這種情況下，圖形對于問題解答的幫助就更為明顯了，學(xué)生一旦能在平時的解題中順其自然地養(yǎng)成這樣的習(xí)慣，那么很多問題便會在無形當(dāng)中顯現(xiàn)出來，迎刃而解.

【案例2】 三角函數(shù)一直是圖形引領(lǐng)的典型領(lǐng)域，也是高中數(shù)學(xué)的重點、難點之一. 當(dāng)學(xué)生結(jié)束了對三角函數(shù)基本知識的學(xué)習(xí)之后，筆者提問：“請運用三角函數(shù)的相關(guān)知識判斷方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）中解的個數(shù)是多少.”問題雖然簡短，卻讓很多學(xué)生找不到頭緒. “這個方程應(yīng)該怎么解？”“好像沒學(xué)過啊……”看到大家犯難的樣子，筆者及時啟發(fā)：“不然先試試把這兩個函數(shù)的圖像畫出來吧！”這個并不難. 當(dāng)學(xué)生在同一直角坐標(biāo)系中開始畫第二個函數(shù)的圖像時，便恍然大悟：兩個圖像的交點不就是這個方程的解嗎？（如圖2）何苦再去解方程呢？只要從圖像上數(shù)出交點的個數(shù)就夠了. 多么巧妙的圖形思維！

在復(fù)雜問題的分析解答過程當(dāng)中，圖形就像是另一種語言，以一種具體、生動的方式對解題過程進行展現(xiàn)和突破；圖像更像一把萬能鑰匙，它隨著具體情況的變化而變化，打開所有突破的智慧之門. 也正是在圖形的輔助之下，學(xué)生更加清晰地明確了題目中已知條件之所述，與此同時，也得到了思維上的啟發(fā)，找到了解答問題的突破口. 圖形用其直觀形象的線條反饋它所能表達的特點和信息，引領(lǐng)學(xué)生的思維，讓問題顯現(xiàn)、思路清晰、方向明確. 這些思維收獲，都是單純的文字所無法在問題突破環(huán)節(jié)，圖形的協(xié)助不僅巧妙地突破了原先問題中的難點，還有效地幫助學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)之有法、用之有道，感受到方法的重要性、圖形的重要性，在學(xué)習(xí)方法上啟迪了學(xué)生的智慧，激勵了學(xué)生的信心.

[?] 圖形引領(lǐng)知識總結(jié)，有機整合簡潔高效

高中階段的數(shù)學(xué)知識與技能的量是非常巨大的，而且難度也在日益增加，學(xué)生面臨的不僅僅是知識與技能的理解，更是思想與方法的應(yīng)用. 想要將這些內(nèi)容全部清晰地掌握住，就要做到階段性、系統(tǒng)性、方法性的總結(jié)與歸納、分析與對比. 而在這個總結(jié)與歸納的過程中，巧妙地運用圖形，總是可以實現(xiàn)零碎知識點的有機整合，讓學(xué)習(xí)過程簡潔高效. 教師如果巧妙地借助圖形進行系統(tǒng)的整理、框架的架構(gòu)、思維的再現(xiàn)、方法的點撥，那么總結(jié)的效果將更加顯著，且可以輻射得更廣、更深、更科學(xué).

【案例3】 筆者在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)過柱體、椎體和臺體的體積計算問題之后，抓住三者之間的內(nèi)在形態(tài)聯(lián)系，在課堂活動中，通過教師的提問、學(xué)生的回答，在一問一答的課堂互動中，激發(fā)學(xué)生的思維，啟發(fā)學(xué)生的智慧，為學(xué)生呈現(xiàn)出了下面的圖形（圖3）.

圖中不僅涵蓋了上述幾種幾何體，還形象地體現(xiàn)出了相互之間的動態(tài)變化過程. 在此基礎(chǔ)上，再將每種幾何體的體積計算方法配合起來，這部分的知識內(nèi)容便被巧妙地整合到一張圖中了. 與零散的圖形、公式相比，這種結(jié)合圖形進行有機整合的總結(jié)方式，顯然高效多了. 這樣將這幾幅圖的特點、共性、差異、關(guān)系巧妙地聯(lián)成一整體，學(xué)生理解的高度和深度都將得到一定程度的提升. 這樣的總結(jié)為學(xué)生日后進行復(fù)習(xí)和應(yīng)用指引了方向，夯實了基礎(chǔ)，有效地幫助學(xué)生輕松愉悅地完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，提升了學(xué)習(xí)效率.

筆者始終認為，知識總結(jié)的精髓并不在于對已有知識內(nèi)容的堆積羅列，而是能夠找到一個巧妙合理的方式，將所學(xué)內(nèi)容的特點、規(guī)律提煉出來，從而加以整合，將知識越學(xué)越“少”，方法越提越“精”，在提煉的過程中滲透方法與思想，培養(yǎng)思維習(xí)慣，提升思維定位. 比如，在這里的圖形對比、總結(jié)，圖形便扮演了一個串連者的角色，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識內(nèi)容的本質(zhì)，并在圖形的輔助下進行合并與記憶，引導(dǎo)學(xué)生要善于利用數(shù)形結(jié)合、類比等方法進行總結(jié)和歸納，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下扎實的基礎(chǔ).

通過前文當(dāng)中的論述，我們可以明確地感受到，圖形對于高中數(shù)學(xué)的意義遠遠不止是優(yōu)化問題解答過程這么簡單. 在任何一個教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)階段當(dāng)中，圖形都發(fā)揮著不可小覷的作用. 筆者堅信，在圖形的有效引領(lǐng)之下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)行為可以煥發(fā)出更具活力的生機和沖勁，教學(xué)效果也將比從前理想許多.