從“具象”到“抽象”：數(shù)學知識的自然生長

邢紅梅

摘 要：兒童對數(shù)學知識的表征方式是多元的，數(shù)學教學要引導兒童在“具象思維”與“抽象思維”之間流轉(zhuǎn)互演。教學中，教師要累積兒童的數(shù)學知識表象，讓兒童對數(shù)學知識進行動態(tài)想象，引領(lǐng)兒童返回知識的誕生處、源頭處。由此，讓兒童思維在直觀中“顯影”、在運動中“定格”、在物化中“成像”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學知識；具象思維；抽象思維；教學

著名的認知心理學家布魯納認為，兒童的思維表征要經(jīng)歷三個階段：即動作表征階段、映像表征階段和符號表征階段。認知發(fā)生論倡導者皮亞杰也認為，兒童的思維有著從直觀動作到具體形象再到抽象思維的發(fā)展特性。在兒童數(shù)學教學中，教師要充分運用兒童的思維特質(zhì)，引導兒童從“直觀動作”“具體形象”等“具象思維”過渡到概念化、符號化、形式化的“抽象思維”。所謂“具象思維”，即指兒童借助具體的材料、因素等展開的思維?！冬F(xiàn)代漢語詞典》（商務印書館第6版）對于“具象”的概念是這樣詮釋的：具體的、不抽象的、具體的形象?！熬呦笏季S”具有“具象性”“創(chuàng)造性”“完整性”的特質(zhì)。從“具象”到“抽象”，讓兒童的思維自然地生發(fā)、生長、生成，是兒童數(shù)學教學的必由之路。

一、累積表象，讓兒童思維在直觀中“顯影”

兒童的數(shù)學學習需要表象的支撐，沒有表象，兒童的數(shù)學學習就是“無源之水”“無本之木”。依靠表象，兒童可以在頭腦中進行認知加工，展開探索性、創(chuàng)造性的數(shù)學思維。累積表象，能夠讓兒童的思維在直觀中“顯影”。例如教學《圓的認識》，盡管面對的是高年級的學生，但筆者依然重視孩子們表象的積累。運用多媒體課件向?qū)W生展示了各種圓形的物體，并讓學生用圓形物體和圓規(guī)在硬紙板上畫了大小不同的圓，且將它們剪了下來。由于有了表象的支撐，學生很快地認識了圓的半徑、直徑、周長、面積等概念。在學生“認識圓的各部分名稱”“探究圓的特征”之后，筆者用一根細線，一頭懸掛著重物旋轉(zhuǎn)，形成了一個“軌跡圓”，學生對圓的認識開始由膚淺走向深刻：原來“圓是到定點的距離等于定長的點的軌跡的集合”。這樣，從具體的“圓形物體”到形象的“圓形”再到抽象的“點的軌跡集合”，虛實相生，直擊“圓”的數(shù)學本質(zhì)、概念內(nèi)核，實現(xiàn)了學生的思維從“具象”到“抽象”的巧妙過渡?！皥A”的數(shù)學抽象的概念、定義等在這個過程中悄悄地生長起來了。兒童的思維在直觀中得到“顯影”。

二、動態(tài)想象，讓兒童思維在運動中“定格”

兒童的思維常常是靜止的，因此，數(shù)學教學要培養(yǎng)兒童“動態(tài)想象”的能力。數(shù)學知識是有閾限的，動態(tài)想象能夠讓兒童感受、體驗到數(shù)學知識的閾限，能夠讓兒童理解數(shù)學知識間的相互關(guān)聯(lián)。當然，動態(tài)想象是以兒童頭腦中的表象積累為前提的。概言之，動態(tài)想象的過程是兒童對自我頭腦中已有表象的聯(lián)結(jié)、加工與整合的過程。例如，兒童能夠?qū)ⅰ捌叫兴倪呅蔚谋硐蟆薄叭切蔚谋硐蟆薄疤菪蔚谋硐蟆甭?lián)結(jié)起來，形成動態(tài)想象。即三角形就是梯形上底運動為“0”的一種特殊狀態(tài)；平行四邊形就是梯形上下底運動到相等的一種特殊狀態(tài)；又如等腰三角形旋轉(zhuǎn)能夠產(chǎn)生正多邊形，等腰三角形的頂角越小，旋轉(zhuǎn)就越能產(chǎn)生近似于圓的正多邊形，而圓就是等腰三角形頂角為0°的正多邊形。再如教學《長方體的認識》時，學生可以在相交于一條棱的兩個面以及相交于一個頂點的三條棱的情況下動態(tài)想象長方體；教學《體積單位的進率》時，學生可以通過長度單位之間的進率，動態(tài)想象并推理出面積單位之間的進率、體積單位之間的進率；教學《長方體的體積》時，學生可以動態(tài)想象小正方體拼搭長方體的過程；教學《直柱體的體積》時，學生可以動態(tài)想象長方形疊加成長方體、圓形疊加成圓柱體等的過程等?！皠討B(tài)想象”能夠讓兒童的思維在運動中“定格”，溝通數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，編織數(shù)學知識網(wǎng)、結(jié)構(gòu)圖，讓兒童對數(shù)學知識的理解由膚淺走向深刻。

三、返回形象，讓抽象知識在物化中“成像”

著名數(shù)學教育家馮·諾依曼曾經(jīng)這樣說：“一門學科，當它離開經(jīng)驗的源泉越走越遠時，或者更為糟糕的是，一門學科只是間接地接受來自現(xiàn)實思想的啟發(fā)，那么它就面臨著危機，它就會越來越成為純粹的矯揉造作……它經(jīng)過多次雜交后就有退化的危險?！币虼耍趦和瘮?shù)學教學中，教師有必要時時引領(lǐng)兒童返回兒童經(jīng)驗的、現(xiàn)實的源頭處展開數(shù)學思考。返回數(shù)學知識的具象處、形象處進行探究，讓抽象的數(shù)學知識能夠在物化中“成像”，恢復其應有的生命活力。例如教學《長方形的周長》時，一般教師只是讓學生在推導長方形的周長公式時，從兒童的經(jīng)驗如“邊線”“一周”等生活概念出發(fā)，而在對“長方形的周長公式”進行精致化概括——“長方形的周長=（長+寬）×2”后，就很少回歸到知識的誕生地、源頭處。由此導致兒童對數(shù)學公式的機械識記，在多次運用后仍出現(xiàn)各式各樣的錯誤?；诖耍P者在教學中從兒童的生活經(jīng)驗出發(fā)，在解決實際問題時仍然時時引領(lǐng)兒童回歸到知識的源頭處、回到兒童經(jīng)驗的源頭處不斷地汲取營養(yǎng)，實現(xiàn)兒童“抽象思維”與“具象思維”的流演化育、相互轉(zhuǎn)化，這是兒童數(shù)學問題解決的最佳路徑！

數(shù)學教學應當激發(fā)兒童的數(shù)學思維。廣義的數(shù)學思維既涵蓋抽象思維，也包括兒童的直覺、形象等具象思維。在數(shù)學學習過程中，兒童不僅僅應該熟練地掌握數(shù)學概念、判斷與推理，更應該能夠依據(jù)自我的具象思維形成自我的個性化、創(chuàng)新性數(shù)學理解。數(shù)學教學只有突出事物具象、數(shù)學現(xiàn)象、直觀形象，數(shù)學教學才能煥發(fā)出應有的生命活力！