精于“數(shù)” 簡于“形”
——《數(shù)形結(jié)合》教學(xué)設(shè)計與建議

王立松　李翠珍

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級上冊第107頁例2，練習(xí)二十二第5題、第8題。

【教學(xué)過程】

一、以數(shù)引形——由復(fù)習(xí)到引入

1.出示算式：1+3+5+7=（）

師：這是我們非常熟悉的10以內(nèi)的奇數(shù)連加，它的結(jié)果是多少？

生：16。

師：你真棒！你是怎么算的？

生：首尾相加，即8×2=16。

師：想法真好！那1+3+5+7+9+11+13=（）呢？

生：49，我是找出這些數(shù)的平均數(shù)，即7×7=49。

師：是的，我們用已學(xué)知識很快就能算出它們的和，不過今天我們要換一個角度來求它們的和。猜猜看是什么角度？

生：從圖形的角度。

師：是的，今天我們就來從圖形的角度研究——數(shù)與形。（板書：數(shù)與形）

二、借形解數(shù)——由圖形到直觀

出示例1：

圖1　

圖2　

圖3　

師：我們一起來看看圖2和圖3各有多少個像圖1這樣的小正方形？

生：圖2中有4個圖1這樣的小正方形；圖3中有9個圖1這樣的小正方形。

師：同學(xué)們動動腦筋想想，你能用算式表示出每個圖中小正方形的個數(shù)嗎？

生：圖1:1×1=1，圖2:2×2=4， 圖 3:3×3=9。

師：觀察這幾個圖形與計算出的得數(shù)（1,4,9），你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生回答教師動手操作（擺不同顏色的小正方形）

師：如果我們把剛才同學(xué)們表示圖中小正方形個數(shù)而列出的不同算式綜合起來，會是什么樣的呢？

（學(xué)生說教師板書）

生：1=1×1

1+3=2×2=4

1+3+5=3×3=9

教師板書：1=12

1+3=22

1+3+5=32

師：在這里“形”能直觀解釋“數(shù)”的計算，同學(xué)們想一想按照這樣的規(guī)律，“圖4”會是什么樣子？有幾個這樣的小正方形？

（小組合作，操作、觀察、思考）

師：觀察例1中的這些圖形和算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形圖形所包含的小正方形個數(shù)之和正好是每行或每列小正方形個數(shù)的平方。

生2：左邊加法算式里的加數(shù)都是奇數(shù)。

生3：有幾個加數(shù)相加，和就是幾的平方。

生4：第幾個圖形就有幾個數(shù)相加，和就是幾的平方。

師：根據(jù)同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)，想一想，第10個圖形中有多少個小正方形？第100個圖中呢？

（學(xué)生匯報）

教師小結(jié)：同學(xué)們非常善于觀察和思考，學(xué)習(xí)中我們利用計算求出了圖形中小正方形的個數(shù)，反過來直觀圖形也更好地幫助我們理解了計算中各數(shù)的含義。

三、由數(shù)解形——由抽象到具體

1.出示圖 4：

師：仔細觀察圖4，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4　

生1：我發(fā)現(xiàn)分子都是1，分母都是偶數(shù)，并且后面數(shù)是前面的2倍。

生2：這些數(shù)分別把圓平均分成2份、4份、8份、16份……每一份是前一份的。

師：圖中的省略號表示什么？

生：是按生2講的規(guī)律分下去，有無數(shù)個。

師：猜猜看它們的和是幾？為什么？

師：這道題等于幾？你是怎樣計算的？

師：這道題就是利用了數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)的問題可以用形來幫助解決，形的問題也可以用數(shù)來幫助解決。通過圖我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果無限接近“1”，像這樣無限接近“1”，它的得數(shù)我們就寫作“1”。

四、數(shù)形結(jié)合——由繁雜到簡單

1.出示“做一做”第1題。

1+3+5+7+5+3+1=（）

1+3+5+7+9+11+13+11+7+5+3+1=（）

師：請同學(xué)們仔細觀察比較一下，這些題與我們剛學(xué)的例1有什么異同點？你怎么解決呢？

生：這是和前面不一樣，它是一道組合題，只要將1+3+5+7+5+3+1分成（1+3+5+7）+（5+3+1）=42+32=25。

2.出示：7+9+11+13+15+17=（）

師：這道題又該怎樣解決呢？

生：可以利用減法算，7+9+11+13+15+17=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（1+3+5）=92-32=72。

師：你的思維非常縝密！

3.出示“做一做 2”：

下面每個圖形中各有多少個淺色小正方形和多少個深色小正方形？

淺色：1234

深色：8101214

照這樣接著畫下去，第6個圖形有多少個淺色小正方形和多少個深色小正方形？第10個圖形呢？第n個圖形呢？

生：第6個圖形淺色是6個，深色是18個；第10個圖形淺色是10個，深色是26個；第n個圖形淺色是n個，深色是2n+6個。

4.出示“練習(xí)二十二”第2題。

請你根據(jù)上面圖形與數(shù)的規(guī)律接著畫一畫，填一填。

師：請同學(xué)們仔細觀察圖小圓片和對應(yīng)的數(shù)，你有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：第一行1個，第二行2個，第三行3個，第四行4個。

生2：第2個圖形比第1個多2個，第3個圖形比第2個多3個，第4個比第3個多4個。

師：那要算出圖中有多少個小圓片應(yīng)該怎樣列式呢？

生：可以用1+2+3+4=10。

師：如果不畫，按照這樣排列規(guī)律，第10個圖形有多少個小圓片？怎么列式？

生：只要算出連續(xù)自然數(shù)的和就可以了，列式為1+2+3+4+…+10=55。

師：那你能找出第n個圖形的規(guī)律嗎？

生：1+2+3+4+ … +n=n×（n+1）÷2。

五、數(shù)形延伸——由課本到生活

師：這節(jié)課我們一起研究了“數(shù)與形”，你們能用今天所學(xué)知識解決我們生活中的問題嗎？（家庭作業(yè)）

出示“長宴桌”：

8人12人16人

想一想，這樣的10張桌子連在一起，一共可以坐多少人？