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    發(fā)揮課本習(xí)題一題多解大作用

    2017-03-17 07:15:56江蘇省昆山中學(xué)金巧根
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年1期
    關(guān)鍵詞:證法余弦定理一題

    ☉江蘇省昆山中學(xué) 金巧根

    發(fā)揮課本習(xí)題一題多解大作用

    ☉江蘇省昆山中學(xué) 金巧根

    教材是知識(shí)的本源,萬(wàn)變不離其宗.如何深入地挖掘教材,使教材為教學(xué)服務(wù)呢?我覺(jué)得應(yīng)該重視教材知識(shí),重視教材上的題目,一題多解,題盡其責(zé),把教材的作用展現(xiàn)得淋漓盡致!下面例舉教材幾例談?wù)勔活}多解的作用.

    例1如圖1,已知AD是△ABC的角平分線,且AC=2,AB=3,∠A= 60°,求AD的長(zhǎng).

    解法一:①△ABC中,已知兩邊及夾角,余弦定理求出BC=;

    圖1

    評(píng)析:此方法按部就班,屬于典型的通性通法,值得提倡.

    解法二:①如圖2,由D向AB,AC作垂線,垂足分別為E,F(xiàn);設(shè)AD=x,

    圖2

    ②由等面積法知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,

    此題并沒(méi)有用到所學(xué)的正、余弦定理,其中的面積公式不學(xué)這章內(nèi)容也可以推導(dǎo)出來(lái),巧妙地運(yùn)用了等面積法,使得本來(lái)計(jì)算量很大的題目簡(jiǎn)單化,體現(xiàn)了思維的開(kāi)拓性及知識(shí)的系統(tǒng)性,不被所學(xué)內(nèi)容禁錮,實(shí)屬妙法!

    解法三:①如圖3,延長(zhǎng)AD,由B,C分別向AD及其延長(zhǎng)線作垂線,垂足分別為E,F(xiàn);

    ②AE=ABcos30°,AF=ACcos30°,EF=AE-AF;

    圖3

    ④AD=AF+DF.

    評(píng)析:此法屬于應(yīng)用平面幾何的知識(shí),加上新知識(shí)——角平分線的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行處理.

    解法四:①如圖4,作CE∥DA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E;

    圖4

    ③△ACE中已知兩邊及夾角,余弦定理求得第三邊CE;

    評(píng)析:此法輔助線作得很好,構(gòu)造了相似三角形,只用了一次余弦定理,計(jì)算量大大減少!

    評(píng)析:此法看似要用兩次正弦定理,但是只需列式,不需計(jì)算,第三步兩式相除后,運(yùn)用角平分線的性質(zhì)可知比值的大小,而不用去求這兩個(gè)值,也就是只有最后一步需要代入數(shù)值計(jì)算,而且此法是完全應(yīng)用本章所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決.

    解法六(學(xué)生錯(cuò)解):①△ABC中,已知兩邊及夾角,余弦定理求出BC=;

    ③在△ABD中,已知兩邊及一對(duì)角,用余弦定理列方程組,解出兩解

    分析:由圖5可見(jiàn)已知兩邊及一對(duì)角有兩解,原題中是較小的一解;若由△ACD中用此方法解也會(huì)出現(xiàn)兩解,由圖看,應(yīng)取較大的一個(gè).所以此解法更正如下:

    圖5

    ④在△ACD中,已知兩邊及一對(duì)角,用余弦定理列方程組,解出兩解:

    評(píng)析:此法很容易出錯(cuò),基礎(chǔ)訓(xùn)練上的一個(gè)選擇題的錯(cuò)誤選項(xiàng)就是應(yīng)用此法的錯(cuò)解得到的,加上上述更正后,雖然能做出正確答案,但是要分別在兩個(gè)小三角形中應(yīng)用余弦定理,計(jì)算量大,所以此法不宜使用!

    例2如圖6,在任意四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn).求證

    圖6

    在教學(xué)向量加減法的時(shí)候,引導(dǎo)學(xué)生探索如下證法一:

    此法讓學(xué)生欣賞在EF左右兩側(cè)的圖形中,向量和的勻稱(chēng)美.

    證法二:如圖7,過(guò)F點(diǎn)作MN與AD平行且相等,F(xiàn)為MN的中點(diǎn),則四邊形AMFE和EFND為平行四邊形而△BMF≌△CNF,從而得出即

    圖7

    圖8

    在此法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo),所要求證的結(jié)論符合運(yùn)用“三角形中線向量定理”特征要求.可以通過(guò)直接將平移得到“三角形中線向量定理”的基本圖形.這樣就得到如下證法:

    證法四:如圖9,過(guò)點(diǎn)B作BM∥AE,過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB,BM∩EM= M,則四邊形ABME為平行四邊形,連接MF并延長(zhǎng)加倍至N,連接CN,EN,得到△BMF≌△CNF,進(jìn)一步CN和DE平行且相等,故四邊形CNED為平行四邊形

    圖9

    圖9

    圖10

    又因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),所以MF為△BNC的中位線.

    例3過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線,交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的上方,求的值.

    評(píng)析:此方法是教參給出的方法.

    解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由題意知,

    因?yàn)棣?8p2>0,所以

    評(píng)析:此方法是運(yùn)用了直線和拋物線的位置關(guān)系來(lái)解決.還可以解決下面的變式題:

    過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l,交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的上方,若=3,求直線l的方程.(解答略)

    解法三:由拋物線的定義,可推出焦半徑用直線的傾斜角θ表示的公式:

    此方法是結(jié)論性的方法,可以解決高考題中的選擇、填空題.在教學(xué)中,作為教師要勤于思考,潛心研究,發(fā)揮好一題多解,多題歸一的教學(xué)作用,培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散性及主動(dòng)性,進(jìn)一步提升學(xué)生的思維品質(zhì),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    一題多解及解后反思屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思的一個(gè)重要方面.目前,學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍存在的一種現(xiàn)象是“學(xué)數(shù)學(xué)=做題目”“完成作業(yè)=完成學(xué)習(xí)”,這使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走入一個(gè)怪圈.學(xué)會(huì)反思或許是破解這種困局的方法之一.每當(dāng)學(xué)習(xí)一個(gè)例題或完成一道習(xí)題的解答,就可以及時(shí)反思解答過(guò)程有沒(méi)有遺漏,還有沒(méi)有不同的方法,這道題與之前的哪個(gè)問(wèn)題有聯(lián)系,能否將這個(gè)問(wèn)題應(yīng)用到其他問(wèn)題,等等.筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的這道習(xí)題進(jìn)行研究,不僅增加了學(xué)生探究的機(jī)會(huì),拓展了研究空間,更讓我們發(fā)現(xiàn)此題內(nèi)涵雋永,耐人尋味,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到教材編寫(xiě)者的意圖,挖掘出教材習(xí)題的潛在價(jià)值.在解題時(shí)既能使學(xué)生獲得基本的知識(shí)和技能,也能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展學(xué)生思維能力,“尋思求百通”,這才是解題“反思”的教育教學(xué)價(jià)值之根本所在.

    教材是新課程標(biāo)準(zhǔn)先進(jìn)理念的具體體現(xiàn),是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教育教學(xué)的寶貴資源,而教材習(xí)題是教材的重要組成,在促進(jìn)學(xué)生理解概念、鞏固知識(shí)、形成技能、發(fā)展思維等方面有著不可替代的作用.一般情況下學(xué)生對(duì)教材習(xí)題答案的尋求不會(huì)有太大困難,使得我們忽略了對(duì)教材習(xí)題潛在價(jià)值的發(fā)掘和研究,從而浪費(fèi)了很多重要的教育教學(xué)資源,這是一個(gè)必須引起高度重視的問(wèn)題.教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)欣賞教材,從句子品讀,體微言大義;從結(jié)構(gòu)品讀,獲教學(xué)智慧.教師應(yīng)通過(guò)對(duì)教材的個(gè)性化解讀,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到教材編寫(xiě)者的意圖,從教材細(xì)微之處入手,多問(wèn)為什么教材這樣“說(shuō)”而不是那樣“說(shuō)”、為什么這樣安排“教學(xué)”而不是那樣安排,聚焦于“微變”背后的“大義”,從而提高對(duì)數(shù)學(xué)的理解,對(duì)教材的設(shè)計(jì)理念和背后蘊(yùn)含的教育價(jià)值的理解,進(jìn)而才能更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué).

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