從低起點看高等數學的教學

劉素珍

摘要：我校小學數學教育專業(yè)的學生在學習高等數學時，普遍不能真正理解其實質，上課走神、厭學等抵觸情緒比較嚴重。筆者覺得應緊密聯(lián)系其專業(yè)，培養(yǎng)其學習高等數學的興趣。因此考慮在學習的過程中大量引入小學教材中的實例，將小學的問題高數化，實現從感性向理性，再由理性到感性的發(fā)展，完成質的飛躍。

關鍵詞：小學數學；高等數學；極限；積分

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）02-0225-02

《高等數學》的學習一直以來都是擺在很多同學面前的一座大山，想要翻越顯得非常的困難。很多學者都分析了其中的原因。無非就是學生數學基礎較弱，高等數學抽象性和符號化的語言給學習造成的困難，教學方面的原因等等。凡事都有內因和外因之分，都有主客觀原因之分。筆者認為最主要的原因源于教學。不管從事什么樣的工作，興趣非常的重要。正所謂興趣是最好的老師，如何使學生始終保持高等數學學習的熱情和學習的興趣，應該是我們努力的方向。興趣的問題解決了，那么上面所涉及到的其他原因都是次要的了。我校小教專業(yè)的學生在三年級分小語和小數專業(yè)，既然學生在文理分科時選擇了數學專業(yè)，說明這部分同學是對數學感興趣或是覺得數學學得比語文要好。但在接觸了高等數學之后，為什么會有很多的抱怨：“以后我難道還要教學生如何求極限、導數、積分嗎？”高等數學太抽象了。教學中出現了高等數學知識與小學數學教學嚴重脫節(jié)，學生覺得學習高等數學沒有什么用處。其實，高等數學和小學數學不僅在內容上，而且在思維形式方面都存在著密切的聯(lián)系。筆者多年從事小學數學教育專業(yè)《高等數學》的教學，發(fā)現厭學的同學不在少數，絕大部分同學不能理解，真正感興趣的同學少之又少。如果在《高等數學》的教學過程中能將極限、導數、積分的講解與小學數學教材緊密聯(lián)系起來，相信將會有更多的同學感興趣。這樣的教學就與其專業(yè)緊密相連，同時也讓學生真正體會到《高等數學》的學習只會讓他站得更高，看得更遠。從一定程度上來說，小學數學與高等數學有著緊密的聯(lián)系，如果小學數學教師能從高等數學的角度來理解小學數學的教學內容，那將會對小學數學的教材分析得更加透徹，對小學數學的教學也起到一定的積極作用。高等數學中的極限、導數、積分等是小學數學中一些量的抽象，而小學數學有些內容則是高等數學中抽象概念的具體實例。如果站在高等數學的高度對小學數學的內容進行分析，才能真正理解小學數學的本質內容，數學的知識才更具有完整性。高等數學和小學數學之間有著密不可分的關系。如果我們在小學數學的教學過程中能科學地認識到高等數學與小學數學之間的互補聯(lián)系，能有意識地運用高等數學與小學數學在思維形式上的相通性，準確地把握每個知識點的內涵和外延，融會貫通，將大大提高小學數學的教學水平，并且對學生以后數學思維能力的發(fā)展也起到了一定的推動作用。下面將從幾個具體事例進行說明：

1.極限思想。小學數學課程中有許多問題是與高等數學內容有關的，尤其是極限概念與小學數學的許多內容直接聯(lián)系。這些問題的解決不一定需要教師給以嚴格的證明，但要求教師能夠通過樸素的語言解釋清楚這些問題。要達到這一目的，需要小學數學教師自身能夠理解極限概念，掌握極限的本質內容。因此，對于職前小學教師的培養(yǎng)而言，理解極限概念的思維方式，掌握極限的基本思想方法，應是職前小學教師培養(yǎng)的目標。極限知識是高等數學的基礎知識，極限的思想方法貫穿整個高等數學的學習過程，也是導數、積分概念形成必不可少的核心內容。學生對極限概念的掌握、理解程度將直接影響到后期的學習。然而，極限概念的理解難度是比較大的，剛開始的學習，對極限的理解是膚淺的、記憶的、機械的，在認識上存在著很大的偏差。在講解極限的第一課，我總喜歡讓學生比較大小0.■和1。幾乎所有的同學都認為0.■≠1。循環(huán)小數是在蘇教版數學五年級上冊習題中提到它的定義，1÷3如果一直除下去，余數重復出現“1”，商重復出現“3”。像0.3…這樣的小數是循環(huán)小數。根據需要，可以用“四舍五入”的方法取循環(huán)小數的近似值。而0.■的近似值取1，其實在學習了極限之后就會知道，它的精確值也是1.這樣循環(huán)，無限進行下去，其實就隱藏了極限的思想，體現了動態(tài)的變化過程。同時在蘇教版數學五年級上冊中提到P101，有限小數和無限小數的定義，其中將無限小數定義為小數部分的位數是無限的小數。對于小學生如何來理解“無限”，對于小學數學老師位于多高的層次來理解就非常重要了。用初等數學的知識解決這類問題，只能得到近似值，得不到最終的答案；要得到精確答案，必須在無限動態(tài)變化的過程中來研究這個問題，而這正是高等數學的思想方法。作為小學數學老師，這點不能理清將會直接影響到教學內容的把握。都說初等數學是常量數學的研究，高等數學是變量數學的研究。其實嚴格來講并不能劃清界限，小學生對循環(huán)小數的理解，就是一個動態(tài)的、變化的過程，只不過是感性的理解。而對于職前小數老師的培養(yǎng)，則要求能掌握極限的概念，理解極限的思想，從量化的角度來理解極限的概念，實現由感性向理性的轉化。不能僅僅停留在能理解，而應該知道“為什么”。

2.導數的理解。在小學教材中，運動問題中速度的解釋一般是路程除以時間，即求出的是平均速度，這樣的定義是有問題的。因為一般的運動都是變速運動，在不同的時刻運動的速度是不一樣的，這就是在高等數學中討論的變速直線運動的瞬時速度問題。那么，如何求瞬時速度呢？這就涉及到高等數學中計算平均變化率的極限問題，即導數的定義。對于小學數學教師而言，僅僅會計算勻速運動的平均速度是遠遠不夠的，現實中很多運動都是變速的。因此還必須能理解變速運動的瞬時速度，并且能解釋瞬時速度的計算步驟。這樣就站在抽象后的高度對小學數學的內容進行分析，才能真正理解小學數學的本質內容。由此可以看出，高等數學中的一些概念是小學數學中一些量的抽象，而小學數學的內容則是高等數學中抽象概念的具體實例。教學中將小學教材中的具體實例引入到高等數學的教學中，讓學生清楚地看到小數和高數的聯(lián)系，高數的學習讓自己以后在工作中能站得更高，如此怎么可能不激發(fā)學生重視高數的學習呢？

3.積分的應用。劉徽的“割圓術”是中國數學史上的重要成就之一，其中包含著中國數學家對無限問題的獨特認識和致用的處理方式?！陡叩葦祵W》在講授數列極限概念之前，介紹了我國古代數學家劉徽的割圓術中極限思想，進而引入數列極限的描述定義.作為極限定義的引入性例子，最早出現在小學五年級（下）教材中P102提到割圓術。大約1700年前，我國數學家劉徽用“割圓術”來求圓周長的近似值。他從圓的內接正六邊形算起，逐漸把邊數加倍，正十二邊形、正二十四邊形……計算得出圓周率是3.14。并指出，內接正多邊形的邊數越多，周長越接近圓的周長。此方法正是積分定義中關鍵的分割、近似代替、求和、取極限的步驟。而在P104頁例8中又提到在硬紙上畫一個圓，把它平均分成16份，剪開后可以拼成下面的圖形。

如果把圓平均分成32份、64份……拼成的圖形會有什么變化？

拼成的長方形與原來的圓有什么聯(lián)系？

此方法正是積分定義中關鍵的分割、近似代替、求和、取極限的步驟?？梢姺值玫姆輸翟絹碓蕉嘀敝翢o限分割可以得到一個長方形，這里滲透的極限思想是學生難以理解的。用有限的拼接引導學生展開無限的想象。數學史研究發(fā)現，數學家探究圓的面積計算也是一個從模糊到精確，從感性到理性的追求過程。對于小學生只要能感性理解的過程，而對于職前教師應能有理性的理解，而不是模糊的認識。從數學史中大家都能知道是先有圓周長和面積的研究，后有高等數學微積分的形成。而后人在學習的過程中先是對圓周長和面積的感性理解，在學習了高等數學之后發(fā)展到理性的認識，對于職前小學數學教師而言又由理性回到感性，實現認識的第二次飛躍。只有真正理解了微積分的思想才能更好地把握小學數學教材的內涵，更有效地指導教學。

總之，初等數學和高等數學的思想、方法存在著直與曲、常與變、有限與無限、間斷與連續(xù)等統(tǒng)一的一面.從整體來看，初等數學主要是以研究直線、平面及常量的有限與不連續(xù)關系為主要特征的，高等數學主要是以研究曲線、曲面及變量的無限與連續(xù)關系為其主要特征的.看似明顯的區(qū)別，其實卻又有著不可斬斷的聯(lián)系。教學中要能科學地認識到高等數學與小學數學教學在內容上的密切聯(lián)系，能有意識地運用高等數學與小學數學在思維形式上的相通性，準確地把握每個知識點的內涵和外延，融會貫通，讓后學者不禁回過頭看看以前走過的那些路，真是回味無窮。

參考文獻：

[1]數學[M].江蘇教育出版社，2012.

[2]高等數學[M].（第六版上冊）.高等教育出版社，2007.

[3]王美婧.初等數學與高等數學有關問題的聯(lián)系與區(qū)別[J].數學教學與研究，2013，（104）.

[4]任峰.應用高等數學觀點求解初等數學問題實例[J].高等函授學報，2011，24（5）.