基于李群李代數(shù)的車用穩(wěn)定平臺加速度分析方法

劉 曉

（山西省交通科學(xué)研究院，山西 太原 030006）

0 引言

車載穩(wěn)定平臺能夠隔離車輛受路面顛簸、車流量影響、發(fā)動機(jī)振動等環(huán)境擾動產(chǎn)生的六維擾動，為數(shù)字相機(jī)、激光傳感器、光學(xué)儀器提供一個相對穩(wěn)定的工作平臺，已作為保障各類交通管制偵測車、多功能智能檢測車工作精度的關(guān)鍵設(shè)備[1]。并聯(lián)式穩(wěn)定平臺是一個處于非慣性系環(huán)境中的復(fù)雜多剛體系統(tǒng)[2]，一般由設(shè)備安裝平臺、運(yùn)動執(zhí)行器、鉸鏈、基座構(gòu)成，其中基座時刻隨車振動。建立系統(tǒng)各剛體之間的加速度映射關(guān)系是分析設(shè)備穩(wěn)定效果、建立運(yùn)動學(xué)/動力學(xué)模型、制定穩(wěn)定控制策略的前提，因此分析多剛體系統(tǒng)的加速度是開展穩(wěn)定平臺研究的前提。

傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論中通常使用三維矢量代數(shù)描述剛體的轉(zhuǎn)動和移動，即剛體的加速度分別用它的角加速度和其上一點(diǎn)的線加速度來描述。由于這種傳統(tǒng)的描述方法不具有坐標(biāo)不變性，因此分析剛體加速度是一項(xiàng)繁瑣困難的工作，特別是對于多剛體動力系統(tǒng)來說，這項(xiàng)工作就變得十分困難，另外，建立的復(fù)雜模型將導(dǎo)致算法耗時，嚴(yán)重影響穩(wěn)定平臺響應(yīng)速度；采用Lagrange方法[3]分析剛體加速度時可回避上述問題，但該方法存在拉格朗日函數(shù)偏微分的求導(dǎo)這一繁雜的任務(wù)，實(shí)際上是將分析困難轉(zhuǎn)移。

近年來，一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論被應(yīng)用于多剛體系統(tǒng)研究中，其中螺旋理論是一種有效的工具[4]。Ball最早建立了螺旋理論的基礎(chǔ)，然而到目前為止，螺旋理論大多應(yīng)用于剛體的速度、靜力分析和幾何綜合，只有很少的工作將螺旋理論應(yīng)用于剛體加速度分析中[5]。Bokelberg等討論了速度螺旋的無窮小位移；Ridley等研究了剛體作一般運(yùn)動時的加速度中心；Martinez和Duffy分析了剛體簡化加速度的合成，并指出剛體的簡化加速度具有坐標(biāo)不變性。但直至目前，國際上對旋量的導(dǎo)數(shù)是不是剛體加速度這一問題的認(rèn)識仍未統(tǒng)一，這也限制了其在分析多剛體系統(tǒng)時的應(yīng)用[6]。

1 剛體加速度的六維旋量描述

令{a}和分別為建立于剛體A和B上的坐標(biāo)系，剛體B相對于A的速度在{a}系中的描述可定義為：

同時，式（1）是剛體B相對剛體A的運(yùn)動旋量在{a}系中的六維矢量描述。在本文敘述過程中，左上標(biāo)表示用于描述矩陣或矢量的坐標(biāo)系，右下標(biāo)表示相對運(yùn)動或位置，如下標(biāo)ab表示剛體B相對于剛體A的運(yùn)動，也可表示點(diǎn)b相對于{a}系的運(yùn)動或位置。展開式（1）可得：

式中：

式中：aωab表示剛體B相對于剛體A的角速度，與傳統(tǒng)的角速度表示一致；avab∈?3是一個三維矢量，在本文定義為剛體B相對于A的線速度，與傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論中的線速度定義不同，avab并不是剛體B固連點(diǎn)b相對于{a}系的速度，而是剛體B上與{a}系原點(diǎn)瞬時重合點(diǎn)（設(shè)為a′）相對于{a}系的線速度，其數(shù)值與傳統(tǒng)表示并不相同。因此，基于旋量理論建立的速度描述與傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)描述方式并不相同，在此稱為剛體速度，其是一個包含角速度、線速度的六維矢量。

剛體B相對A的運(yùn)動旋量求導(dǎo)即可得到對應(yīng)的剛體加速度，對式（1）兩端求時間導(dǎo)數(shù)可得：

對式（2）兩端求時間導(dǎo)數(shù)：

結(jié)合式（5）、式（6）建立剛體角加速度的旋量描述形式為：

令aaab=av˙ab，并定義aaab為剛體B相對于剛體A的線加速度，本文稱為剛體線加速度，其與傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)描述方式的區(qū)別將在下節(jié)分析。由式（5）、式（6）建立其旋量描述形式為：

將式（3）、（7）代入上式，整理為：

aaab∈?3是一個三維矢量，依據(jù)李代數(shù)可證明剛體加速度表達(dá)式：

是李代數(shù)的一個元素，即a?ab∈se（3）為剛體的加速度旋量。

由于本文定義的剛體加速度旋量均是李代數(shù)空間的元素，因此李群空間元素gab的伴隨作用可給出任意兩個剛體加速度之間的變換，即存在以下關(guān)系成立：

式中：bab為剛體B相對于A的剛體加速度在系中描述。

上述提供了剛體速度、加速度的六維旋量描述和變換方法，后續(xù)的研究分析將證明這種描述方法在多剛體系統(tǒng)加速度中的優(yōu)點(diǎn)。

2 剛體加速度的物理意義

本節(jié)將分析剛體加速度的物理意義，并與傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)描述方式進(jìn)行對比。為了分析方便，令剛體B上與{a}系原點(diǎn)瞬時重合點(diǎn)為a'，并令αpba'為點(diǎn)b指向點(diǎn) a′的位置矢量；ap˙aa′、ap¨aa′分別為點(diǎn) a′相對于剛體A的瞬時速度、加速度。應(yīng)用同一剛體上不同點(diǎn)之間的速度和加速度的變換公式可得到以下關(guān)系式：

由點(diǎn)a′所處幾何位置可到apba′=-apab成立，結(jié)合上式，剛體線加速度可整理為：

為了更明確地解釋上式包含的物理意義，假設(shè)點(diǎn)s為剛體B螺旋運(yùn)動軸線上的一點(diǎn)，apsa′為點(diǎn)s到點(diǎn)a′的位置矢量，如圖1所示。依據(jù)螺旋理論點(diǎn)a′的速度可寫為：

上述分析可以看出，剛體加速度的傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)描述是用剛體的角加速度和剛體上固定點(diǎn)的線加速度構(gòu)成，而剛體加速度的旋量描述是由剛體的角加速度和剛體上瞬時與所用坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的無向心加速度組成。上述兩種描述方式的區(qū)別主要在于：a）剛體線加速度不是用剛體上某一固定點(diǎn)來分析描述，而是采用不同點(diǎn)來分析計(jì)算，即在運(yùn)動過程中的各瞬時都采用與所用坐標(biāo)原點(diǎn)重合的點(diǎn)進(jìn)行描述；b）剛體線加速度數(shù)值大小為剛體上瞬時與所用坐標(biāo)系原點(diǎn)重合點(diǎn)的無向心加速度。

為進(jìn)一步明確剛體加速度的物理意義，結(jié)合點(diǎn)s、點(diǎn)a′，應(yīng)用同一剛體上不同點(diǎn)之間速度和加速度的變換公式可得：

圖1 剛體空間加速度的物理意義

將式（14）代入式（13），得到簡化表達(dá)式為：

因此，剛體線加速度又可以看作是由剛體瞬時轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)加速度和所用坐標(biāo)系原點(diǎn)相對于瞬時轉(zhuǎn)軸的切向加速度合成。

3 多剛體系統(tǒng)加速度伴隨變換

基于上述建立的描述方法及物理意義，分析多剛體系統(tǒng)中各剛體加速度之間的運(yùn)動變換關(guān)系，為建立并聯(lián)式車載穩(wěn)定平臺運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)模型提供依據(jù)。

多剛體系統(tǒng)由3個剛體構(gòu)成，分別為剛體A、B、C，對應(yīng)的坐標(biāo)系為{a}、、{c}，{c}系建立于剛體 C上，gac、gbc分別為剛體 C相對于{a}系、系的位姿變換矩陣，結(jié)合式（1），建立剛體C相對于剛體A的速度表達(dá)式為：

式中：g˙ac=g˙abgbc+gabg˙bc、gac－1=gbc－1gab－1.

通過對式（15）求時間導(dǎo)數(shù)，建立剛體C相對于剛體A的加速度表達(dá)式為：

對式（16）展開，結(jié)合式（1）、（5）、（15）將其整理為式（17）最簡形式：

同理，使用相同的方法可建立剛體C相對于剛體A的加速度在{c}系中的表達(dá)式為：

上述建立了當(dāng)多剛體系統(tǒng)有3個剛體時，各剛體加速度之間的變換關(guān)系。將上述方法推廣到多剛體系統(tǒng)中，令多剛體系統(tǒng)包含（n+1）個剛體，其中基座N0、運(yùn)動剛體N1……Nn；慣性坐標(biāo)系{0}與基座N0固連、非慣性坐標(biāo)系{i}與第i個剛體Ni連接，如圖2所示。由于篇幅有限，利用相同方法建立該系統(tǒng)第k個剛體相對于慣性坐標(biāo)系{0}及非慣性坐標(biāo)系{k}的加速度表達(dá)式為：

圖2 多剛體系統(tǒng)速度、加速度描述

4 結(jié)論

a）基于運(yùn)動旋量的李群表達(dá)式，給出了剛體加速度的旋量描述，并提供了剛體加速度在不同坐標(biāo)系中的變化關(guān)系式。

b）揭示了所述剛體加速度的物理意義，即剛體角加速度與傳統(tǒng)描述相同；剛體線加速度為剛體上瞬時與參考系原點(diǎn)重合點(diǎn)的無向心加速度，即該點(diǎn)加速度與其繞瞬時軸轉(zhuǎn)動的向心加速度之差。

c）基于旋量的剛體動力學(xué)理論基礎(chǔ)，導(dǎo)出了多剛體系統(tǒng)中各剛體加速度之間的伴隨變換表達(dá)式，提供了一種分析復(fù)雜多剛體系統(tǒng)動力學(xué)的有效方法。

這些概念和公式為基于李群李代數(shù)直接采用六維表示分析非慣性系并聯(lián)式車載穩(wěn)定平臺特性和動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。