淺析輪換對稱性在積分計算中的應用

李嘉騏 薛玉梅

【摘要】本文從簡化計算的技巧出發(fā)，探索了輪換對稱性在積分計算中的應用，通過分析二者在不同積分區(qū)域的二重、三重積分以及曲線積分中的可行性和使用方法，從而總結出常見的使用輪換對稱性計算積分的情況，以簡化計算.

【關鍵詞】輪換對稱性；簡化計算；積分；被積函數(shù)；積分區(qū)域

【中圖分類號】O172【文獻識別碼】A

【基金項目】2015年北京航空航天大學“凡舟”獎教金項目、北航重大教改項目（面向對象的數(shù)學公共課實踐）資助.

一、引言

在定積分的計算中，我們常利用積分區(qū)間的對稱性，結合被積函數(shù)的奇偶性，可以極大地簡化計算的過程.那么，在重積分的計算中，類似地，我們可以利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性使計算更為簡便.相應地，我們還可以發(fā)現(xiàn)，在曲線積分中也有這樣的結果.

在解決實際問題的過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，積分區(qū)域的高度對稱性實際上表明了變量x、y、z之間的某種可相互替代性，這便是輪換性.一般來說，先使用輪換性簡化被積函數(shù)或使其形式易于化簡，之后再利用對稱性來解決問題，可以極大地減小我們在解決問題中的工作量.

本文將從不同類型的重積分區(qū)域和曲線積分入手去探討輪換對稱性在積分計算中的應用.同時探究被積函數(shù)的形式為變量平方的和與變量和的平方時在相同積分區(qū)域中結果的異同.

二、問題討論

輪換對稱性的應用場景十分廣泛.本文針對實際解決問題的需要，選用了較為常見的五種情況，分別是積分區(qū)域為圓、積分區(qū)域為橢圓、一般積分區(qū)域、對稱性較為欠缺與對稱曲線積分，結合典型例題進行對比討論.每種情況中也會對被積函數(shù)的不同形式（主要是變量平方的和與變量和的平方）進行對比.

本文中坐標的等價指的是在積分運算中，x、y、z坐標可以彼此相互替換，而不影響運算的結果.

（一）積分區(qū)域為圓

圓形積分區(qū)域具有高度的對稱性，在此區(qū)域內，坐標x、y彼此等價，因此也可利用輪換性來簡化計算.

例1.1計算D（x2+y2）dxdy，其中D為圓x2+y2≤R2.

分析根據(jù)圓的對稱性，x，y兩個坐標彼此等價，因而可以利用輪換性求解.但本題中被積函數(shù)為x2+y2，顯然采用極坐標變換求解更為容易.本例說明了圓形積分區(qū)域簡化計算的一種思路，但并非最簡解法.

例1.2計算D（x+y）2dxdy，其中D為圓x2+y2≤R2.

分析（x+y）2=x2+y2+2xy，對于x而言，2xy在圓形區(qū)域中是一個奇函數(shù)，因此該部分積分值為0.所以本例的積分結果與上例中相同.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

（二）積分區(qū)域為橢圓

橢圓積分區(qū)域仍具有高度的對稱性，但相比圓形積分區(qū)域，兩個坐標失去了等價性，因此不能夠利用輪換性來簡化計算.

例2.1計算D（x2+y2）dxdy，其中D為橢圓x2a2+y2b2≤1.

分析由于橢圓具有對稱性，因此可以利用對稱性來簡化計算.但本題中被積函數(shù)為x2+y2，顯然采用廣義極坐標變換求解更為容易.本例說明了圓形積分區(qū)域簡化計算的一種思路，但并非最簡解法.

例2.2計算D（x+y）2dxdy，其中D為橢圓x2a2+y2b2≤1.

分析（x+y）2=x2+y2+2xy，對于x而言，2xy在橢圓區(qū)域中是一個奇函數(shù)，因此該部分積分值為0 所以本例的積分結果與上例中相同.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

（三）一般積分區(qū)域

對于一般積分區(qū)域，顯然不一定具有對稱性，同時坐標的等價性也不一定存在，因此輪換對稱性不可使用. 這里我們重點探討在一般區(qū)域中上述兩種情況里面的等式是否成立.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

例3.1計算D（x2+y2）dxdy，其中D為矩形x∈[a，b]，y∈[c，d].

分析由于積分區(qū)域并無對稱性，因而采用常規(guī)方法計算.

解原式=∫badx∫dc（x2+y2）dy

=∫ba（d-c）x2+13（d3-c3）dx

=13（d-c）（b-a）（a2+b2+c2+d2+ab+cd）.

例3.2計算D（x+y）2dxdy，其中D為矩形x∈[ a，b]，y∈[c，d].

分析 由于積分區(qū)域并無對稱性，因而采用常規(guī)方法計算.

解 原式=∫badx∫dc（x+y）2dy

=∫ba（d-c）x2+（d2-c2）x+13（d3-c3）dx

=（d-c）（b-a）

13（a2+b2+c2+d2+ab+cd）+12（a+b）（c+d）.

可見，上述等式不成立.

D（x2+y2）dxdy≠D（x+y）2dxdy.

（四）積分區(qū)域對稱性不足

考慮積分區(qū)域為一個半球時，并設這個半球恰巧是以原點為球心的球在xOy平面之上的部分. 那么積分區(qū)域關于x軸和y軸是對稱的，而關于z軸不是對稱的.

那么在這種情況下如何應用輪換對稱性來簡化計算重積分呢？我們通過兩個例子來對比說明.

例4.1計算V（x2+y2+z2）dxdydz ，其中V為半球x2+y2+z2≤R2（z≥0）.

分析 由于積分區(qū)域是上半球，x、y、z三者的等價性沒有了，但是x、y兩者依然是等價的，但是對x、y兩坐標使用輪換性并不是解決問題的最佳思路，因此我們利用圖形的特殊性而采用“先二后一”法.

延伸拓展：通過上面的分析，我們發(fā)現(xiàn)，若區(qū)域關于某一變量對稱，且變量在被積函數(shù)表達式中具有奇偶性，那么不論與之相乘的另一變量在這一區(qū)域上是否對稱，積分結果（或者說被積函數(shù)可否化簡）僅與在該區(qū)域上對稱的變量有關，而與另一變量無關.

對于對稱曲線積分，上述結論仍然成立.

三、結論

（一）對于重積分而言

①積分區(qū)域為圓（球）時，區(qū)域有對稱性、坐標彼此等價.計算積分時，先利用輪換性減少被積函數(shù)中自變量的個數(shù)，再利用積分區(qū)域對稱性結合函數(shù)的奇偶性簡化計算.在這種情況下：

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

②積分區(qū)域為橢圓（橢球）時，區(qū)域仍然有對稱性，但坐標彼此不再等價，此時各坐標的輪換性不復存在.計算積分時，可利用區(qū)域對稱性結合函數(shù)的奇偶性簡化計算，但不能再使用輪換性.在這種情況下：

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

③一般的積分區(qū)域中，區(qū)域不一定對稱，且坐標不一定具有等價性，此時不可使用輪換對稱性.計算積分時，按照常規(guī)的方法計算或者采用坐標變換的方法進行計算.在這種情況下：

D（x2+y2）dxdy≠D（x+y）2dxdy.

④若積分區(qū)域對稱性不足，則對于仍然等價的坐標，可利用輪換對稱性進行化簡；而對于其他坐標，利用常規(guī)方法計算即可.在這種情況下：

V（x2+y2+z2）dxdydz=V（x+y+z）2dxdydz.

（二）對于對稱曲線積分而言

當曲線對稱時可使用對稱性簡化計算；當曲線中各坐標等價時可使用輪換性簡化計算.計算積分時，利用輪換對稱性化簡被積函數(shù)進而簡化計算，或是將被積函數(shù)構造成與曲線形式相近的被積函數(shù)表達式，可以極大地簡化計算過程.在這種情況下：

∫l（x+y+z）2ds=∫l（x2+y2+z2）ds.

總而言之，對稱性與輪換性的合理使用是簡化積分運算的關鍵，有時可以使計算變得非常簡便.我們在平時的解題過程中要注意這一點，這對我們的學習是大有裨益的.

另外，輪換對稱性只是簡化積分計算的一種思路，但積分計算的最簡方法是由被積函數(shù)的特點所決定的，有時采用極坐標（或柱坐標與球坐標）變換來計算積分會更加簡便，如上文中例1.1、例2.1所示的情況.所以要根據(jù)被積函數(shù)的特性，靈活選取計算積分的方法.

【參考文獻】

[1]楊小遠，孫玉泉，薛玉梅等.工科數(shù)學分析教程：下冊[M].北京：科學出版社，2011.