分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探析

☉江蘇省梁豐高級中學(xué) 黃耀平

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探析

☉江蘇省梁豐高級中學(xué) 黃耀平

相比于初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)顯然進入了一個更為高級的階段.這個階段的特點并不僅僅表現(xiàn)在知識難度的提高上，更表現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)注點的擴展和提升上.進入到高中階段之后，學(xué)生們決不能再將目光單一地集中在具體的知識內(nèi)容之上，而是要將視野放寬，從規(guī)律方法的層面上對數(shù)學(xué)知識進行把握.找到了規(guī)律方法，無疑是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中開辟出了一條捷徑，從根本上為學(xué)習(xí)效率的提升注入了動力.因此，著眼規(guī)律方法開展教學(xué)活動，是高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當建立起的高效教學(xué)意識.

一、關(guān)注分類討論方法，推進函數(shù)問題探究

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重頭戲，其變化方式更是靈活多變.因此，針對函數(shù)內(nèi)容所開展的教學(xué)活動向來是很受教師們重視的.學(xué)生們?nèi)绻軌驅(qū)⒑瘮?shù)部分的知識內(nèi)容掌握到位，必將為整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，穩(wěn)固半壁江山.既然函數(shù)問題形式多樣，內(nèi)容繁雜，逐個記憶研究自然是不現(xiàn)實的.如果能夠找到方法，統(tǒng)一適用，必定可以讓函數(shù)知識的學(xué)習(xí)過程事半功倍.

例如，在對函數(shù)知識進行延伸時，我為學(xué)生們設(shè)計了這樣一道題目：關(guān)于x的方程ax=-x2+2x+a（a＞0且a≠1）有多少個解？學(xué)生們的初步思路形成都是很順利的，即分別構(gòu)造函數(shù)y=ax和y=-x2+2x+ a，通過確定兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)來得出最后答案.而難點就在于交點個數(shù)應(yīng)當如何確定.由于字母a的存在，使得函數(shù)y=ax的單調(diào)性并不唯一.為此，就需要分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論，綜合考慮二者結(jié)論得出題目的最終答案.經(jīng)過分別作圖（如圖1和圖2所示）發(fā)現(xiàn)，兩個函數(shù)的交點數(shù)量始終為2個，答案得以確定.通過這個練習(xí)，學(xué)生們找到了借助分類討論的方法來對函數(shù)問題中的不確定部分進行把控的方式.

圖1

圖2

說到函數(shù)問題的難度，很大程度上都會體現(xiàn)在問題內(nèi)涵的靈活多變上.在很多比較復(fù)雜的函數(shù)問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)多種方向的可能性.這樣一來，學(xué)生們的思維就很容易被這些可能性所打亂，造成分析解答的困難.如果學(xué)生們能夠在函數(shù)問題的思考中掌握分類討論的規(guī)律方法，便能坦然面對眼前的復(fù)雜局面，冷靜分析，針對每一種可能性分別進行有效處理.

二、關(guān)注分類討論方法，推進幾何問題探究

分類討論的規(guī)律方法并不僅僅適用于代數(shù)類問題，于幾何問題當中同樣應(yīng)用廣泛.既然是幾何問題，就離不開圖形的加入，圖形之間的位置關(guān)系也就成為了很多問題的討論焦點.然而，很多幾何問題當中的條件敘述并不明確，也就為分類討論方法的使用提供了前提基礎(chǔ).學(xué)生們既要善于從已知條件中發(fā)現(xiàn)多種可能性的存在，更要善于運用分類討論的方法全面解答問題.

例如，在一次階段測驗中曾經(jīng)出現(xiàn)過這樣一道平面幾何題目：如圖3所示，在平面直角坐標系中，有一個點C（1，0），以它為圓心的圓與坐標縱軸相切，一條直線l與該圓相切，切點為點D，且點A（-1，0）在這條直線上.（1）直線l的解析式是什么？（2）直線l上是否存在一個點P，使得△APC是一個等腰三角形？

這道題目的正確率并不高，主要問題都出在第（2）問的解答上.對于△APC中的哪兩條邊等長，很多學(xué)生都是想當然地加以確定，而沒有進行分類討論.經(jīng)過講解，學(xué)生們意識到，對于這種不確定的題目條件，必須厘清思路，找準分類標準逐一進行討論，方能保證結(jié)論的完整.具體至這道題，就應(yīng)當根據(jù)點P、C、A分別為三角形頂點逐個進行討論.

圖3

很多比較復(fù)雜的幾何問題，并不是在圖形的層面上獨立存在的，而是常常與方程、函數(shù)甚至數(shù)列等代數(shù)問題聯(lián)系在一起.這樣一來，就為當前的幾何問題增加了很多分析的難度.特別是在條件氛圍比較模糊的時候，學(xué)生們必須準確找到關(guān)鍵節(jié)點，并以之作為分類依據(jù)，對幾何問題進行有效分析.

三、關(guān)注分類討論方法，推進數(shù)列問題探究

數(shù)列問題一直是高中生感到難度很大的數(shù)學(xué)問題之一.雖然從概念與公式的角度來看，數(shù)列問題的內(nèi)容明確清晰，但是，真正進入到問題解答環(huán)節(jié)時，便會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題的變化方式著實靈活，綜合程度也很高，對學(xué)生們的思維能力提出了相當強的要求.一方面，學(xué)生們要將數(shù)列的基礎(chǔ)知識掌握到位，融會貫通，另一方面，還要有能力對復(fù)雜問題進行條理清晰的分析，將每一種可能都考慮到位.

例如，在數(shù)列內(nèi)容的教學(xué)中，我特意引入了如下題目：數(shù)列｛an｝是一個等比數(shù)列，它的首項是2，公比是0.5，前n項和是Sn.

（1）請用Sn來表示Sn+1；

很顯然，第（2）問是學(xué)生們感到困難的地方，要使得條件成立，只需要（k∈N*）.又因為Sk+1＞k，（k∈N*），所以由Sk＜4，要使Sk+1＞Sk，（k∈N*）成立，c只能取2或3.到此，分類討論的標準也就出現(xiàn)了.很多數(shù)列問題之所以難度較大，原因都在于分析過程中這種多可能性的存在.意識到這一點，并妥善處理，思路就清晰多了.

對于數(shù)列問題的關(guān)注，不能僅僅集中在公式與定理的簡單應(yīng)用上，更要訓(xùn)練學(xué)生們在繁雜情形之下厘清頭緒，尋找分析關(guān)鍵點的能力.當學(xué)生們能夠站在一定的高度上來審視數(shù)列問題，及時發(fā)現(xiàn)其中的分析焦點之所在時，也就能夠很好地確定解答方向及用力重點，解題過程自然順利許多.

四、關(guān)注分類討論方法，推進應(yīng)用問題探究

在高中數(shù)學(xué)當中，應(yīng)用問題所占據(jù)的比重向來不小.準確解答應(yīng)用問題，不僅是為了在各類數(shù)學(xué)考試當中取得理想成績，更是為了在實踐之中檢驗學(xué)生們的知識理解效果，為數(shù)學(xué)知識的深入探究和繼續(xù)學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ).因此，解答應(yīng)用問題也就很自然地成為了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分.這也是分類討論方法的一個典型應(yīng)用.

圖4

例如，學(xué)生們曾經(jīng)遇到過這樣一道應(yīng)用問題：如圖4所示，點A、B、C分別表示三個城市的位置，其中，AB與AC的長度均為13，BC的長度為10.為了能夠讓這三個城市同時享受到高質(zhì)量的醫(yī)療服務(wù)，政府部門計劃在BC的垂直平分線上的合適位置規(guī)劃一個綜合性醫(yī)院，并將這個位置記為點P.那么，如果要使醫(yī)院到三城市間距離的平方和最小，應(yīng)當如何確定位置？如果要使醫(yī)院到三城市間最遠距離最小，又應(yīng)當如何確定位置？第一問的難度較低，第二問的解答則涉及到將點P到三點的最遠距離分別表示出來后的處理.若將這個最遠距離設(shè)為函數(shù)g（y），只有將當≥|12-y|時，g（y）＜|12-y|時，g（y）=|12-y|兩種情況同時考慮，才能保證最后答案的準確性.

由此可見，想要將每一道應(yīng)用問題都高效解答出來，并不是一件容易的事情.想要靈活應(yīng)對高中數(shù)學(xué)當中的應(yīng)用問題，除了要將具體的知識內(nèi)容理解到位并靈活運用之外，還要掌握規(guī)律性的思想方法，以之應(yīng)對應(yīng)用問題當中所出現(xiàn)的各種可能性.應(yīng)用問題的實踐氛圍并不同于理論性問題，很多分類討論的目標是隱藏在應(yīng)用性的敘述文字當中的，分析難度往往是更大的.將分類討論方法運用于應(yīng)用問題解答當中，是師生們應(yīng)當尤其關(guān)注的.

高中數(shù)學(xué)中的知識數(shù)量大，知識難度高，對學(xué)生們的學(xué)習(xí)能力提出了很高的要求.為了妥善應(yīng)對各種知識內(nèi)容，學(xué)生們必須學(xué)會用巧勁兒，從看似雜亂無章的內(nèi)容要點當中找出共性，提煉總結(jié)，得出可以普適于多種類似問題解答的規(guī)律方法.這不僅是高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法，更是學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力顯著提升的標志.適用于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律方法有很多，分類討論只是其中頗具代表性的一種.本文以分類討論為典型開展論述，就是為了給廣大高中師生以啟發(fā)，以此為切入點，建立起探尋規(guī)律方法的意識，大力促進數(shù)學(xué)教學(xué)實效走向強化.

1.宋遠娜.“學(xué)講方式”下的高中數(shù)學(xué)課堂問題串教學(xué)的研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（10）.

2.沈桂蘭.分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究.2016（30）.

3.朱明安.高中數(shù)學(xué)分類討論思想例析［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué).2007（09）.