《釘子板上的多邊形》教學(xué)

王學(xué)紅

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版第九冊第108～109頁《釘子板上的多邊形》。

【教學(xué)過程】

一、回顧舊知，激活經(jīng)驗

談話：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會了一些圖形的面積計算。這些多邊形的面積你會計算嗎？需要知道哪些條件？

出示：

師：看來計算多邊形面積要知道邊的長度。

計算：（補(bǔ)充數(shù)據(jù)）學(xué)生口答多邊形的面積。

【設(shè)計意圖：課始通過出示這4個多邊形，喚醒學(xué)生研究多邊形面積的經(jīng)驗。通過補(bǔ)充邊的長度并計算面積，不僅回顧了計算多邊形面積的常用方法，更重要的是引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)常用的方法都是通過“邊的長度”這一途徑的?！?/p>

二、另辟蹊徑，探索規(guī)律

1.明確探索路徑。

激疑：換個角度，不通過邊的長度來計算多邊形的面積，是否還有別的方法呢？

播放微視頻，介紹皮克定理：1899年，奧地利的數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)了計算多邊形面積的另一條路徑。他將多邊形放到格點中研究，發(fā)現(xiàn)多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、邊內(nèi)釘子數(shù)之間的規(guī)律，并進(jìn)行了證明。這個規(guī)律被稱為“皮克定理”，被譽(yù)為史上“最重要的100個定理”之一。

揭題：多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)、邊內(nèi)釘子數(shù)到底有什么關(guān)系呢？今天這節(jié)課就讓我們共同來探索這其中的奧秘吧?。ò鍟哼厓?nèi)釘子數(shù)、邊上釘子數(shù)、多邊形面積）

2.自主探索內(nèi)部只有1枚釘子的多邊形。

（1）觀察猜想。

師：（在原來的圖形下出現(xiàn)釘子板）還以剛才的4個圖形為例，換個角度思考，你能從中發(fā)現(xiàn)什么？獨立完成1號研究單。

我發(fā)現(xiàn)：（）

（2）自主驗證。

師：這個發(fā)現(xiàn)對不對呢？怎么辦？自己再舉幾個這樣的例子驗證驗證！為了研究的方便，我們把釘子板換成點子圖。請同學(xué)們在點子圖中再畫幾個這樣的多邊形，數(shù)一數(shù)，算一算。

（學(xué)生驗證交流）

預(yù)設(shè)一：學(xué)生畫出的是邊內(nèi)只有1枚釘子的圖形，驗證成立。

預(yù)設(shè)二：學(xué)生畫出的圖形不符合規(guī)律，驗證不了。

觀察比較：（對比兩種情況）這是為什么呢？

完善規(guī)律：邊內(nèi)只有1枚釘子時，多邊形面積等于邊上釘子數(shù)除以2。

（3）符號表達(dá)。

師：如果用S表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，這個規(guī)律可以用字母怎么表達(dá)？用字母表達(dá)感覺怎么樣？

3.分組探究內(nèi)部有0枚、2枚、3枚、4枚……情況。

過渡：多邊形內(nèi)不是1枚釘子又會有什么規(guī)律呢？想試一試嗎？小組商量一下，你們想研究哪種情況？

（1）小組合作，探索規(guī)律。（完成2號研究單）

合作要求：①畫一畫：每人畫一個內(nèi)有（）枚釘子的多邊形。

②填一填：算出多邊形面積，數(shù)出邊上釘子數(shù)，完成表格。

③說一說：觀察分析，你能從中發(fā)現(xiàn)什么共同之處？

④試一試：再舉幾個例子試一試，是否符合這一規(guī)律？

邊上釘子數(shù)（枚）　多邊形面積（平方厘米）邊內(nèi)有（）枚釘子。2　3　4 3.5

我發(fā)現(xiàn)：（）

（2）大組交流，合成規(guī)律。

師：要讓自己變聰明，首先，我們要學(xué)會由一個想到許多個。例如我們由內(nèi)部只有1枚釘子，想到了0枚、2枚、3枚、4枚……我們還要學(xué)會把許多個變成一個。

（學(xué)生分組匯報的過程中比較）這些看似不同的規(guī)律之間有聯(lián)系嗎？

邊內(nèi)的釘子數(shù)（枚）　邊上釘子數(shù)（枚）　多邊形面積（平方厘米）0 n S=n÷2-1 1 n S=n÷2 2 n S=n÷2+1 3 S=n÷2+2 4 n S=n÷2+3 a n n

師：“換個角度，就有新路”。要求多邊形的面積，現(xiàn)在我們又多了一個途徑。只要知道——？如果用a表示邊內(nèi)的釘子數(shù)，這個多邊形面積S可以怎么表示？

4.應(yīng)用規(guī)律，體會價值。

運用格點法計算海安七星湖的占地面積，體會其實際應(yīng)用的價值。

【設(shè)計意圖：上述四個活動，是本課的“重頭戲”，圍繞三個問題展開教學(xué)：“多邊形面積計算的另一條路徑在哪里?”“這條路徑是什么？”“這一規(guī)律有什么用？”由簡單到復(fù)雜，由一般到概括，環(huán)環(huán)相扣，螺旋上升，讓學(xué)生在智力沖浪中發(fā)展規(guī)律。當(dāng)然，作為探索規(guī)律的活動，注重的不僅是結(jié)論的得出，更重要的是過程的經(jīng)歷，經(jīng)驗的積累，以及“觀察比較——猜想驗證——得出結(jié)論”的科學(xué)研究方法的感悟?！?/p>

三、總結(jié)提煉，深化理解

提問：回顧本課探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有哪些收獲？

小結(jié)：通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道多邊形面積的計算不僅可以通過邊的長度來計算，還可以通過邊內(nèi)、邊上的釘子數(shù)來計算。這兩種方法之間其實是相通的。將來同學(xué)們學(xué)的數(shù)學(xué)知識越來越多，就會明白其中的道理了。

四、拓展延伸，升華主題

【設(shè)計意圖：學(xué)生在課堂中運用不完全歸納法探索出規(guī)律，為研究多邊形面積又打開了一條新的路徑。從這一角度看，本課的學(xué)習(xí)價值更加重在對學(xué)生進(jìn)行思維拓展啟迪，用八個字來概括，就是“換個思路，就有新路”。課尾微視頻的播放，讓學(xué)生回顧不僅在形的世界里，在數(shù)的世界里也有這樣的例子。從而讓學(xué)生真正感受的“換個角度，就有新路”的神奇魅力！綜觀整節(jié)課的教學(xué)，力求讓學(xué)生在規(guī)律之外感受到探索過程中獲得的方法，及其規(guī)律背后蘊(yùn)含的思想價值。】