復(fù)合勢下三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子及其自旋紋理*

王海紅, 宗豐德

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

復(fù)合勢下三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子及其自旋紋理*

王海紅, 宗豐德

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

為了充分揭示復(fù)合勢下三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的動力學(xué)性質(zhì)及自旋紋理結(jié)構(gòu)，運用能量泛函方法和直接數(shù)值仿真耦合Gross-Pitaevskii方程組,在三維拋物勢和二維高斯勢組成的復(fù)合勢下構(gòu)造了多種帶有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子穩(wěn)定的自旋為1的三維鐵磁態(tài)旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子,并分析了它們的動力學(xué)特性.選擇其中一種暗孤子作為例子,分析了其在關(guān)鍵參量空間中的穩(wěn)定性,得到了穩(wěn)定性區(qū)域.然后通過計算暗孤子的自旋密度矢量,得到了指向自旋消失圓的三維環(huán)形自旋紋理結(jié)構(gòu)和自旋密度矢量大小隨空間變化的分布.這為更好地理解玻色-愛因斯坦凝聚的磁性性質(zhì)提供了幫助,也為實驗上實現(xiàn)三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子提供了理論依據(jù).

旋量玻色-愛因斯坦凝聚；耦合Gross-Pitaevskii方程組；暗孤子；自旋紋理

0 引 言

作為物質(zhì)波孤子的一種,暗孤子一直以來都備受研究者的親睞,尤其在玻色-愛因斯坦凝聚的研究中,理論和實驗都有了很大的進展,得到了產(chǎn)生暗孤子的多種方法,如相位植入法[1]、密度調(diào)制法[2]及超音速流法[3]等,同時對多種結(jié)構(gòu)的暗孤子及其動力學(xué)進行了深入的研究[4-7].隨著光阱技術(shù)的發(fā)展,對玻色-愛因斯坦凝聚的研究達(dá)到了一個新的高度,在全光阱下,原子的自旋自由度得到了保護,形成了旋量玻色-愛因斯坦凝聚[8],這為研究凝聚體中的暗孤子增添了更多的可能性.Song 等[9]通過數(shù)值模擬相位植入的方法,在F=1的玻色-愛因斯坦凝聚中研究了二維環(huán)形暗孤子結(jié)構(gòu).Nistazakis等[10]研究了自旋為1的一維旋量玻色-愛因斯坦凝聚中的暗-暗-亮和亮-亮-暗復(fù)合矢量孤子的產(chǎn)生,并在平均場理論下,分析了復(fù)合孤子的動力學(xué)特征.接著,Xiong等[11]在局域磁場下,通過求解耦合的Gross-Pitaevskii(GP)方程組,探討了旋量玻色-愛因斯坦凝聚中矢量孤子的構(gòu)建,并數(shù)值驗證了其穩(wěn)定性.同時,對于旋量玻色-愛因斯坦凝聚,原子自旋所表現(xiàn)出的性質(zhì),譬如自旋紋理,也吸引了許多學(xué)者的注意.Mueller[12]研究了緩慢旋轉(zhuǎn)下自旋為1的玻色-愛因斯坦凝聚中斯格明子紋理的2種類型；Pogosov等[13]探討了二維拋物勢下自旋為2的渦旋結(jié)構(gòu)及其對應(yīng)的自旋紋理.最近,Kunimi[14]在準(zhǔn)一維旋轉(zhuǎn)環(huán)勢阱下,研究了自旋為1的玻色-愛因斯坦凝聚體中自旋紋理的亞穩(wěn)定性.旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子及由自旋相互作用產(chǎn)生的自旋紋理、自旋疇等一系列拓?fù)洮F(xiàn)象的研究對實現(xiàn)量子信息的儲存和處理起到一定的推進作用,也為更好地理解玻色-愛因斯坦凝聚體的磁性提供了幫助.然而,由外勢構(gòu)造的旋量玻色-愛因斯坦凝聚三維暗-暗-暗矢量孤子及其暗孤子的自旋紋理還鮮有報道.

因此,本文研究由三維復(fù)合勢構(gòu)造的旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子及其自旋紋理.首先,運用能量泛函的方法[15],得到多種帶有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子組合的暗孤子;接著,通過直接數(shù)值仿真耦合的GP方程組,分析這些暗孤子的動力學(xué)特征,并對其中一種暗孤子進行大量數(shù)值計算,得到其在關(guān)鍵參量中的穩(wěn)定性區(qū)域.最后,通過計算暗孤子的自旋密度矢量,得到了指向自旋消失圓的三維環(huán)形自旋紋理結(jié)構(gòu),并通過計算自旋密度矢量大小隨空間變化的分布,更清楚地顯示了自旋紋理的分布.

1 理論模型和能量泛函

在平均場近似下,三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)的動力學(xué)特性可以由下面的耦合GP方程組描述[9,16]：

(1)

(2)

(3)

式(3)中：ω⊥,ωz,P0及a分別表示拋物勢的徑向振動角頻率、z軸方向的振動角頻率、高斯勢的強度及脈沖寬度.下文的研究表明,高斯勢的強度P0和其脈沖寬度a對旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的穩(wěn)定性具有十分重要的影響.

旋量玻色-愛因斯坦凝聚波函數(shù)對應(yīng)的靜態(tài)解Φm(r)可以通過將

(4)

代入方程組(1)～(2)中得到.此時,系統(tǒng)的能量泛函為

(5)

(6)

(7)

(8)

為了得到無量綱化耦合GP方程組(6)與(7)的靜態(tài)解,考慮到復(fù)合外勢的柱對稱性分布,筆者提出如下形式的靜態(tài)旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子試探波函數(shù)：

(9)

(10)

本文取ξ1=1,ξ0=0,ξ-1=-1；θ1=1,θ0=0,θ-1=-1.

2 旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的動力學(xué)分析

圖1 三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子等值面圖

接著,將所得的旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子最優(yōu)化靜態(tài)解形式作為對耦合GP方程組進行數(shù)值仿真時的初態(tài),運用Crank-Nicholson算法[23]數(shù)值仿真方程組(6)～(7),分析暗孤子的動力學(xué)演化特性.考慮到計算機集群計算容量的限制,時間和空間步長分別取0.001和0.045,網(wǎng)格大小為256×256×256,即三維空間范圍為-5.76≤x,y,z≤5.76.圖2和圖3分別給出了(3,2,1)暗孤子和(4,3,2)暗孤子在x=0平面從t=0到t=100的穩(wěn)定演化圖及初態(tài)、末態(tài)和將初態(tài)加10%微擾演化的末態(tài)的一維振幅圖,從圖中可以看出,所得到的暗孤子是穩(wěn)定的．

圖2 (3，2，1)暗孤子在x=0平面從t=0到t=100的穩(wěn)定演化圖及旋量暗孤子的 一維振幅圖(實線為初態(tài),點線為末態(tài),虛線為加10%微擾后得到的末態(tài))

圖3 (4，3，2)暗孤子在x=0平面從t=0到t=100的穩(wěn)定演化圖及旋量暗孤子的 一維振幅圖(實線為初態(tài),點線為末態(tài),虛線為加10%微擾后得到的末態(tài))

隨后,筆者選取旋量玻色-愛因斯坦凝聚(4,3,2)暗孤子,對其進行大量的數(shù)值計算,得到對應(yīng)的暗孤子在重要參量(p0,b)空間的穩(wěn)定區(qū)域,其曲線是臨界曲線,如圖4所示.臨界曲線上方為穩(wěn)定區(qū)域,下方為不穩(wěn)定區(qū)域.由此可以得出,復(fù)合外勢中的高斯勢的較小強度和較大脈沖寬度更有利于所選的旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的穩(wěn)定性,這為旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的實驗提供了思路,希望此實驗盡快實現(xiàn)．需要指出的是,對于不同組拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子構(gòu)成的暗孤子,存在不同的穩(wěn)定區(qū)域.

圖4 三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子在參量(p0,b)上的穩(wěn)定區(qū)域圖

3 旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理

(11)

(12)

圖5描述了帶有(3,2,1)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理.從圖5(a)可看出,在平面z=0兩側(cè)自旋方向相反,即在平面z=0上方,自旋方向向下；而在平面z=0下方,自旋方向向上.圖5(b)顯示了在z=0平面上指向自旋消失圓的自旋紋理.結(jié)合圖5(a),(b)可知,旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理結(jié)構(gòu)為指向自旋消失圓的三維環(huán)形結(jié)構(gòu).為更清楚地顯現(xiàn)出自旋紋理強度的空間分布,筆者計算了自旋密度矢量大小隨空間的變化情況,圖5(c),(d)分別為自旋密度矢量大小隨空間變化的強度在y=0,z=0的切片圖.類似地,圖6給出了帶有(4,3,2)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理,相比于圖5,三維環(huán)形自旋紋理結(jié)構(gòu)的內(nèi)部較大,這與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的大小相關(guān),即不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子組合所對應(yīng)的暗孤子的自旋紋理結(jié)構(gòu)相似.隨著拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的增大,環(huán)形內(nèi)部也相應(yīng)變大.

(c),(d)分別為自旋密度矢量大小隨空間變化分布的切片圖(參數(shù)同圖2)

圖5 (3，2，1)旋量暗孤子的自旋紋理的切片圖

(c),(d)分別為自旋密度矢量大小隨空間變化分布的切片圖(參數(shù)同圖2)

圖6 (4,3,2)旋量暗孤子的自旋紋理的切片圖

4 結(jié) 語

在自旋為1的鐵磁態(tài)旋量玻色-愛因斯坦凝聚中,通過由三維拋物勢和沿徑向的二維高斯勢組成的復(fù)合外勢構(gòu)造了帶有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子組的三維暗孤子,并分析了其動力學(xué)特性及其在重要參量(p0,b)空間的穩(wěn)定性,得到了穩(wěn)定的旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子.同時,通過計算旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子的自旋密度矢量,得到了指向自旋消失圓的三維環(huán)形自旋紋理和自旋紋理強度隨空間變化的分布,這就更清晰地反映了旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子自旋紋理的分布結(jié)構(gòu).這將為更好地理解玻色-愛因斯坦凝聚的磁性性質(zhì)提供幫助,也為實驗上實現(xiàn)三維旋量玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子提供一定的理論指導(dǎo).

[1]Burger S,Bongs K,Dettmer S,et al.Dark solitons in Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev Lett,1999,83(25):5198-5201.

[2]Anderson B P,Haljan P C,Regal C A,et al.Watching dark solitons decay into vortex rings in a Bose-Einstein condensate[J].Phys Rev Lett,2001,86(14):2926-2929.

[3]Ei G A,Gammal A,Kamchatnov A M.Oblique dark solitons in supersonic flow of a Bose-Einstein condensate[J].Phys Rev Lett,2006,97(18):180405.

[4]Busch T,Anglin J R.Motion of dark solitons in trapped Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev Lett,2000,84(11):2298-2301.

[5]Theocharis G,Frantzeskakis D J,Kevrekidis P G,et al.Ring dark solitons and vortex necklaces in Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev Lett,2003,90(12):120403.

[6]Bilas N,Pavloff N.Propagation of a dark soliton in a disordered Bose-Einstein condensate[J].Phys Rev Lett,2005,95(13):130403.

[7]Wang W,Kevrekidis P G,Carretero-Gonzalez R,et al.Dark spherical shell solitons in three-dimensional Bose-Einstein condensates:existence,stability,and dynamics[J].Phys Rev A,2016,93(2):023630.

[8]Barrett M D,Sauer J A,Chapman M S.All-optical formation of an atomic Bose-Einstein condensate [J].Phys Rev Lett,2001,87(1):010404.

[9]Song S W,Wang D S,Wang H Q,et al.Generation of ring dark solitons by phase engineering and their oscillations in spin-1 Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2012,85(6):063617.

[10]Nistazakis H E,Frantzeskakis D G,Kevrekidis P G,et al.Bright-dark soliton complexes in spinor Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2008,77(3):033612.

[11]Xiong B,Gong J B.Dynamical creation of complex vector solitons in spinor Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2010,81(3):033618.

[12]Mueller E J.Spin textures in slowly rotating Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2004,69(3):033606.

[13]Pogosov W V,Kawate R,Mizushima T,et al.Vortex structure in spinorF=2 Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2005,72(6): 063605.

[14] Kunimi M.Metastable spin textures and Nambu-Goldstone modes of a ferromagnetic spin-1 Bose-Einstein condensate confined in a ring trap[J].Phys Rev A,2014,90(6):063632.

[15]徐志君,施建青,林國成.軸對稱諧振勢阱中玻色凝聚氣體基態(tài)和單渦旋態(tài)解[J].物理學(xué)報,2007,56(2):666-672.

[16]Ho T L.Spinor Bose condensates in optical traps[J].Phys Rev Lett,1998,81(4):742-745.

[17]Fatemi F K,Jones K M,Lett P D.Observation of optically induced Feshbach resonances in collisions of cold atoms[J].Phys Rev Lett,2000,85(21):4462-4465.

[18]Bergeman T,Moore M G,Olshanii M.Atom-atom scattering under cylindrical harmonic confinement:numerical and analytic studies of the confinement induced resonance[J].Phys Rev Lett,2003,91(16):163201.

[19]Van-Kempen E G M,Kokkelmans S J J M F,Heinzen D G,et al.Interisotope determination of ultracold Rubidium interactions from three high-precision experiments[J].Phys Rev Lett,2002,88(9):093201.

[20]Tomoya I,Kazushige M.Axisymmetric vortices in spinor Bose-Einstein condensates under rotation[J].Phys Rev A,2002,66(2):023602.

[21]Pietil? V,M?tt?nen M,Virtanen S M M.Stability of coreless vortices in ferromagnetic spinor Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2007,76(2):023610.

[22]Wang Y C,Lv J,Zhu L,et al.Crystal structure prediction via particle-swarm optimization[J].Phys Rev B,2010,82(9):094116.

[23]Muruganandam P,Adhikari S K.Fortran programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap[J].Comput Phys Commu,2009,180(10):1888-1912.

Three-dimensional spinor Bose-Einstein condensate dark-solitons and its spin texture under a complex potential

WANG Haihong, ZONG Fengde

(InstituteofNonlinearPhysics,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

In order to fully reveal the dynamic properties and the spin texture distribution of three-dimensional spinor Bose-Einstein condensate dark-solitons under a complex potential, it was constructed a stable spin-1 ferromagnetic three-dimensional spinor Bose-Einstein condensate dark-solitons with the different topological structure factors confined a complex potential including a three-dimensional harmonic trap and a two-dimensional Gaussian trap, via employing the energy functional method and direct numerical simulation of the coupled Gross-Pitaevskii equations, their dynamics were analyzed. In addition, it was obtained the stability region of the one of these in important parameter space. Furthermore, it was also obtained the cricoid spin texture structure pointing to the circle of spin vanishing by calculating the spin density vector of the dark-solitons. With the purpose of more clearly described the spin texture distribution, it was calculated the variational intensity of spin density vector size along with the space. These results could help people better understand the magnetism of the spinor Bose-Einstein condensate and provide the theory for the relational experimental research.

spinor Bose-Einstein condensate; coupled Gross-Pitaevskii equations; dark soliton; spin texture

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.03.006

?2017-02-28；

2017-03-31

國家自然科學(xué)基金資助項目(11072219)；浙江省自然科學(xué)基金資助項目(Y1080959)

王海紅(1991-),女,山西晉中人,碩士研究生.研究方向：玻色-愛因斯坦凝聚.

宗豐德.E-mail: fdzong@zjnu.cn>

O415

A

1001-5051(2017)03-0281-08