利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題

烏仁其其格

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題

烏仁其其格

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)性內(nèi)容，而且在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)可以求出實(shí)際生活中的某些最值問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題.如利潤(rùn)最大、生產(chǎn)效率最大、用料最少、耗油量最少等問(wèn)題.

導(dǎo)數(shù)；最值問(wèn)題；經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

1 最值問(wèn)題

1.1 最大利潤(rùn)問(wèn)題

例1上海某公共汽車公司舉辦市內(nèi)觀光旅游.若票價(jià)為每人40元，則一周游客約1000人；若票價(jià)為每人30元，則一周游客約1400人.假定游客人數(shù)x與票價(jià)p是線性關(guān)系，那么為了使一周的收益最大，票價(jià)應(yīng)定為多少？又若舉辦此項(xiàng)觀光旅游的一周成本為C（x）=20000+10x(元)，問(wèn)為使一周的利潤(rùn)最大，票價(jià)應(yīng)定為多少？

解首先列出需求方程，即票價(jià)p與人數(shù)x應(yīng)滿足的線性方程.由直線的兩點(diǎn)式方程，即有

由此得到

從而收益為

邊際收益為

由于R(x)為開(kāi)口向下的拋物線，所以當(dāng)邊際收益為零時(shí)，收益達(dá)到最大值，即當(dāng)x=1300時(shí)，R(x)有最大值.此時(shí)的票價(jià)即可以從x=1300代入（1）式得到：

當(dāng)考慮利潤(rùn)時(shí)，我們得到一周的利潤(rùn)為

所以邊際利潤(rùn)為

P(x)的圖形也是開(kāi)口向下的拋物線，所以，當(dāng)邊際利潤(rùn)為零時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值，即當(dāng)x=1100時(shí)，P(x)有最大值.此時(shí)的票價(jià)以x=1100代入（1）式得到:

根據(jù)以上分析，結(jié)論是32.5元的票價(jià)極可能帶來(lái)最大的每周收益，但37.5元的票價(jià)極可能帶來(lái)最大的每周利潤(rùn). 1.2 費(fèi)用最少問(wèn)題

例2工廠A到鐵路線的垂直距離為20km，垂足為B.在鐵路線上距離B 100km處有一個(gè)原料供應(yīng)站C，現(xiàn)要在鐵路B、C之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)站，再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3：5，那么D應(yīng)選在何處，才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需的運(yùn)費(fèi)最?。?/p>

解這樣的最值問(wèn)題，首先要合理建模，使問(wèn)題獲解.

解設(shè)B、D之間的距離為xkm，

則|AD|2=202+x2，|CD|=100-x

如果公路運(yùn)費(fèi)為a元/千米，那么鐵路運(yùn)費(fèi)為3a/5元/千米.

所以從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需的總運(yùn)費(fèi)

解得x1=15，x2=-15（不符合實(shí)際意義，故舍去），

于是x1=15是函數(shù)y在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以x1=15是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，而且也是函數(shù)y的最小值點(diǎn).由此可知，車站D建于B、C之間并且與B相距15km處最可省運(yùn)費(fèi).

1.3 容積最大問(wèn)題

例3在一塊邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵皮上，四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，用剩下的部分做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子（見(jiàn)圖2-9），試問(wèn)當(dāng)x取什么值時(shí)，它的容積最大，其值是多少？

解由于小正方形的邊長(zhǎng)為x，故盒子底邊長(zhǎng)為2a-2x，它的容積為

由

解V'(x)=0得駐點(diǎn)x1=a,x2=a/3.由于當(dāng)x1=a時(shí)，表示鐵皮完全被截去，這是容積為零，不合題意，故V(x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)x2=a/3，另一方面，根據(jù)此問(wèn)題的特點(diǎn)可以判定V(x)一定有最大值.因此當(dāng)x2=a/3時(shí)，V(x)取的最大值，其值為

例4用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條做一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所做容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m.那么高是多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.

解設(shè)容器底面矩形短邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為(x+0. 5)m，高為=(3.2-2x)m.由(3.2-2x)＞0且x＞0，得0＜x＜1.6.設(shè)容器的容積為y m3,則y=x(x+0.5)(3.2-2x).令 y'=-6x2+4.4x+1.6=0，則x=1或x=（舍去）.

從而，在定義域（0,1.6）內(nèi)只有在x=1處使得y'=0.由題意，若x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近1.6）時(shí)，y的值很?。ń咏?），因此，當(dāng)x=1時(shí)，y取得最大，y最大=-2+2.2+1.6=1.8.這時(shí)，高為3.2-2×1=1.2.

故當(dāng)容器的高為l.2m時(shí)，容器的容積最大，最大值為1.8m3.

1.4 費(fèi)用的節(jié)省

例5某種型號(hào)的小型客車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y（升）與行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y=x+8(0＜x≤120)已知甲、乙兩城市相距100千米.試問(wèn)：當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲城市到乙城市耗油最少？

解依據(jù)題意，得：

依題意得

令h'(x)=0,得x=80.

當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h'(x)＜0,h(x)是減函數(shù)；

當(dāng)x∈*80,120)時(shí)，h'(x)＞0,h(x)是增函數(shù)；

由導(dǎo)數(shù)的極值判別定理可知，當(dāng)x=80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)=11.25

由于h(x)在(0,120]上有且僅有一個(gè)極值，所以它是最小值.當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲城市到乙城市耗油最少.

1.5 速度問(wèn)題

例6求自由落體在時(shí)刻t=1(秒)時(shí)的瞬時(shí)速度v.

解

當(dāng)t=1時(shí)，v=g.

2 經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)且在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)f'(x)是f(x)的邊際函數(shù)，f'(x)在x0處的值f'(x0)是邊際函數(shù)值.

定義2總成本C=C(Q)的導(dǎo)數(shù)C'稱為邊際成本，平均成本的導(dǎo)數(shù)稱為邊際平均成本.

例7設(shè)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(Q)=2000+45Q+0. 02Q2，Q∈[0,1000]，試求：

（1）當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本；

（2）當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí)的平均成本；

（3）當(dāng)產(chǎn)量從100噸增加到200噸時(shí)，總成本的平均變化率；

（4）分別求當(dāng)產(chǎn)量為100噸和200噸時(shí)的邊際成本.

解（1）當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本

C(100)=2000+45×100+0.02×1002=6700.

（2）當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本

（3）當(dāng)產(chǎn)量從100噸增加到200噸時(shí)，

所以總成本的平均變化率為

（4）邊際成本函數(shù)

所以

這說(shuō)明當(dāng)產(chǎn)量為100時(shí)，再增加一個(gè)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)，總成本將增加49；當(dāng)產(chǎn)量為200時(shí)，再增加一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本將增加53.

3 結(jié)束語(yǔ)

上面的討論中我們可以得知，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用滲透到社會(huì)領(lǐng)域的方方面面.本文通過(guò)舉例的方式利用導(dǎo)數(shù)解決很多的實(shí)際問(wèn)題，最優(yōu)化問(wèn)題具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，如需求函數(shù)、供給函數(shù)、消費(fèi)函數(shù)、生產(chǎn)函數(shù)、投資函數(shù)等等，在生活中均得到廣泛應(yīng)用，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決生活問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)方法最優(yōu)化、計(jì)劃最優(yōu)化、過(guò)程最優(yōu)化、結(jié)果最優(yōu)化等等.最優(yōu)化問(wèn)題不管是在提高自身思維能力方面，還是在平時(shí)生活處理問(wèn)題，都是大有益處的.它使我學(xué)到了如何運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決生活問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)方法最優(yōu)化，計(jì)劃最優(yōu)化，過(guò)程最優(yōu)化，結(jié)果最優(yōu)化等.最優(yōu)化問(wèn)題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強(qiáng)，因此對(duì)于開(kāi)闊解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力，很有益處，但解決這類問(wèn)題最優(yōu)化，實(shí)踐或不可缺的.

〔1〕同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

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2016-12-22