對瞬心的動量矩定理的兩種形式

項秉坷

摘要：關(guān)于作平面平行運動的剛體相對于過質(zhì)心并且與固定平面平行的薄片上的動量矩定理，大多數(shù)教材均已討論了其對固定點和對質(zhì)心成立。本文給出了對瞬心的動量矩定理的兩種形式，并分別得出了剛體對瞬心的轉(zhuǎn)動定理及其適用條件。

關(guān)鍵詞：剛體；動量矩定理；本體極跡

1.引言

在剛體平面平行運動的動力學(xué)中，為了結(jié)合質(zhì)心運動定理，通常選擇質(zhì)心作為基點，得到質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的方程。但是，選取瞬心作為基點來分析剛體上各點的速度非常方便，并且有時以瞬心作為基點的動力學(xué)方程也更加簡潔。

2.對瞬心的動量矩定理的推導(dǎo)

在作平面平行運動的剛體上取一過質(zhì)心C且與固定平面平行的薄片，為其瞬心，取固定系O-XY如圖2-1所示。

圖2-1

剛體對瞬心的動量矩為

（1）

又因為

（2）

代入（1）式，可得

（3）

其中，剛體對固定點的動量矩，剛體的總動量。隨著時間變化，我們始終將取為瞬心，（3）式始終成立，等式兩邊對時間求導(dǎo)，并代入剛體相對于固定點的動量矩定理中，得

（4）

其中 ，，故（4）式可化為

（5）

（5）式即為剛體相對于瞬心的動量矩定理。根據(jù)，，可得

（6）

又因為為瞬心，，（6）式可化為，根據(jù)雙重矢積公式展開得

（7）

因為垂直于，故

（8）

即當(dāng)質(zhì)心與瞬心的距離保持不變時，對瞬心的動量矩定理與對定點的動量矩定理有相同形式，此時

（9）

又

（10）

兩邊對時間求導(dǎo)：

（11）

式（11）即為當(dāng)瞬心到質(zhì)心距離保持不變時，剛體對瞬心的轉(zhuǎn)動定理。

3. 對瞬心的動量矩定理的另一種形式

另外，我們知道剛體對任意點的動量矩定理還有如下形式：

（12）

將該任意點取在瞬心即成為剛體對瞬心的動量矩定理，的充要條件為。即與在一條直線上。

而我們知道，薄片的運動實際上是本體極跡B在空間極跡S上的無滑滾動，如圖3-2所示。

圖3-2

在任一瞬時，此兩軌跡的公切點即為該時刻的瞬心。而此時的方向應(yīng)與這條公切線垂直。又因為與在一條直線上，說明質(zhì)心C在本體極跡B過的法線上。我們知道本體極跡是瞬心在薄片上所描繪的軌跡，現(xiàn)本體極跡的所有法線都經(jīng)過質(zhì)心C，這說明曲線B是一段圓弧，質(zhì)心C即是圓弧的圓心，也就是質(zhì)心到瞬心的距離始終不變。下面證明若平面上一條連續(xù)曲線的所有法線都經(jīng)過同一點，則這條曲線是一段圓?。?/p>

設(shè)曲線方程為，所有法線過定點，則對于曲線上任意的x、y，下式恒成立。

（13）

即

（14）

對于這個全微分方程，，故其可以寫成，

采用湊微分法，可得

（15）

即得到曲線的軌跡方程為，取C為正數(shù)這是一個圓的方程，則說明成立的充要條件是質(zhì)心到瞬心的距離保持不變。

參考文獻(xiàn)

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2009

[2]呂茂烈.對不同矩心的動量矩定理的辨異[J].力學(xué)與實踐，1990，3