數(shù)學游戲“算24點”的新變化與拓展

簡敏豪　楊健輝

[摘 要]“算24點”是一種撲克牌游戲。課程標準強調(diào)計算教學應(yīng)該減少單純的技能性訓練以及繁難復(fù)雜的計算內(nèi)容，因此，可以根據(jù)年級、學段的不同要求，將常規(guī)的“算24點”游戲及問題進行一定的改進和擴充，引導(dǎo)學生思考游戲背后的數(shù)學問題，展現(xiàn)“算24點”游戲和其他數(shù)學內(nèi)容的聯(lián)系，在學和玩中間尋找平衡點，充分體現(xiàn)“玩游戲、學數(shù)學、育素養(yǎng)”的教學主張。

[關(guān)鍵詞]算24點；數(shù)學游戲；變化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）05-0006-03

“算24點”是流傳很廣的撲克牌游戲：從四種花色的1（A）至10共40張牌中任取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行四則混合運算（每張牌只能用一次），使得計算結(jié)果為24。不同地方的玩法略有差別，比如說用J、Q、K分別代表11、12、13點，共52張牌參與游戲。“算24點”游戲簡單易學、便于操作，可提高口算能力，是一項集學習、娛樂于一體的數(shù)學活動。多個版本的中小學數(shù)學教材都安排了“算24點”的數(shù)學游戲內(nèi)容，但課程標準強調(diào)計算教學應(yīng)該淡化一些單純的技能性訓練以及繁難復(fù)雜的計算內(nèi)容，主張在學習過程中讓學生親身體驗、感受和理解計算的意義以及這些內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想。因此，我們根據(jù)年級、學段的不同要求，將常規(guī)的 “算24點”游戲及問題進行了一定的改進和擴充，以適應(yīng)新形勢下培訓與活動的新要求。這些變化、改進的著眼點主要有兩處：一是牌組數(shù)進行運算組合的新要求；二是原有規(guī)則的某些限制。

下面結(jié)合廣州市小學生數(shù)學游戲活動研究團隊的一些思考和實踐，談?wù)創(chuàng)淇伺朴嬎阌螒蚧顒印八?4點”在教學中的一些新的變化與拓展。

活動變化一：靈活匹配游戲中的運算組合要求

從數(shù)學的角度看，“算24點”其實是尋找一種算法的過程，游戲本身對數(shù)學基礎(chǔ)知識的要求并不高，確定四個數(shù)運算的先后順序即可。然而，一個牌組（4張牌）經(jīng)過3次運算，可能有多種方式湊成24，其中的變化往往是復(fù)雜多樣的，可能會給參與者造成一定的困難。因此我們考慮對“算24點”游戲的運算規(guī)則進行一定的限制，比如要求算式中只有2種運算，從而降低游戲難度，增強游戲的可玩性和成功率，這對于低年級的學生來說是符合其學習要求和規(guī)律的。

1.限定只用加、減法計算

剛開始玩“算24點”游戲，低年級學生都興致勃勃，十分投入，但由于自身的知識和計算經(jīng)驗有限，他們（特別是還未學習乘、除法的一年級學生）在玩“算24點”時一般只會把整數(shù)的加減法作為常規(guī)算法，這時可 “暫時”改編游戲規(guī)則，限定只用加、減法兩種運算玩“算24點”游戲。

以下是一個游戲活動培訓課例的內(nèi)容：

（1）給出4張點數(shù)為10的撲克牌（10 10 10 10），只用加或減法，能算出24點嗎？（顯然不能）

（2）給出3張點數(shù)為10的撲克牌（10 10 10 __），若添加1張牌，只用加或減法，能否通過計算得到24點？

分析：學生容易想到10+10+10=30，只需要添加1張牌“6”，再進行減法計算即可得：30-6=24。

（3）若給出2張點數(shù)為10的撲克牌（10 10 __ __），思考：若添加2張牌，只用加、減法，怎樣算24點？

分析：這里需要添加2張牌，給予學生更大的思考空間。由于10+10=20，而游戲的目標指向結(jié)果為24，則剩下牌組怎樣與20搭配組成24，也就是接下來自選的兩張牌怎樣得到4，對于學生來說是個有意思的思考過程。根據(jù)計算經(jīng)驗，他們對2張自選牌的選擇很可能就會從“加”和“減”兩方面去探索。若從加法去考慮，有1+3=4，2+2=4，使得20+4=24；若從減法去考慮，選擇則會更加豐富，如13-9=4、12-8=4、11-7=4、10-6=4、9-5=4、8-4=4、7-3=4、6-2=4、5-1=4，其中可能出現(xiàn)的試錯過程會讓他們體驗到無序列舉的弊處，激發(fā)他們想到枚舉過程需要有序，從而體會到有序思考的數(shù)學思想。

（4）給出1張牌（10 __ __ __），思考：若添加3張牌，只用加減法，怎樣算24點？

分析：根據(jù)之前的活動經(jīng)驗，學生會自覺地思考自選的3張牌組應(yīng)算出怎樣的數(shù)，從而加上已知的10得出24。單純計算一道題的結(jié)果不重要，營造一個有想象力的思維空間才更有價值。在這里更多的自選牌組會帶來更大的思考空間，能讓學生擦出更多智慧的火花。

2.限定只用乘除法（或限定只用乘加，或乘減，或除加，或除減）計算

不同的玩法更多時候是為了配合不同時段的教學需要，比如剛剛學習了乘法（或除法，或混合運算等），就可以將“24點”作為實踐性作業(yè)在課內(nèi)、外進行活動，既是游戲，又是訓練，還活躍了學習氛圍。另外，當學生開始學習乘、除法時，他們算“24點”常常首選乘、除法進行數(shù)的配對計算。因此，可以給出一些有特點的牌組，如（1 1 3 8）（2 12 5 5）（1 2 3 4）等，限定只用乘、除法兩種運算玩“算24點”游戲。這樣既有利于他們鞏固利用2×12、3×8、4×6等數(shù)據(jù)組合求解的基本技巧，又能讓他們更有目的地觀察數(shù)據(jù)特點，在乘除法框架之下構(gòu)造合適的算式，有助于他們進一步體會乘除法之間的關(guān)系與乘除法和加減法的區(qū)別。

要注意的是，對于“算24點”游戲而言，允許使用兩個層級的運算時就意味著游戲難度有了較大的提高，需要參與者更加細致地考慮算式中各數(shù)的運算順序?qū)Y(jié)果的影響，有時候還需要用括號改變運算的先后順序，這對于剛開始接觸乘加、乘減（或除加、除減）混合運算的學生來說不是一件容易的事情。因此，可以給出一些既定的牌組，限定只用乘加、乘減（或除加、除減）算24點，作為學生適應(yīng)這一學習時期的階段性玩法，為往后學習多位數(shù)乘除法打下基礎(chǔ)。

如牌組（2 2 3 9），若學生明確了算式中只用乘法和加（減）法，思路就會非常清晰，既要分析數(shù)據(jù)特征，又要考慮運算順序，如先加（減）后乘，還是先乘后加（減），或加（減）乘、加（減）等，這相當于中心在一個相對簡單的運算要求背景下對算式進行了結(jié)構(gòu)性分析，這些思考有時候可以促成一題多解。如上述牌組容易得出9×2+3×2=24、（9-3）×（2+2）=24、（9-3）×2×2=24等幾種解法。這有助于學生在具體情境中能更深入理解乘加、乘減（除加、除減）的計算方法和算理，初步了解“算24點”游戲可能出現(xiàn)的同一牌組有不同計算方法的情況，體驗解決問題策略的多樣性，提高類比、遷移能力及求異思維能力，養(yǎng)成主動探究的學習習慣。

在實際教學中，由于教學任務(wù)設(shè)置的不同，“算24點”游戲能夠顯現(xiàn)不同的教育價值。以上的改編設(shè)計，從運算規(guī)則要求方面進行細致考量，很好地體現(xiàn)了“算24點”游戲的知識性和趣味性。游戲本身對數(shù)學基礎(chǔ)知識的要求并不高，但任務(wù)起點的適度“降階”為學生創(chuàng)造了寶貴的思考空間，他們不再只鉆營方法和技巧，而是在既定規(guī)則下對牌組的變化開展靈動的思考，從簡單到復(fù)雜，從答案單一到逐步開放，既符合不同年齡和水平學生的游戲需求，又對應(yīng)了不同時期教材的教學重點和要求，豐富了游戲本身的玩法；不但訓練了學生的有序思維，還循序漸進地幫助了學生融合與拓展四則運算的學習內(nèi)容。

活動變化二：將計算與思考有機地結(jié)合起來

在常規(guī)的“算24點”游戲中，給出一個牌組（4張牌）后，學生的第一個念頭是什么？通常是運用記憶中的運算模型，嘗試構(gòu)造算式去湊24。這顯然容易讓游戲活動漸漸往模式化的方向發(fā)展，規(guī)則的呆板和學生的生搬硬套會讓游戲逐漸變得索然無味。我們不禁思考：在既定的游戲規(guī)則下，如何設(shè)置一些有意義的“前置障礙”，如何從牌組選擇上給予學生更大的自由度，拓寬學生的思考空間呢？鑒于牌組的組合情況非常多樣，我們嘗試選取學生熟悉的4個數(shù)字都相同的牌組，分別是（2 2 2 2）和（3 3 3 3），再把兩個牌組疊加，組成一個8張牌的牌組，構(gòu)成給學生從中自由選擇的牌組樣本。

活動問題如下：

從一副撲克牌中取出以下8張牌，再從中每次任意選出4張為一組算24點。請寫出其算式及結(jié)果。（取牌時只考慮點數(shù)，不考慮花式及顏色，結(jié)果可包含無解。）

在活動的初期，“任意選出4張為一組算24點”的游戲規(guī)則容易吸引學生眼球，作為一個顯性的活動讓他們把游戲歸到已有的活動經(jīng)驗中，從而促使他們馬上開始選牌和計算。當游戲活動開始時，“隨意選”4張牌進行計算是不難，但學生的困惑卻逐漸產(chǎn)生并增大，如“牌組選全了嗎？”“還有哪些牌組沒有被計算過？”等。這就關(guān)聯(lián)到本活動的一個隱性的游戲活動內(nèi)容——考慮問題的有序性。如果讓游戲者重新審視題目，他們自然會意識到，應(yīng)該先思考如何有序選擇牌組再開展計算活動。因此，教師要求學生借助記錄本，將已有的撲克牌點數(shù)和計算過程進行整理，從中發(fā)現(xiàn)一些聯(lián)系或某種規(guī)律性的關(guān)系，讓學生通過取撲克牌進行有序思考，按“取4個2、取3個2……不取2”的順序先完成取撲克牌的任務(wù)，再具體考慮計算的過程。這樣，把學生活動從“無序”引向“有序”，游戲活動的訓練就能落到實處。以下是解答過程：

以上的改編，把計算和思考有機地結(jié)合起來，促使學生拋棄片面地算的觀念，學會有序地進行數(shù)學思考，讓學生在競技爭先的感性歡愉之外，多了一份對數(shù)學游戲的理性思索。

活動變化三：追尋“假如得不到24點呢？”

在“算24點”游戲中，一個牌組的解法有可能是多種多樣的。研究發(fā)現(xiàn)，對于4個數(shù)均在1～10中的715種情況，有566種有解，有解率為79.16%；對于4個數(shù)均在1～13中的1820種情況，有1362種有解，有解率為74.83%。也就是說，對于某一隨機牌組，存在唯一解、多解和無解的情況。在實際游戲活動中，由于一些牌組不能湊成24，學生參與活動時會因陷入不可知狀態(tài)而失去耐心和興趣。

怎樣克服這個游戲活動的弊端呢？我們有如下設(shè)想：

1.計算結(jié)果為12點或36點的算式

“計算結(jié)果為12點”適合低年級，“計算結(jié)果為36點”適合高年級。因為算12點或算36點有解的概率很大，游戲更容易順暢地進行，而且12和36作為有多個因數(shù)的合數(shù)，讓游戲有了更多的變化，計算起來更具有技巧性，對思維的訓練也更有幫助。如用牌組（3 4 6 7）算24點是無解的，但可以引導(dǎo)學生開展 “算12點”或“算36點”的活動，如6×[7-（4-3）]=36或4×[7+6÷3]=36。這有利于學生回歸到計算本身，進一步深刻理解“算24點”這類計算游戲的本質(zhì)。

2.計算結(jié)果最接近24點的算式

如果遇到不可能得到24點的4張牌，可以要求學生列出結(jié)果最接近24的算式（小學階段盡可能要求結(jié)果是整數(shù)）。例如牌組（2 4 7 13），這是一個以常規(guī)“算24點”規(guī)則無法得出24的算式，此時可給出一個更為“寬泛”的要求：用這幾個數(shù)，寫出結(jié)果最接近24的算式。學生不再用3×8，4×6，18+6，14+10等技巧性模板作為思考坐標，而是把結(jié)果指向22、23、25、26等，較容易得出算式4×（2+7）-13=23、（13-4）×2+7=25、13×2-7+4=23、13×2-（7-4）=23。無論是計算多少點，其本質(zhì)都是嘗試計算，這也是這個游戲最有特點和魅力的地方——算。

從以上的分析可知“有解率”決定著游戲的可行性，而“算式結(jié)構(gòu)”決定著游戲的趣味性和靈活性。對學生來說，脫離了常規(guī)的模式化方式，算式結(jié)果更開放，計算的味道更濃。創(chuàng)新的規(guī)則給予學生不一樣的活動視角，能激發(fā)學生更多的思維火花。

活動變化四：嘗試非常規(guī)或特殊的解答思路

對于“算24點”游戲活動，在游戲規(guī)則彈性可變的條件下，不同的游戲者會有不同的玩法和理解。低年級學生可能把“整數(shù)的加減法”作為他們的常規(guī)算法；高年級學生可能把“加、減、乘、除”中“整數(shù)與分數(shù)的四則運算”作為他們的常規(guī)算法；初中生則可能把“加、減、乘、除、乘方、開方的六則運算”作為他們的常規(guī)算法……不同的人都有自己知識經(jīng)驗范圍內(nèi)的算法模型。一般情況下，只要規(guī)則足夠靈活，學生自然會去聯(lián)想已經(jīng)學過的數(shù)學知識和熟悉的數(shù)學思想方法，通過推理和演算，甚至會得到一些特殊的解題方法。如用牌組（1 4 6 5）算24點，小學高年級學生首先想到的是4×6=24，這時還有1和5兩個數(shù)沒有用，于是他們用自己熟悉的分數(shù)乘除法，將算式變形為4÷（1-5÷6）=24或6÷（5÷4-1）=24。小學低年級學生首先有可能想到的是把這些數(shù)“組合”進行加減運算，于是“65-41=24”這樣的“天才算法”就誕生了。

基于以上認識，我們還可以創(chuàng)設(shè)一些特別的規(guī)則，引導(dǎo)學生選用非常規(guī)或特殊的思路得到結(jié)果：對于由5張牌組成的錯誤算式“62-12=24”，只移動一張牌，使算式成立。這道趣題需要學生拋開之前的游戲經(jīng)驗，跨過原來的位值制、十進制思維，運用冪運算知識展開思考，得出62-12=24。這樣的思考過程能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。在“算24點”游戲中，經(jīng)歷了由傳統(tǒng)整數(shù)狀態(tài)下的計算到可以用分數(shù)進行計算（如5×（5-1÷5）=24），再到增加“冪的運算”（如52-9÷9=24）之后，學生自然能感受到隨著所學知識的逐漸增多，自己在處理問題時所用的方法也會越來越豐富。

“算24點”是一個內(nèi)涵豐富、趣味十足的數(shù)學游戲活動。如果對它作進一步的挖掘，還可再開發(fā)一些“另類”的規(guī)則形式，如用3張或者5張牌算24點等，讓游戲更具有探索性。值得注意的是，繼承傳統(tǒng)是創(chuàng)造革新的前提，而創(chuàng)造則是傳統(tǒng)的延續(xù)和再生。我們在進行游戲規(guī)則的改變與拓展之可行性研究中，十分注重在傳統(tǒng)和創(chuàng)新之間尋找平衡點。首先力求深刻理解游戲本身的教育價值，準確選取游戲的核心元素，使它們應(yīng)不同教學要求和需要去重組、整合、創(chuàng)新，展現(xiàn)它們與數(shù)學知識的豐富聯(lián)系，讓參與者或是從淺入深，或是從簡單到復(fù)雜，在玩與學中探尋游戲背后的數(shù)學原理與思想方法，充分體現(xiàn)“玩游戲、學數(shù)學、育素養(yǎng)”的教學主張，讓學生玩在其中、樂在其中、算在其中、思在其中，進而使其數(shù)學素養(yǎng)及計算能力得到有效提升。

（責編 金 鈴）