例談解題心理過程

王煒

[摘 要] 對于解題者來說，記憶已有問題情境稱為“源”，當(dāng)前問題情境稱為“靶”，在利用“源”問題解決“靶”問題的過程中，就是建立方法和結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系.

[關(guān)鍵詞] 解題；“源”問題；“靶”問題；關(guān)系

導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、不等式綜合問題是各省市高考數(shù)學(xué)命題的熱點和難點，這類題涉及的知識點多，具有很強(qiáng)的綜合性和靈活性，在高考題中以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn)，而解決這類問題的難點是運用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式時構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或者在導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的基礎(chǔ)上解決與數(shù)列有關(guān)的不等式.

對于解題者來說，復(fù)雜問題是通過解題者的“漸悟”或“頓悟”來解決，類比思維和轉(zhuǎn)化思想是解決此類問題最有效的策略之一，記憶已有問題情境稱為“源”，當(dāng)前問題情境稱為“靶”，在利用“源”問題解決“靶”問題的過程中就是建立方法和結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系，如果“靶”問題與“源”問題結(jié)構(gòu)上建立了對應(yīng)關(guān)系，那么“源”問題可以直接類比使用于“靶”問題，從而使問題得到解決. 如果“靶”問題與“源”問題方法上建立了對應(yīng)關(guān)系，那么“源”問題方法直接轉(zhuǎn)化使用于“靶”問題；如果“靶”的問題與“源”問題在結(jié)構(gòu)沒有直接的對應(yīng)關(guān)系，那么就通過解題者改選“源”的問題狀態(tài)，使得改造后的狀態(tài)與“靶”問題在結(jié)構(gòu)上和方法上具有對應(yīng)關(guān)系，從而順利實現(xiàn)類比遷移，若不能實現(xiàn)“源”結(jié)構(gòu)改造，那么就進(jìn)行“靶”問題結(jié)構(gòu)改造，使得“源”問題與“靶”問題在結(jié)構(gòu)上和方法上建立對立關(guān)系，從而得到問題解決.

下面列舉幾例，談?wù)勅绾螌ふ姨崛W(xué)生的“源”問題和經(jīng)驗（解題模式），并建立與當(dāng)前問題“靶”的對應(yīng)關(guān)系.

例1：已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，a∈R.

（1）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；

（2）證明：對任意x∈（0，+∞），有l(wèi)nx>-.

（2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽題二試5題）

分析：學(xué)生做題第（1）之前，曾經(jīng)做過這樣一道試題：已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-2x+3，若不等式f（x）≤·[g′（x）+3]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

試題是金太陽高中新課標(biāo)卷單元測試示范卷數(shù)學(xué)BSD選修2-2第四單元第一次綜合測試（20）題.

由題意知：2xlnx≤3x2+2ax+1對x∈（0，+∞）恒成立，可得：a≥lnx-x-對x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)h（x）=lnx--，則h′（x）=-+=-，令h′（x）=0得x=1，x=-.

當(dāng)00，當(dāng)x>1時，h′（x）<0，所以h（x）取得最大值h（1）=-2，所以a≥-2，所以a的取值范圍是[-2，+∞）.

上面問題解題方法作為已有問題“源”，下面來看（1）問題“靶”.

由題意不等式f（x）≥g（x），對任意x∈（0，+∞）恒成立.

即xlnx≥（-x2+ax-3），對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得ax≤2xlnx+x2+3，對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得a≤2lnx+x+，對任意x∈（0，+∞）恒成立.

設(shè)h（x）=2lnx+x+，則h′（x）=+1-==，令h′（x）=0，x=1或x=-3（舍）.

當(dāng)01時，h′（x）>0，

所以x=1時，h（x）取得最小值，h（1）=4，所以a≤4，

所以a的取值范圍是（-∞，4].

學(xué)生做第（2）問題之前，曾經(jīng)做過2014年全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)（Ⅰ）卷（21）題：

設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2，

（1）求a，b；（2）證明：f（x）>1.

第（1）問題：由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

第（2）問題，由（1）知：f（x）=exlnx+，從而f（x）>1等價于xlnx>x·e-x-.

設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，所以當(dāng)x∈

內(nèi)單調(diào)遞減，在

，+∞

內(nèi)單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g

= -. 設(shè)函數(shù)h（x）=xe-x-，則h′（x）=e-x（1-x），所以當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）>0，故h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）<0在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，從而h（x）上的最大值h（1）=-，綜上所述當(dāng)x>0時，g（x）≥-≥h（x）. 由于在（0，+∞）內(nèi)兩個等號成立的x取值不同，故g（x）>h（x），即f（x）>1.

上面問題的解決方法作為已有問題“源”，下面來看原問題“靶”.

由題意，對任意x∈（0，+∞），有xlnx>-與上述問題結(jié)論完全一樣，從而得出解答.

變式訓(xùn)練：已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-6，

（1）求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

例2：（1）證明：對任意的x>0，y>0，有：≥-·（x-y）；

（2）證明：C+C+C+…+C≥.

（2009年陜西全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽題測試（四））

分析：學(xué)生做這道試題以前，曾做了這樣一道試題：

已知數(shù)列{an}的a1=，an+1=，n=1，2，…，

（1）求{an}的通項公式；（2）證明：對任意的x>0，an≥-

-x

，

n=1，2，3，…；

（3）證明：a1+a2+…+an>（2008年全國高考數(shù)學(xué)陜西卷（理科）第22題）

解：（1）由an+1=，有=+，-1=

則a1+a2+…+an≥=>，原不等式成立.

上面問題的解題方法，作為已有問題“源”，下面來看原問題“靶”.

證明：（1）因為-+（x-y）=+（x-y）=

-

=≥0，故原不等式成立.

取y==，得C+C+…+C≥=，

故原不等式成立.

例3：已知數(shù)列{xn}滿足x1=，xn+1=（n∈N*），

（1）猜想數(shù)列{xn}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）證明：

（2009年全國高考數(shù)學(xué)理科試卷（陜西卷）22題）

分析：學(xué)生做這道試題之前，曾做了這樣一道試題：

已知函數(shù)f（x）=，數(shù)列{an}，{bn}滿足a1>0，b1>0，an=f（an-1），bn=f（bn-1），n=2，3，….

（1）求a1的取值范圍，使得對任意的正整數(shù)，都有an+1>an；

（2）若a1=3，b1=4，求證：0

（2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)選賽試題13題）

注意到an>0（n∈N*），要使an+1>an，只需a2>a1，>a1，解得0

（2）當(dāng)a1=3時，由（1）知an+1>an，只需>an，解得0

又因為a1=3，所以3≤an<（n∈N*）.

當(dāng)b1=4時，由（1）知bn+1≤bn，得≤bn≤4（n∈N*）.

于是：bn-an=（-）=·（bn-1-an-1）≤×（bn-1-an-1）=（bn-1-an-1）≤（bn-2-an-2）

≤…≤（b1-a1）=.

綜上所述0

上面問題解答方法作為已有問題的“源”，下面來看原問題“靶”

證明：（1）由x1=，xn+1=，得x2=，

x3===，x4===，x5===，

x6===.

由x2>x4>x6，猜想{x2n}是遞減數(shù)列，下面證明：x2n+2

因為x1=>0，xn=>0（n∈N*），x4-x2<0，

所以x2n+2-x2n<0， 所以x2n+2

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立.

（2）假設(shè)n=k時，命題成立，即x2k+2

已知xk>0，

那么x2k+2-x2k+4

即x2k（k+1）>x2（k+1）+2，

也就是說 當(dāng)n=k+1時命題成立，結(jié)合（1）和（2）知命題成立.

（2）當(dāng)n=1時

故原不等式成立.

總之，在新的問題情境中，學(xué)生依據(jù)“靶”問題的初始狀態(tài)，把例題選擇為“源”問題的首選，其次才是自己做的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在解決對自己來說有一定困難的問題，都需要積極思維，努力在自己的記憶中尋長并提取“源”的問題，以期與“靶”問題進(jìn)行類比.

例題教學(xué)，對解題的作用，首先讓學(xué)生自己體會更為一般的解題策略，其次是如何將其應(yīng)用于具體問題，以此樹立解題的“榜樣”和操作的“示范”，旨在為學(xué)生的高效解題提供有力的參考.