探究微命題微方法 培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

[摘 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 通過理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)維度：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，從數(shù)學(xué)的微命題和微方法入手，探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效培育途徑.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；微命題；微方法；向量

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程改革的新指向，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育教學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo). 本文通過理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)維度：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，從數(shù)學(xué)的微命題和微方法入手，探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效培育途徑.

[?] 聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，構(gòu)建微命題和微方法理念

隨著高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)方式的不斷改進(jìn)，研討微專題成為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn).目前可以發(fā)現(xiàn)很多研究微專題的方式方法，但“只有適合的方法才是最佳的方法”. 我們?cè)诮虒W(xué)中，常常會(huì)遇到學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)了解不夠的窘境，即課本概念和解題需要之間看似“脫節(jié)”，這時(shí)需要?dú)w納總結(jié)，提取幾個(gè)關(guān)鍵命題（本文稱作“微命題”），突出幾個(gè)關(guān)鍵方法（本文稱作“微方法”）.

要有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最有效的方法是將傳統(tǒng)的專題轉(zhuǎn)變?yōu)橐阅芰橹骶€的微專題，探究數(shù)學(xué)的微命題和微方法. 以期通過微命題和微方法的探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”. 本文以向量的幾何應(yīng)用為例，從微命題和微方法入手，談?wù)剶?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效培育途徑.

[?] 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，演繹微命題和微方法探究

研究向量的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，用向量的觀點(diǎn)研究教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用向量解決問題的意識(shí)和能力.以向量為工具，實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形”的結(jié)合，變抽象的數(shù)學(xué)邏輯為具體的向量運(yùn)算，通過向量就能比較容易地解決某些數(shù)學(xué)問題.

1. 向量表示直線的微方法

用向量表示直線，最先可以看作直線的兩點(diǎn)式方程.

設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為M，則過兩定點(diǎn)A，B的直線l的方程為：

=λ，λ∈R. （1）

設(shè)直線外一點(diǎn)O，則由（1）可推得過兩定點(diǎn)A，B的直線l的方程為：

=（1-λ）+λ，λ∈R. （2）

我們不妨稱（2）為直線的外點(diǎn)式方程，有時(shí)（2）可寫為

=α+β（α+β=1）. （2′）

上述形式都是由參數(shù)確定動(dòng)點(diǎn)位置的. 設(shè)p是直線外一點(diǎn)O到直線l的距離，O點(diǎn)到l的垂直方向所作的單位向量稱為單位法向量，則直線l上任意點(diǎn)M滿足

·n=p. （3）

這個(gè)式子稱為直線的法線式方程，它是用垂線表示直線的一種方式，且與坐標(biāo)無(wú)關(guān).在直角坐標(biāo)系中，設(shè)n=（cosθ，sinθ），θ是法線與x軸的夾角，M（x，y），則xcosθ+ysinθ-p=0.法線式方程在坐標(biāo)平面上表示夾角和距離時(shí)非常有用，例如，設(shè)直線外一點(diǎn)N（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離是d，則l的法向量為n= ±

又如，設(shè)直線l1：·n1=p1，l2：·n2=p2，則兩直線夾角就是它們法向量的夾角，其余弦值為cosθ=

n1·n2

，當(dāng)直線表示為一般式時(shí)，即A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，就有cosθ=.

例1：如圖3，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外一點(diǎn)D，若=m+n，則m+n的取值范圍是________.

變式：已知點(diǎn)G是△ABO的重心，若PQ經(jīng)過點(diǎn)G，且=a，=b，=ma，=nb，求證：+=3.

課堂簡(jiǎn)錄：通過小組交流討論，學(xué)生圍繞向量表示直線的微方法，可以比較輕松地解決此類問題.

學(xué)生1：對(duì)于例1，設(shè)=λ+（1-λ）·，設(shè)=u，則u<-1，于是==+，m+n=+=∈（-1，0）.

學(xué)生2：變式中，因?yàn)辄c(diǎn)G是重心，=a+b，于是

因?yàn)镻，Q，G三點(diǎn)共線，所以=，從而+=3.

師：此類問題的思維含量較高，但不管怎樣，只要建立向量表示直線的三個(gè)數(shù)學(xué)模型，復(fù)雜問題都能輕松的簡(jiǎn)單化.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，探究向量表示直線的微方法. 在探求用向量表示直線的三種微方法及其證明、應(yīng)用過程中，讓學(xué)生體會(huì)、感受數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程：觀察、猜想、歸納、證明、抽象和概括. 在教師的指引下，探索用數(shù)學(xué)的思維分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，動(dòng)手實(shí)踐、親身體驗(yàn)等探究性活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)邏輯，數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[?] 向量表達(dá)式的微命題

設(shè)，是平面上兩個(gè)不共線的非零向量，則平面上任何向量都可以表示為=α+β的形式，并且

（1）當(dāng)α+β=1時(shí)，A，B，M三點(diǎn)在同一條直線上，當(dāng)α+β>1時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O在直線AB的異側(cè)，當(dāng)α+β<1時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O在直線AB的同側(cè).

（2）上述表示式是唯一的，即若另有=m+n，則m=α，n=β. 證明如下：

（1）若α+β>1，設(shè)α+β=λ>1，則+=1，=+，在直線AB上，故點(diǎn)M與點(diǎn)O在直線AB的異側(cè)；同理，若α+β<1，則點(diǎn)M與點(diǎn)O在直線AB的同側(cè).

（2）由=m+n知（α-m）= -（β-n），但，不共線，故m=α，n=β.

問題：當(dāng)α+β≠1時(shí)，α+β能否對(duì)應(yīng)更精確的幾何位置呢？不妨再以α+β>1為例分析.設(shè)=α+β，α+β=λ>1，則點(diǎn)M與點(diǎn)O在直線AB的異側(cè). 設(shè)OM的連線與直線AB相交于點(diǎn)N，則==（α+β），故（α+β）=1，即=α+β=λ.

課堂簡(jiǎn)錄：各小組通過合作探討，展示研究成果，總結(jié)解決此問題的策略，其余小組對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充完善，教師最后總結(jié)點(diǎn)評(píng).

師（總結(jié)點(diǎn)評(píng)）：上式表明，α+β的值是線段OM與相應(yīng)截線段ON之比. 這個(gè)結(jié)論非常重要：點(diǎn)M離AB越“遠(yuǎn)”，α+β的值越大. 用類似的方法可以劃定α+β的取值與點(diǎn)M位置所在區(qū)域的對(duì)應(yīng)，如圖5.

有了這段分析，上面例1的結(jié)果一目了然，而例1的變式也可以更快地得到解決：因?yàn)镻，Q，G三點(diǎn)共線，存在α，β（α+β=1）使得=α+β，即

a+b=αma+βnb，得=αm，=βn，故1=α+β=+.

例2：已知△OAB，其中=a，=b，M，N分別為三角形OA，OB邊上的點(diǎn)，滿足=a，=b，設(shè)AN與BM相交于點(diǎn)P，則=_______.

變式：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量，，它們的夾角為120°，（1）點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若=x+y，求x+y的最大值；（2）當(dāng)∠BOC=30°時(shí)，求x+y的值.

課堂簡(jiǎn)錄：通過小組合作討論，展示研究成果并總結(jié)解決問題的策略，教師總結(jié)點(diǎn)評(píng).

生3：例2，令=λ+（1-λ）=λa+b，

同樣地令=μ+（1-μ）=a+（1-μ）b，

則λ

=，

=1-μ，由此解得λ=，μ=，因此=a+b.

師：不錯(cuò)，對(duì)微命題的運(yùn)用很到位，確立了問題模型的思考辨析能力，將問題的難度一下就降低了.

對(duì)于變式，也能容易解決，（1）x+y是兩線段之比，故當(dāng)OC⊥OD時(shí)取得最大比值2.（2）∠BOC=30°時(shí)，OD=，x+y==.

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察、分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從特殊到一般，抽象歸納出數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，形成數(shù)學(xué)命題并推廣到更一般的情形，并將數(shù)學(xué)模型用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來.把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

[?] 向量坐標(biāo)表示的微命題

設(shè)有點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（x，y），將向量繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角至，問A′（x′，y′）的坐標(biāo)如何表示？這個(gè)問題有兩種方法處理，一是放到極坐標(biāo)系中，令A(yù)（rcosθ1，rsinθ1），則A′（x′，y′）=（rcos（θ1+θ），rsin（θ1+θ））=（rcosθ1cosθ-rsinθ1sinθ，rsinθ1cosθ+rcosθ1sinθ）=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ）.

另一方法是轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)，即對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就為（x+yi）·（cosθ+isinθ）=（xcosθ-ysinθ）+i（xsinθ+ycosθ），從而x′=xcosθ-ysinθ，

y′=xsinθ+ycosθ.

特別地，如果旋轉(zhuǎn)角θ=90°，則x′= -y，y′=x. 比起坐標(biāo)系變換公式的推導(dǎo)，這兩個(gè)方法都很簡(jiǎn)潔，應(yīng)用時(shí)很方便.

例3：已知點(diǎn)A為直線l：x+2y-4=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C（2，4），以AC為直角邊作Rt△ABC，其中AB=AC（A，B，C按順時(shí)針排列），求·的最小值.

解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則=（2-x，4-y），因是向量繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ=90°所得，所以=（-4+y，2-x），從而=+=（x，y）+（-4+y，2-x）=（-4+x+y，2-x+y），·=（x，y）·（-4+x+y，2-x+y）=-4x+2y+x2+y2=（x-2）2+（y+1）2-5.

上式的最小值是以C（2，-1）為圓心的一簇圓的半徑的平方減5的最小值，當(dāng)然在圓與直線l相切時(shí)取得這個(gè)最小值，C（2，-1）到直線l的距離為d=，所以

-5即為所求.

例4： 設(shè)a，b為正數(shù)，xOy平面內(nèi)兩點(diǎn)A（a，0），B（0，b）是正三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，C在第一象限，若△ABC含于點(diǎn)集D={（x，y

0≤x≤1，0≤y≤1）}中，求點(diǎn)（a，b）所在平面區(qū)域的面積.

課堂簡(jiǎn)錄：通過小組合作探討，各小組展示研究成果，最后教師進(jìn)行總結(jié)點(diǎn)評(píng).

師（總結(jié)點(diǎn)評(píng)）：△ABC含于區(qū)域D內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是點(diǎn)C含在D內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)向量繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后所得后的C點(diǎn)含在D內(nèi). 而=（-a，b），故的復(fù)數(shù)形式為-a+bi，得的復(fù)數(shù)形式為

問題轉(zhuǎn)化為：D′={（a，b）

0≤a≤1，0≤b≤1}內(nèi)求區(qū)域0≤+b≤1，0≤+a≤1所圍的面積，不難求得該面積為6-3.

[A][B][E][O][x][D][C][y]

圖9

設(shè)計(jì)意圖：在整個(gè)教學(xué)過程中，要樹立發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動(dòng)的始終.在教學(xué)過程中要訓(xùn)練學(xué)生打破思維定式，要敢于求新求異，訓(xùn)練學(xué)生多層次、多角度、多方向的思維活動(dòng)，增加學(xué)生思維的厚重度.

對(duì)解題方法和命題的歸納和應(yīng)用，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本體現(xiàn)，有的教師主張啟發(fā)學(xué)生從自主探究中獲得結(jié)果. 但是若對(duì)功底不太雄厚的學(xué)生，這個(gè)要求不太現(xiàn)實(shí)，這時(shí)需要教師挖掘題目中的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和功能，找出方法上的共同關(guān)聯(lián)，以幫助學(xué)生輕松解題.

本著“以生為本”的理念，突出學(xué)生主體地位，站在學(xué)生的角度，闡明通過數(shù)學(xué)抽象過程生成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，依靠數(shù)學(xué)理性思維生成數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)，憑借數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐生成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，研究數(shù)學(xué)問題解決生成直觀想象素養(yǎng)，依賴數(shù)學(xué)算法算理生成數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，借助數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)思維生成數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 總之，在課堂教學(xué)中，要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)意識(shí)，探究數(shù)學(xué)微命題和微方法，有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).