基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)過約束分析步驟的改進(jìn)

汪建曉

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，廣東佛山528225）

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由基座、動平臺以及聯(lián)接它們的若干分支所組成的多閉環(huán)機(jī)構(gòu)，具有剛度大、精度高以及動態(tài)響應(yīng)快等特點(diǎn)，因而在運(yùn)動模擬、取放作業(yè)、組裝以及多軸加工等許多場合得到廣泛應(yīng)用。

在進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析與綜合時計(jì)算其自由度是最基本內(nèi)容之一。當(dāng)采用傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式即Grübler-Kutzbach（G-K）公式對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析時，常會由于機(jī)構(gòu)的特殊幾何形狀而不能得到正確解，特別是對于一類所謂過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)。其原因在于G-K公式將所有約束都當(dāng)成有效約束，即使那些不影響機(jī)構(gòu)自由度的冗余約束（或虛約束）也不例外。

旋量是具有旋距要素的線矢量（也稱為螺旋）。旋量可以表示運(yùn)動學(xué)中的一般剛體運(yùn)動或者靜力學(xué)中的廣義力（包括力和力偶）。旋量理論可以追溯到18世紀(jì)的Mozzi瞬時運(yùn)動軸及19世紀(jì)初葉的Poinsot合力中心軸與Chasles位移軸。至1876年，Ball完成了對這一理論的系統(tǒng)研究，并體現(xiàn)在其1900年的著作當(dāng)中。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動和約束情況較為復(fù)雜，因而最適宜采用旋量理論進(jìn)行描述。20世紀(jì)80年代以來陸續(xù)有學(xué)者開始用旋量來表達(dá)Stewart平臺和6-6R并聯(lián)機(jī)構(gòu)等的分支運(yùn)動，用旋量理論研究少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合，以及用互易旋量研究一些并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算方法。

戴建生、黃真等人［1-2］系統(tǒng)研究了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一系列旋量系，創(chuàng)建了并聯(lián)機(jī)構(gòu)旋量系分析的理論體系，揭示了這些旋量系與機(jī)構(gòu)運(yùn)動和約束之間的內(nèi)在聯(lián)系，并提出了一種修正的G-K公式，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度和過約束分析計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)，引起國際上機(jī)構(gòu)學(xué)界的廣泛關(guān)注［3-5］。近十余年來這一理論體系得到豐富和完善［6］，已逐步普及到相關(guān)專業(yè)研究生或高年級本科生教材中去了［7-8］。

文獻(xiàn)［1-2］重點(diǎn)研究了各旋量系之間的關(guān)系，并用多個示例驗(yàn)證了修正的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算方法的正確性，然而并未給出條理化的機(jī)構(gòu)自由度與過約束（包含虛約束和公共約束）分析的步驟，這對于初學(xué)者掌握這一方法有些不便。文獻(xiàn)［7-8］給出的機(jī)構(gòu)自由度與過約束分析步驟除部分變量符號不同外，步驟的內(nèi)容都是一致的，然而當(dāng)筆者按這些步驟進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時，卻發(fā)現(xiàn)過約束的分析步驟中存在公式表達(dá)不準(zhǔn)確、不完善的問題。

本文的目的在于針對上述問題，提出一種改進(jìn)的機(jī)構(gòu)過約束分析的步驟，以便于基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算方法的推廣應(yīng)用。

1 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的G-K公式及其修正

自1869年Chebychev提出第一個機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式至今的150年里，很多學(xué)者一直在找尋通用的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式，提出的公式在40種以上［3，9］。其中，較為傳統(tǒng)的、最具代表性的、應(yīng)用也最為普遍的要屬Grübler-Kutzbach公式［10-11］，即

其中，F(xiàn)為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，d=6-λ，λ為公共約束數(shù)；n為構(gòu)件數(shù)（包含機(jī)架）；g為運(yùn)動副數(shù)；fi為第i個運(yùn)動副的自由度數(shù)目。

不過，目前已證明，對于很多機(jī)構(gòu)的自由度，利用該公式計(jì)算的結(jié)果都不正確，因此提出了許多修正公式。戴建生、黃真等人提出的修正的G-K公式為［1-2，6］

其中，ν為機(jī)構(gòu)的冗余約束（或虛約束）數(shù)。

當(dāng)考慮機(jī)構(gòu)的局部自由度時，式（2）進(jìn)一步修改為［12］

其中，ζ為機(jī)構(gòu)的局部自由度數(shù)。

應(yīng)用式（2）或（3）計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度的難點(diǎn)在于公共約束和虛約束的判定，而基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)過約束分析方法能有效地解決這個難題。

2 基于旋量理論的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度和過約束分析方法

如圖1所示，并聯(lián)機(jī)構(gòu)中包含3個基本互易旋量系對，分別是：1）與單個從基座到動平臺的分支（ii=1，2，…，p，其中p為分支數(shù)）對應(yīng)的分支運(yùn)動旋量系Sbi和分支約束旋量系。2）與動平臺對應(yīng)的平臺運(yùn)動旋量系Sf和平臺約束旋量系Sr。3）與整個機(jī)構(gòu)對應(yīng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動旋量系Sm和機(jī)構(gòu)約束旋量系Sc。此外，還有分支補(bǔ)約束旋量系和平臺補(bǔ)約束旋量系等。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的幾對基本旋量系

假定每個分支的旋量是線性獨(dú)立的，則冗余自由度和奇異在每個分支中都被排除。這些旋量系的定義與相互關(guān)系詳見文獻(xiàn)［1-2，6-7］。為敘述方便，下文主要以文獻(xiàn)［6-7］為代表進(jìn)行闡述。

這里先給出基于旋量理論的通用自由度分析過程［7］，這也是機(jī)構(gòu)過約束分析的前序步驟，具體步驟如下。

（1）判斷機(jī)構(gòu)是否含有局部自由度，并計(jì)算出具體數(shù)值ζ。

（2）構(gòu)造各個分支的運(yùn)動旋量系Sbi。

（5）根據(jù)SfΔSr=0，計(jì)算得到動平臺的運(yùn)動旋量系Sf。

（6）觀察Sf的特點(diǎn)，進(jìn)一步確定機(jī)構(gòu)的自由度分布情況。

（7）改變機(jī)構(gòu)的位形，重復(fù)上述步驟，以驗(yàn)證所求得的自由度是否為全周自由度。如果前后自由度性質(zhì)不變，則為全周自由度；否則為瞬時自由度。

需要指出的是，在文獻(xiàn)［7］中旋量系和旋量系的矩陣表示采用相同的符號，例如分支運(yùn)動旋量系和分支約束旋量系分別用Sbi和表示，而上述步驟3的矩陣方程為，這容易造成混淆。本文對其進(jìn)行了區(qū)分，旋量系與旋量集的符號均用空心體表示，而旋量系的矩陣用對應(yīng)字母的黑斜體表示。在上述矩陣方程中，為進(jìn)行旋量系互易運(yùn)算的矩陣，由3×3分塊矩陣組成，E為單位矩陣。運(yùn)，n為運(yùn)動旋量系的階數(shù)，各旋量均采用列陣表達(dá)。

本文著重討論機(jī)構(gòu)過約束的分析。文獻(xiàn)［6］在論述各旋量系的定義與相關(guān)定理的基礎(chǔ)上，給出了機(jī)構(gòu)公共約束數(shù)λ和虛約束數(shù)ν的計(jì)算公式，分別為動旋量系的矩陣為，約束旋量系的矩陣為

其中，dim（）表示旋量系的階數(shù)，card（〈〉）表示旋量系多重集（旋量集）中元素的個數(shù)。

文獻(xiàn)［7］給出的對機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析的步驟如下。

集合中的元素個數(shù)記作card（〈Sr〉）。

（2）根據(jù)Sm＝Sb1∪Sb2∪…∪Sbp，求取整個機(jī)構(gòu)的運(yùn)動旋量系Sm。

（3）根據(jù)SmΔSc=0，求取整個機(jī)構(gòu)的約束旋量系Sc。

（4）根據(jù)λ=dim（Sc），確定機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)λ。

（5）根據(jù)d=6-λ，確定機(jī)構(gòu)的階數(shù)d。

3 過約束分析步驟存在的問題及改進(jìn)

由上述可知，文獻(xiàn)［7］給出的機(jī)構(gòu)自由度和過約束分析的步驟較為清晰，容易實(shí)施，特別對于那些初學(xué)者來說就有了一個求解過程的指南。但是當(dāng)利用該步驟進(jìn)行機(jī)構(gòu)過約束分析時，不難發(fā)現(xiàn)它存在以下兩個問題。

（1）其步驟1求出的card（〈Sr〉）閑置，沒有用于其他計(jì)算或分析。

對于第2個問題，文獻(xiàn)［6］給出以下關(guān)系式

顯然，根據(jù)這個條件去分解旋量集，重復(fù)元素只能存在于一個旋量集中，因而求解具有確定性。

對于第1個問題的解決就稍顯復(fù)雜。經(jīng)研究，發(fā)現(xiàn)在文獻(xiàn)［6］中定義了表征機(jī)構(gòu)公共約束數(shù)λ和虛約束數(shù)ν總體大小的一個參數(shù)，稱為綜合約束冗余因子。綜合約束冗余因子c的計(jì)算公式為

綜合約束冗余因子c也可以由card（〈Sr〉）與dim（Sr）表示為

由于前序步驟4已求出Sr，即dim（Sr）確定，因此可以用式（8）把上述步驟1求出的card（〈Sr〉）與dim（Sr）相減，求得綜合約束冗余因子c，再與式（7）求出的同一參數(shù)進(jìn)行比較，若兩者相同，則驗(yàn)證了過約束分析的正確性。

針對這兩個問題進(jìn)行改進(jìn)后，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析的步驟如下。

（2）根據(jù)Sm=Sb1∪Sb2∪…∪Sbp，求取整個機(jī)構(gòu)的運(yùn)動旋量系Sm。

（3）根據(jù)SmΔSc=0，求取整個機(jī)構(gòu)的約束旋量系Sc。

（4）根據(jù)λ=dim（Sc），確定機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)λ。

（5）根據(jù)d=6-λ，確定機(jī)構(gòu)的階數(shù)d。

（9）計(jì)算綜合約束冗余因子c=（p-1）λ+ν，若與前面求出的c一致，則表示過約束分析正確。

與改進(jìn)前的過約束分析步驟相比，可知改進(jìn)后步驟1與7有修改，且增加了一個新的步驟9。

4 算例

為了便于對照，這里分別從文獻(xiàn)［1］和［7］中找出其有代表性的1個算例，并對改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)過約束分析步驟加以驗(yàn)證。

例1分析圖2所示Sarrus機(jī)構(gòu)［7］的自由度和過約束。圖2中每個分支中轉(zhuǎn)動副（R）的軸線相互平行，但兩個分支的運(yùn)動副軸線相互垂直。

解該機(jī)構(gòu)可看成是由2個分支組成的單環(huán)機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)自由度分析的步驟如下。

（1）判斷可知機(jī)構(gòu)無局部自由度，即ζ=0。

（2）建立如圖2所示的坐標(biāo)系，各分支的運(yùn)動旋量系Sbi為

圖2 Sarrus機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動旋量

（6）通過分析Sf的特點(diǎn)，很容易判斷出來該機(jī)構(gòu)的自由度為單自由度平動。

（7）由于機(jī)構(gòu)位形改變后，各分支運(yùn)動副間的幾何關(guān)系未發(fā)生變化，因此計(jì)算結(jié)果仍然有效。由此可以判斷該機(jī)構(gòu)所具有的移動自由度為全周自由度。

通過以下步驟還可進(jìn)一步對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析。

（1）求取動平臺的約束旋量集〈Sr〉，確定機(jī)構(gòu)的綜合約束冗余因子c，分別為

（2）根據(jù)Sm=Sb1∪Sb2，求取整個機(jī)構(gòu)的運(yùn)動旋量系Sm，有

由此可知，計(jì)算結(jié)果與前面分析得到的自由度一致，表明分析正確。

例2用旋量理論分析圖3所示3-RRRH并聯(lián)機(jī)構(gòu)［1］的自由度和過約束。圖3中每一分支均由3個轉(zhuǎn)動副（R）和一個螺旋副（H）組成，而且它們的運(yùn)動副軸線相互平行。在基座上3個轉(zhuǎn)動副軸線位于同一平面，且對稱布置。

圖3 3-RRRH并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動旋量

解該機(jī)構(gòu)可看成是由3個分支組成的多環(huán)機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)自由度分析的步驟如下。

（1）判斷可知機(jī)構(gòu)無局部自由度，即ζ=0。

（2）建立如圖3所示的坐標(biāo)系，確定各分支及運(yùn)動副旋量的符號。各分支的運(yùn)動旋量系Sbi為

（6）通過分析Sf的特點(diǎn)，很容易判斷出來該機(jī)構(gòu)的自由度為沿3個坐標(biāo)軸的移動。

（7）由于機(jī)構(gòu)位形改變后，各分支運(yùn)動副間的幾何關(guān)系未發(fā)生變化，因此計(jì)算結(jié)果仍然有效。由此可以判斷該機(jī)構(gòu)所具有的移動自由度為全周自由度。

通過以下步驟還可進(jìn)一步對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行過約束（包括公共約束和冗余約束）分析。

（1）求取動平臺的約束旋量集〈Sr〉，確定機(jī)構(gòu)的綜合約束冗余因子c，即

由此可知，計(jì)算結(jié)果與前面分析得到的自由度一致，表明分析正確。

從例2過約束分析的步驟7還可以得出機(jī)構(gòu)的約束旋量集為

5 小結(jié)

本文指出基于旋量理論的機(jī)構(gòu)過約束分析方法或步驟存在的問題，根據(jù)權(quán)威文獻(xiàn)的理論公式，給出了改進(jìn)后的分析步驟，并以算例加以驗(yàn)證。結(jié)果表明，改進(jìn)后的分析步驟邏輯清晰，公式嚴(yán)謹(jǐn)，便于數(shù)據(jù)相互驗(yàn)證，使機(jī)構(gòu)過約束分析的方法得到進(jìn)一步完善，有利于基于旋量理論的機(jī)構(gòu)自由度和過約束分析方法的推廣應(yīng)用。