到底是“科學(xué)性錯誤”還是“基于學(xué)情”

萬姝瑋++蔣亦

[摘 要] 一切學(xué)習(xí)在本質(zhì)上都是自我學(xué)習(xí)，教學(xué)要基于學(xué)生. 數(shù)學(xué)家加德納說：“數(shù)學(xué)的真諦在于不斷尋求越來越簡單的方法證明定理和數(shù)學(xué)問題. ”教師通過恰當(dāng)?shù)卦O(shè)問和追問與學(xué)生對話，并通過對話暴露學(xué)生的思維過程，然后生成的東西才是學(xué)生真正所擁有的、長久的知識.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)的奇偶性；教學(xué)設(shè)計(jì)

最近上了一堂賽課，課題是《函數(shù)的奇偶性》（教材：蘇教版必修1第41至43頁），下午4：00以后公布課題，次日上午上課. 時(shí)間很短，緊張思考，倉促準(zhǔn)備，上完課，感覺無論是學(xué)生還是聽課的教師和評委都被吸引住了，應(yīng)該不差. 可沒想到的是得到的評價(jià)卻是“毀譽(yù)參半”！有人認(rèn)為這是一堂精彩的課，也有人認(rèn)為這堂課犯了“科學(xué)性錯誤”. 這讓筆者思考良久……

[?] 回顧

1. 教學(xué)實(shí)錄

日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象：美麗的蝴蝶，泰姬陵和她在水中的倒影，徽章和風(fēng)車……（PPT演示）

圖1

教師：這些對稱可以分為兩類，大家可以說說是哪兩類嗎？

學(xué)生：關(guān)于直線對稱和關(guān)于點(diǎn)中心對稱.

問題1：在已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)中，也有一些函數(shù)的圖像是對稱的，大家能否舉出一些例子？

學(xué)生：f（x）=x2， f（x）=（x-1）2， f（x）=x，f（x）=x+1， f（x）=（幾何畫板繪圖）.

教師：

對稱關(guān)于直線對稱——關(guān)于y軸對稱，

關(guān)于點(diǎn)對稱——關(guān)于原點(diǎn)對稱.

我們把圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫偶函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)叫奇函數(shù).

比如說，剛才大家舉的例子中，哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)？

學(xué)生：偶函數(shù)有f（x）=x2，奇函數(shù)有f（x）=x，f（x）=.

問題2：函數(shù)f（x）=x+的奇偶性是怎樣的？

學(xué)生：……（面面相覷）

教師：大家之所以感到為難，是因?yàn)椴磺宄（x）=x+的圖像的特征. 因此，我們有必要從代數(shù)的角度來理解函數(shù)圖像的對稱性.

問題3：請大家觀察函數(shù)f（x）=x2的圖像，函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)圖像關(guān)于y軸對稱的[1]？

學(xué)生：f（-2）=4=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=9=f（3）……

教師：那是否對所有x0，都有f（x0）=f（-x0）？

學(xué)生：是的， f（-x）=x2=f（x）.

教師：請大家看課本第34頁例2，函數(shù)y=x的圖像是關(guān)于y軸對稱的，有類似的性質(zhì)嗎？哪位同學(xué)來說說[2]？

學(xué)生：f（-2）=2=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=3=f（3）……一般地，對任意x0，都有 f（x0）=

x0

=f（-x0）.

問題4：一般地，對任意一個(gè)圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)來說，都有f（-x）=f（x）嗎？

學(xué)生：是的.

教師：一般地，從代數(shù)角度來理解函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱的方法是f（-x）=f（x）.

一般地，如果對于函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，此時(shí)也稱函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù).

板演：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳.

偶函數(shù)：對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x）.

注：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.

問題5：請大家觀察函數(shù)f（x）=的圖像，函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的？

學(xué)生： f（-3）=-=-f（3）， f（-2）= -=-f（2）， f（-1）=-1=-f（1）……

一般地， f（-x）=-=-f（x）.

教師：f（x）=x的圖像也是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，有類似的性質(zhì)嗎？

學(xué)生：……

問題6：你能類比偶函數(shù)得出一個(gè)定義嗎？

學(xué)生：一般地，如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)也稱函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

板演：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳.

奇函數(shù)：對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）.

注：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

教師：我們從代數(shù)的角度來理解了函數(shù)圖像的對稱性. 再看問題2（函數(shù)f（x）=x+的奇偶性）.

學(xué)生：奇函數(shù)，因?yàn)閒（-x）=-x-= -f（x）.

辨析題（課本第43頁練習(xí)4）：對于定義在R上的函數(shù)f（x），下列判斷是否正確？

（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（-2）=f（2）；

（2）若f（-2）=f（2），則f（x）是偶函數(shù)；

（3）若f（-2）≠f（2），則f（x）不是偶函數(shù).

有些學(xué)生對（2）的判斷有誤，追問：若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），…，f（-n）=f（n）（n∈N*），則f（x）是偶函數(shù)嗎？由此強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵字“任意的”.

對（3）學(xué)生用反證法說明了理由，追問：還有其他的否定方法嗎？

學(xué)生：（沉默）

教師：隨便x取什么值，都有f（-x）=f（x）. 這個(gè)結(jié)論怎么否定？

學(xué)生（齊）：舉反例.

教師：這也是生活中常用的方法，比如說怎么否定“天下烏鴉一般黑”？

學(xué)生：只要找到一只烏鴉不是黑的就行了.

問題7：下列函數(shù)具有奇偶性嗎？（如圖4）由此，有何結(jié)論？

學(xué)生：沒有奇偶性.

教師：對于f（x）=x2，x∈[-3，2]而言，不是有f（-x）=f（x）么？怎么沒有奇偶性呢？

學(xué)生：f（3）無意義.

教師：那么奇（偶）函數(shù)的定義域有何特征？

學(xué)生：區(qū)間端點(diǎn)互為相反數(shù).

教師：很好，能不能也用“對稱”的說法來刻畫？

學(xué)生：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

教師：非常精彩！不僅奇（偶）函數(shù)的圖像對稱，而且其定義域也是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=x2-1；

（2）f（x）=2x；

（3）f（x）=（x-1）2；

（4）f（x）=.

小結(jié)：（1）判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：定義和圖像.

（2）用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；再確定f（x）與f（-x）的關(guān)系，得出結(jié)論. （40分鐘到，下課鈴聲響，匆忙小結(jié)）

教師（課堂小結(jié)）：本節(jié)課數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，從圖像的特征發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得出了數(shù)學(xué)結(jié)論. 這種研究函數(shù)性質(zhì)的方法還要延續(xù).

2. 設(shè)計(jì)說明

雖然準(zhǔn)備時(shí)間倉促，但筆者還是認(rèn)真閱讀了教材§2.2.2《函數(shù)的奇偶性》三遍才開始寫教案. 兩小時(shí)完工后再回看，感覺不自然，重新細(xì)看教材后發(fā)現(xiàn)教材的思路“日常生活中的對稱現(xiàn)象→基本函數(shù)圖像中類似的對稱性→數(shù)量關(guān)系刻畫→定義→例題和說明”不自然，特別是對難點(diǎn)“如何用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖像的對稱性”的突破顯得混亂. 先由圖像感知（教材旁注中還插圖折紙演示），下面又由特值舉例說明，似乎不符合認(rèn)知規(guī)律. “應(yīng)該先由特值感知到結(jié)論，再從圖像進(jìn)行一般說明才對?。　北е蓡?，筆者又翻開了人教版教材，果然是先從列表畫圖中發(fā)現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系f（-2）=4=f（2）……再由兩個(gè)特例y=x2，y=x得到了偶函數(shù)的定義. 整個(gè)流程比蘇教版自然流暢，更符合高一新生的學(xué)情，因此筆者設(shè)計(jì)了問題3和問題4. 另一方面，蘇教版的情境引入又給人美感，所以設(shè)計(jì)了問題1和問題2. 但萬沒想到的是這兩個(gè)自認(rèn)為精彩的設(shè)計(jì)成了評委的爭議！

3. 評價(jià)點(diǎn)評

評委意見分為兩類，一類認(rèn)為：問題設(shè)計(jì)別致，整堂課由問題驅(qū)動，自然生成了幾乎所有結(jié)論，學(xué)生積極思考，課堂結(jié)構(gòu)完整（也是唯一一位把例題教學(xué)和課堂小結(jié)都完成的選手）. 另一類認(rèn)為：選手是通過兩個(gè)特例y=x2，y=x來說明“一般地，對任意一個(gè)圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)都有f（-x）=f（x）”這個(gè)數(shù)量關(guān)系的，僅憑歸納猜想得出結(jié)論，是科學(xué)性錯誤，應(yīng)該一票否決；另外，在引入時(shí)，選手說“圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫偶函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)叫奇函數(shù)”，如此給函數(shù)的奇偶性下定義，書上沒有，欠妥. 這節(jié)課成為爭議，真是毀譽(yù)參半.

[?] 思考

1. 陷入困惑

反思自己：為了使課堂引入出彩，努力抓住學(xué)生的注意力，設(shè)計(jì)了問題1和問題2，結(jié)果得到了一個(gè)“不符合教材說法，欠妥”的評論；為了使課堂自然流暢，從學(xué)情出發(fā)，設(shè)計(jì)了問題3和問題4，結(jié)果弄出了“科學(xué)性錯誤”. 那么試問什么課堂才是精彩？四平八穩(wěn)、千篇一律、因循守舊的教學(xué)設(shè)計(jì)才可能是優(yōu)質(zhì)課嗎？難道創(chuàng)新就會導(dǎo)致錯誤？想了幾天還是不能接受，大膽提出一個(gè)猜想：也許自己是對的呢？事實(shí)上也只是一部分評委反對而已！

2. 深入思考

“圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫偶函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)叫奇函數(shù)”這個(gè)說法是否“欠妥”？教材定義：如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù). 這個(gè)定義是怎么來的？不還是根據(jù)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，用數(shù)量關(guān)系刻畫得出的嗎？根本原因還是函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱. 事實(shí)上，“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱”的充要條件就是“對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）”. 因此，筆者認(rèn)為這個(gè)說法完全正確，沒有“欠妥”！

通過兩個(gè)特例y=x2，y=x來說明“一般地，對任意一個(gè)圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)都有f（-x）=f（x）”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，用歸納猜想得出的結(jié)論，是科學(xué)性錯誤？言外之意，就是必須嚴(yán)格論證了. 讓我們看看教材：“觀察函數(shù)f（x）=x2的圖像，我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對稱（并附了一張圖）”“f（-2）=4=f（2）……實(shí)際上，對于函數(shù)f（x）=x2定義域R內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=x2=f（x）. 這時(shí)我們稱函數(shù)f（x）=x2為偶函數(shù)”. 教師用書旁注：“用數(shù)學(xué)符號語言刻畫函數(shù)圖像的對稱性，可以先從點(diǎn)的對稱出發(fā)（如點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是（-x0，y0），關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（-x0，-y0）等），再過渡到點(diǎn)在函數(shù)圖像上y0如何用x0表示，最后歸納到奇偶性的概念.”這也只是教學(xué)參考，不是教學(xué)必須遵循的標(biāo)準(zhǔn)答案（唯一的教學(xué)方案）. 更何況無論是蘇教版還是人教版教材，正文根本沒有給出任何嚴(yán)格的論證，都是由特例得到偶函數(shù)的定義的. 教材中類似的論述還有很多，比如復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，這些都是科學(xué)性錯誤嗎？肯定不是，只是針對學(xué)生目前知識不夠的權(quán)宜之計(jì)，是基于學(xué)情的不得已. 這種教學(xué)處理方法最多只是“有待商討”，談不上“科學(xué)性錯誤”.

現(xiàn)在就商討要不要給出嚴(yán)格論證呢？初中數(shù)學(xué)教材中將“軸對稱圖形”描述為“沿某一直線翻折后與其另一部分完全重合的圖形”[3]，事實(shí)上，蘇教版教材旁注了一張折紙演示函數(shù)f（x）=x2圖像的對稱性，知道高一新生對對稱性僅僅是“描述性定義”[3]的認(rèn)知水平. 要實(shí)現(xiàn)教師用書的教學(xué)建議，也許對重點(diǎn)高中學(xué)生還行，但是對于這個(gè)普通高中的學(xué)生是不合適的，設(shè)計(jì)的問題3和問題4正是基于學(xué)情的. 事實(shí)表明，基于人教版教材的問題3和問題4使課堂自然流暢. 相反，采用教師用書建議的課堂是低效的，沒有有效突破教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn). 因此，筆者的教學(xué)處理方案不僅沒有科學(xué)性錯誤，反而是明智的選擇.

3. 在路上

經(jīng)常聽同行說，每個(gè)人的教學(xué)觀念和經(jīng)驗(yàn)不同，對同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容往往有不同的教學(xué)處理方法，也沒有唯一正確的教學(xué)方案可言. 這句話在很大程度上是對的，筆者也一直在學(xué)習(xí)各種不同的教學(xué)處理方案和評價(jià)，在對比中汲取營養(yǎng)不斷成長. 筆者尊重與自己相左的教學(xué)處理方案和評價(jià)，因?yàn)樗麄兘o了筆者思考；也非常欣賞與筆者相同的教學(xué)處理方案和評價(jià)，因?yàn)樗麄兘o了筆者鼓舞. 但是，每當(dāng)筆者對比各種不同的教學(xué)處理方案和評價(jià)時(shí)，常常發(fā)現(xiàn)總是有一種比較好的，并不是樣樣都行. 到底哪種方案最好？需要我們不斷地追問、思考、鉆研和學(xué)習(xí). 讓我們一起走在專業(yè)成長的路上……

參考文獻(xiàn)：

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1（人教版）. 人民教育出版社，2013.

[2] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1（蘇教版）教師用書. 人民教育出版社，2015.

[3] 陳姝妮. 由圖形的對稱性講函數(shù)的“奇偶性”一課[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（12）：9-11.