從提高學(xué)生運(yùn)算能力的角度談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

[摘 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力. 與高中數(shù)學(xué)相關(guān)的核心素養(yǎng)主要包括：學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識(shí)、抽象概括、推理能力、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析，其中前三項(xiàng)為通識(shí)素養(yǎng)，后六項(xiàng)為數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng). “能推理、會(huì)運(yùn)算”是從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的基本素質(zhì). 運(yùn)算能力的培養(yǎng)與學(xué)生的素養(yǎng)相輔相成.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)生素養(yǎng)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；運(yùn)算能力

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越為人們所關(guān)注. 就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，已經(jīng)引起許多數(shù)學(xué)教師的思考和探索. 核心素養(yǎng)是指學(xué)生借助學(xué)校教育所形成的解決問題的素養(yǎng)與能力. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力. 與高中數(shù)學(xué)相關(guān)的核心素養(yǎng)主要包括：學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識(shí)、抽象概括、推理能力、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析，其中前三項(xiàng)為通識(shí)素養(yǎng)，后六項(xiàng)為數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng).

近年來，各地的高考試題一直關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的運(yùn)算能力的考查，要求考生在理解、應(yīng)用、實(shí)施運(yùn)算過程中，分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序（考查算法算理）. 運(yùn)算能力的培養(yǎng)與學(xué)生的素養(yǎng)相輔相成，主體上無法靠簡單的訓(xùn)練形成，在高三復(fù)習(xí)過程中需要重視以下幾個(gè)操作層面.

[?] 著眼于扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能

落實(shí)基本概念、公式、法則的理解是思維和運(yùn)算的“基元”. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生牢固掌握運(yùn)算所需要的概念、公式、法則是運(yùn)算的前提.

例1：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則公比q的值為______.

在列出等式2Sn=Sn+1+Sn+2后，利用數(shù)列前n項(xiàng)和的定義有：2Sn=Sn+an+1+Sn+an+1+an+2，即0=an+1+an+1+an+2，所以q=-2. 方法簡明，體現(xiàn)了對(duì)定義的理解.在理解概念的基礎(chǔ)上自覺用來進(jìn)行運(yùn)算，說明學(xué)生在這方面具備了一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 個(gè)別學(xué)生往往會(huì)按照思維慣性利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式來求解，過程相對(duì)煩瑣，而且容易忽視q=1的情形，說明運(yùn)算方面的素養(yǎng)仍需提高.

除了熟記和活用概念、公式外，對(duì)于一些典型問題的結(jié)論和方法也要熟化，更要弄清楚這些典型問題的結(jié)構(gòu)和背景，使其結(jié)論能夠生發(fā)，方法能夠遷移，成為運(yùn)算的“助推器”.

例2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，B，C分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線BF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D. 若tan∠F1BO=，則直線CD的斜率為______.

本題由tan∠F1BO=可得直線BD的斜率，利用結(jié)論“在橢圓+=1（a>b>0）中，若MN是過中心的一條弦，P是橢圓上異于M，N的一點(diǎn)，則有kPM·kPN= -”，可迅速求得直線CD的斜率.

在復(fù)習(xí)過程中學(xué)生可在教師的帶領(lǐng)下，或自主將知識(shí)歸類整理，把知識(shí)對(duì)應(yīng)的問題及解法進(jìn)行梳理、歸納，使得解法模式化，適度重復(fù)使用，形成技能，便于遇到問題時(shí)能在短時(shí)間內(nèi)檢索、篩選，獲得解題的思路. 從會(huì)學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生就獲得了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

[?] 突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，提倡在理解的基礎(chǔ)上創(chuàng)新

必須突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，使學(xué)生在把握問題、理解問題的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新. 要重視培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、抽象概括能力、推理論證能力等，要加強(qiáng)特殊化、一般化、類比推廣、從反面考慮問題、構(gòu)造法等基本數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；向?qū)W生適當(dāng)介紹有關(guān)創(chuàng)造性方法學(xué)、科學(xué)方法論等知識(shí)，啟發(fā)學(xué)生的積極思維，開闊視野. 同時(shí)，要幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和培養(yǎng)學(xué)生的廣泛遷移能力，要重視數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用的發(fā)生過程，重視知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，把整體學(xué)習(xí)與局部學(xué)習(xí)有機(jī)地結(jié)合起來.

例3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（1，0）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.

本題的切入點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是按部就班，找出半徑r的表達(dá)式r=，通過代數(shù)法求其最大值；另一個(gè)是將直線方程變形為m（x-2）-（y+1）=0，可“發(fā)現(xiàn)”直線過定點(diǎn)（2，-1），結(jié)合圖像，r的最大值就是點(diǎn)（2，-1）與圓心（1，0）之間的距離. 這種數(shù)形結(jié)合的思考就展現(xiàn)出了一定的思維創(chuàng)新，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)有指導(dǎo)意義，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn).

例4：設(shè)t∈R，若x>0時(shí)均有（tx-1）·[x2-（t+1）x-1]≥0，則實(shí)數(shù)t的值為_________.

令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x<00且f（x）的零點(diǎn)也為x2時(shí)不等式恒成立. 將x2=代入g（x）=0，得

t-

（t+1）=0，解得t=.

如果單純來解不等式，往往需要分類討論，中間環(huán)節(jié)對(duì)問題的理解、運(yùn)算都需要較強(qiáng)的功底. 但是，在審題時(shí)，如果注意到不等式左邊是兩個(gè)因式相乘的形式，聯(lián)想因式對(duì)應(yīng)的函數(shù)，那么對(duì)不等式就有很直觀的認(rèn)識(shí)了，解法自然就會(huì)流暢很多. 在解決某些規(guī)律性較強(qiáng)的問題時(shí)，需要學(xué)生牢固掌握一些基本方法，形成一定的思維習(xí)慣，樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí).

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是指數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得與積累，更重要的是使個(gè)體形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成有序的、起作用的、有著生長點(diǎn)和開放面的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)思想方法是從操作層面上體現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來說是一個(gè)很好的切入點(diǎn)，也是一個(gè)良好的機(jī)會(huì).

[?] 優(yōu)化教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)

在運(yùn)算教學(xué)中，要重視從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣入手，努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性. 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方式并不在于過多地求新求奇，而主要在于教學(xué)內(nèi)容要在適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上達(dá)到最近發(fā)展區(qū)水平，使教學(xué)具有啟發(fā)性. 通過挖掘數(shù)學(xué)中的美來啟迪學(xué)生的心靈，也是吸引學(xué)生自覺鉆研數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方面.

的值.

這是一個(gè)三角計(jì)算求值的問題，試圖通過三角恒等變換達(dá)到考查運(yùn)算能力的目的. 主要體現(xiàn)在如何選擇公式，如何確定運(yùn)算方向，怎樣確定運(yùn)算路徑，從合理進(jìn)行運(yùn)算的角度來考查運(yùn)算能力.

可以引導(dǎo)學(xué)生分析條件和目標(biāo)，從角α+與2α+之間的關(guān)系入手確定運(yùn)算路徑.

關(guān)系①簡潔明朗，但在由已知求cos

2α+

的過程中，需要先求出sinα，cosα和sin

α+

的值.

關(guān)系②比關(guān)系①要復(fù)雜一些，但在求cos

2α+

的過程中，只需求出sin

，即cos2α和sin2α的值.

教師：再往下分析，由cos

α+

的值求sinα，cosα容易還是求sin2α，cos2α容易？

學(xué)生3：由于2α+=2

α+

，自然是求角2α+的正、余弦容易.

到此運(yùn)算的方向基本確定.

運(yùn)算能力的主要標(biāo)識(shí)不在運(yùn)算的本身，而是運(yùn)算方向和運(yùn)算路徑的確定. 來自于對(duì)問題的深刻理解，運(yùn)算目標(biāo)在運(yùn)算過程中起到了十分重要的作用. 沒有運(yùn)算目標(biāo)的指引，合理的運(yùn)算路徑就很難形成.

[?] 引導(dǎo)學(xué)生反思，提升運(yùn)算品質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算解題后的反思，是進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措. 對(duì)運(yùn)算的過程和結(jié)果進(jìn)行評(píng)估和研判，也是學(xué)生運(yùn)算能力的一種. 這一過程既是對(duì)學(xué)生運(yùn)算品質(zhì)的全面性培養(yǎng)，也是學(xué)生對(duì)自己思維活動(dòng)的再認(rèn)識(shí).

例6：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F（c，0），P（x0，y0）為橢圓上一點(diǎn)，且PA⊥PF. 求證：以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與橢圓的右準(zhǔn)線x=相切.

[x][O][y][P][A][F]

圖2

本題的思路不難確定，由PA⊥PF知點(diǎn)P（x0，y0）在以線段AF為直徑的圓上，將此圓方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)；然后再求半徑FP，證明FP與點(diǎn)F到右準(zhǔn)線x=的距離-c相等即可.

具體地，由PA⊥PF得·=-1，即y=-（x0+a）（x0-c）①.

又+=1②，①②聯(lián)立，如果不假思索消去y并整理成（b2-a2）x-a2（a-c）x0+a3c-a2b2=0，下一步無論用十字相乘法或是求根公式，都可能得不到理想的結(jié)果.

此時(shí)，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)過程進(jìn)行反思：解題目標(biāo)是什么？思路是什么？從而促使學(xué)生再一次對(duì)兩個(gè)研究對(duì)象進(jìn)行深入的觀察和思考，挖掘新特征，調(diào)整運(yùn)算，達(dá)成目標(biāo).

以AF為直徑的圓與橢圓除點(diǎn)P這個(gè)公共點(diǎn)外，還有另一個(gè)公共點(diǎn)A，那么由①②聯(lián)立整理成關(guān)于x0的二次方程中就一定會(huì)有“x0+a”這個(gè)因子.

消y得b2x+a2[-（x0+a）（x0-c）]-a2b2=0，即b2（x-a2）=a2（x0+a）（x0-c），有（x0+a）

x0+

=0，解得x0=或x0=-a（舍去）.

課堂上，許多學(xué)生的解題思路是清楚的，目標(biāo)是明確的，卻往往陷于“復(fù)雜”的運(yùn)算當(dāng)中不能自拔. 學(xué)生處在欲進(jìn)不得、欲罷不能之時(shí)，教師引導(dǎo)其深挖信息，走出困境，此時(shí)學(xué)生收獲的不僅僅是解題技能的提高，更是思維水平的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激揚(yáng). 這樣的反思過程強(qiáng)化了理性思考，有效促使了學(xué)生對(duì)運(yùn)算的認(rèn)知理解，提高了學(xué)生自覺通過提高思維水平來達(dá)到提升運(yùn)算水平的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會(huì)隨之提高.

總之，高三復(fù)習(xí)過程中要把培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力列為明確的教學(xué)目標(biāo)，輔之以相應(yīng)的教學(xué)素材和教學(xué)設(shè)計(jì). 要把學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)滲透到每節(jié)課、每道題中. 任何一道精心編擬的數(shù)學(xué)試題，均蘊(yùn)涵著運(yùn)算的通性通法或者是在數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)上所表現(xiàn)出來的合理、簡潔的運(yùn)算方式. 如果注意滲透、適時(shí)講解、反復(fù)強(qiáng)調(diào)，貫穿于整個(gè)高三復(fù)習(xí)的始終，學(xué)生就會(huì)深入于心，形成良好的運(yùn)算心理、意識(shí)和品質(zhì)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)才會(huì)得到有效落實(shí).