關(guān)于柱函數(shù)的教學(xué)探討

侯慎勇等

【摘 要】柱函數(shù)是數(shù)學(xué)物理方法中的一個(gè)重要內(nèi)容，它包括貝賽爾函數(shù)、諾伊曼函數(shù)和漢克爾函數(shù)。這些函數(shù)表達(dá)復(fù)雜、性質(zhì)眾多、計(jì)算過程繁瑣，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到很困惑。特別是柱函數(shù)積分計(jì)算比微積分中的積分要困難得多，通常使用洛梅爾積分教學(xué)計(jì)算。它的特點(diǎn)是只涉及同類柱函數(shù)乘積的積分。而在同軸諧振腔和同軸波導(dǎo)教學(xué)中，我們經(jīng)常要涉及不同種類柱函數(shù)乘積的積分。因此，對(duì)這類積分進(jìn)行研究，得到一般公式并應(yīng)用于教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】柱函數(shù)；洛梅爾公式；積分

Discussion on Cylindrical Function Teaching

HOU Shen-yong ZHAO Bo

（Institute of mathematical statistics， Yangtze Normal University， Chongqing 408100， China）

【Abstract】Cylindrical function is an important content of methods of mathematical physics. It includes Bessel function， Neumann function and Hankel function. Since these functions have complex expressions， lot of properties and the complicated process of calculation， students feel difficult to master them. In particular， the integral of cylindrical function by Lomel integral is more difficult than it in higher mathematics， which is usually the integral of same kind cylindrical function. However， the integral of different kind cylindrical function will appears in the teaching process of coaxial resonator and coaxial waveguide. Hence， this integral will be studied in teaching process.

【Key words】Column； Function； Lommel formula； Integration

0 引言

在柱坐標(biāo)系里對(duì)拉普拉斯方程進(jìn)行分離變量，人們得到了貝塞爾方程。它的解可由貝塞爾函數(shù)、諾伊曼函數(shù)和漢克爾函數(shù)表示[1-2]。在一般的數(shù)學(xué)物理方法的教材都給對(duì)它們的許多性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。通過教師的講解，學(xué)生都能夠有效的掌握這些函數(shù)的性質(zhì)和并且靈活的應(yīng)用它們。但是，數(shù)學(xué)物理方法對(duì)柱函數(shù)的積分講解不多，一般只介紹了貝塞爾函數(shù)的有關(guān)的積分，這對(duì)學(xué)生的后繼課程的學(xué)習(xí)會(huì)帶來不利的影響。因?yàn)樵陔妱?dòng)力學(xué)、電磁場(chǎng)與電磁波、微波工程課程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)柱函數(shù)的積分，因此，在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)中介紹一些柱函數(shù)的積分方法有助于學(xué)生對(duì)該課程學(xué)習(xí)。

本文針對(duì)這一問題，在柱函數(shù)積分的計(jì)算方面進(jìn)行一些探討。

1 柱函數(shù)的性質(zhì)

在電動(dòng)力學(xué)、電磁場(chǎng)與電磁波、微波工程的教學(xué)中，常常會(huì)出現(xiàn)在如圖1所示的同軸圓。

在貝塞爾方程的教學(xué)過程中，學(xué)生都知道貝賽爾函數(shù)、諾伊曼函數(shù)和漢克爾函數(shù)都有以下的公式：

式（10）～（11）是對(duì)洛梅爾積分公式的推廣。

從式（6）～（11），我們可以發(fā)現(xiàn)貝塞爾函數(shù)、諾伊曼函數(shù)、漢克爾函數(shù)和柱函數(shù)Tmn（x）存在相似的性質(zhì)，這些關(guān)系能夠加深學(xué)生對(duì)貝賽爾函數(shù)、諾伊曼函數(shù)和漢克爾函數(shù)的認(rèn)識(shí)，提高他們?cè)诤罄^課程對(duì)這些積分的計(jì)算能力。

2 柱函數(shù)的應(yīng)用

在這里，通過事例說明（10）～（11）的應(yīng)用。

通過以上的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)使用公式（10）和（11）能夠貝塞爾函數(shù)與諾伊曼函數(shù)的乘積的積分和柱函數(shù)的積分變得容易簡(jiǎn)單。這給教學(xué)帶來極大的方便，在學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)中對(duì)它們的學(xué)習(xí)提供一定的幫助。

3 結(jié)論

本文對(duì)柱函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)它與貝塞爾函數(shù)、諾伊曼函數(shù)、漢克爾函數(shù)存在相似的性質(zhì)。這將有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，增加它們對(duì)貝塞爾函數(shù)的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生的后繼課程的學(xué)習(xí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].3版.北京：高等教育出版社，1998.

[2]胡崇斌.數(shù)學(xué)物理方法[M].2版.北京：高等教育出版社，北京大學(xué)出版社，2002.

[3]劉盛綱.相對(duì)論電子學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]謝處方，饒克勤.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京：高等教育出版社，2006.

[責(zé)任編輯：鄧麗麗]