也證“平面平行運(yùn)動(dòng)剛體彈性碰撞前后相對(duì)速度大小相等”

王孝廠

(浙江省溫州中學(xué) 浙江 溫州 325014)

貴刊2020年第7期刊登了陳鐵松老師的《平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體彈性碰撞問(wèn)題的探討》[1]一文，文中作者證明了兩個(gè)做平面平行運(yùn)動(dòng)的自由剛體“發(fā)生碰撞過(guò)程中，若發(fā)生碰撞的兩點(diǎn)在碰撞力的方向上相對(duì)速度大小相等”，則“碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能不變”[1]．

本文將從彈性碰撞出發(fā)，直接證明做平面平行運(yùn)動(dòng)的自由剛體和受理想約束的剛體發(fā)生彈性碰撞過(guò)程中，發(fā)生碰撞的兩點(diǎn)在碰撞前后沿碰撞力的方向上相對(duì)速度大小相等．

1 兩個(gè)自由的剛體發(fā)生彈性碰撞

如圖1所示，有兩個(gè)光滑剛體甲、乙，C1和C2分別為兩剛體的質(zhì)心，其速度分別為vC10和vC20，兩剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ω10和ω20．兩剛體在某一時(shí)刻發(fā)生彈性碰撞，剛體甲上的A1點(diǎn)與剛體乙上的A2點(diǎn)接觸，并且剛體甲對(duì)剛體乙的沖量為I．由于沒(méi)有摩擦，沖量I方向應(yīng)沿過(guò)兩剛體接觸點(diǎn)的公法線(圖1中PQ)．假設(shè)碰撞后剛體甲、乙質(zhì)心的速度分別為vC1和vC2，兩剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ω1和ω2，對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直紙面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2．

圖1 自由的剛體發(fā)生彈性碰撞

對(duì)剛體甲、乙分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理[2]得

-I=m1vC1-m1vC10

(1)

I=m2vC2-m2vC20

(2)

在碰撞過(guò)程中剛體的質(zhì)心對(duì)地有加速度，設(shè)某時(shí)刻剛體甲質(zhì)心加速度為aC1，在剛體甲的質(zhì)心系中，剛體甲中任意質(zhì)量為Δmi的質(zhì)元都會(huì)受到慣性力ΔFi=-ΔmiaC1[2]．質(zhì)元受到慣性力與重力Gi=Δmig相類似，重力的等效作用點(diǎn)為質(zhì)心(重心)，容易得到剛體甲各部分所受慣性力的等效作用點(diǎn)為剛體甲的質(zhì)心，同理可得剛體乙在質(zhì)心系中各部分所受慣性力的等效作用點(diǎn)為剛體乙的質(zhì)心．所以在兩剛體的各自質(zhì)心系中慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩為零．在兩剛體各自的質(zhì)心系中，對(duì)剛體甲、乙分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理[2]得

rC1A1×(-I)=J1ω1-J1ω10

(3)

rC2A2×I=J2ω2-J2ω20

(4)

由柯尼希定理[2]及碰撞過(guò)程的機(jī)械能守恒得

(5)

通過(guò)移項(xiàng)可化為

(6)

利用矢量點(diǎn)乘的性質(zhì)可化為

(7)

將式(1)～(4)代入式(7)可得

I·(vC10+vC1)+(rC1A1×I)·(ω10+ω1)=

I·(vC2+vC20)+(rC2A2×I)·(ω2+ω20)

(8)

利用矢量混積的性質(zhì)[2]

(a×b)·c=b·(c×a)

可將式(8)化為

I·(vC10+vC1)+I·[(ω10+ω1)×rC1A1]=

I·(vC2+vC20)+I·[(ω2+ω20)×rC2A2]

(9)

整理得

I·(vC10+ω10×rC1A1)-I·(vC20+ω20×rC2A2)=

I·(vC2+ω2×rC2A2)-I·(vC1+ω1×rC1A1)

(10)

式(10)除以I可得

(11)

令A(yù)1點(diǎn)碰前、碰后沿PQ的速度分量v10n和v1n，則

令A(yù)2點(diǎn)碰前、碰后沿PQ的速度分量v20n和v2n，則

所以式(11)即為

v10n-v20n=v2n-v1n

也就是碰撞前后沿碰撞力的方向上相對(duì)速度大小相等．

2 自由剛體與受約束剛體的彈性碰撞

在第1種情況中若剛體乙上的O點(diǎn)被光滑的槽限制在直線MN上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則在兩剛體碰撞的過(guò)程中，光滑槽可能會(huì)對(duì)剛體乙施加一沖量，設(shè)為I1，I1垂直于MN．

圖2 自由剛體與受約束剛體發(fā)生彈性碰撞

對(duì)剛體甲、乙分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得

-I=m1vC1-m1vC10

(12)

I+I1=m2vC2-m2vC20

(13)

慣性力在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的力矩為零，所以在兩剛體的質(zhì)心系中，對(duì)剛體甲、乙分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理得

rC1A1×(-I)=J1ω1-J1ω10

(14)

rC2A2×I+rC2O×I1=J2ω2-J2ω20

(15)

由柯尼希定理和碰撞過(guò)程的機(jī)械能守恒得

(16)

將式(12)～(15)代入式(16)，化簡(jiǎn)可得

I·(vC10+ω10×rC1A1)-I·(vC20+ω20×rC2A2)=

I·(vC2+ω2×rC2A2)-I·(vC1+ω1×rC1A1)+I1·(vC2+ω2×rC2O)+I1·(vC20+ω20×rC2O)

(17)

由于O點(diǎn)只能沿著MN運(yùn)動(dòng)，可得

I1·(vC20+ω20×rC2O)=0

(18)

I1·(vC2+ω2×rC2O)=0

(19)

將式(18)、(19)代入式(17)得

也就是v10n-v20n=v2n-v1n，即碰撞前后，沿碰撞力的方向上相對(duì)速度大小相等．

若剛體乙只能繞O點(diǎn)無(wú)摩擦地定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則在碰撞過(guò)程中剛體乙也會(huì)受到一個(gè)過(guò)O點(diǎn)的沖量I2，則可認(rèn)為光滑槽沿著與I2垂直的方向，所以v10n-v20n=v2n-v1n也顯然成立．

由上證明可見(jiàn)，平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體不管是否受到理想約束，在彈性碰撞過(guò)程中，碰撞前后沿碰撞力的方向上相對(duì)速度大小相等，利用此關(guān)系列出的方程為一次方程，可以代替能量守恒與動(dòng)量、角動(dòng)量相關(guān)的關(guān)系式一起求解碰撞之后剛體運(yùn)動(dòng)各參量．