一次“微”教研引發(fā)的思考
——基于一道題解法的討論

☉江蘇省南京市大廠高級中學(xué) 仝 建

一次“微”教研引發(fā)的思考
——基于一道題解法的討論

☉江蘇省南京市大廠高級中學(xué) 仝 建

一、問題提出

教師需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷反思、研究，教師的教研活動可以滲透到工作的每一個環(huán)節(jié)，可以是飯桌旁與同事的聊天，可以是批改試卷時的討論，我們不妨稱之為“微”教研.在一次學(xué)校例會間隙，一位年輕的H教師對一道題目的答案不太確定，向鄰座的老教師C請教，旁邊的Z老師也參與其中（我校開會時，同學(xué)科老師坐在一起）.筆者傾聽并參與討論，深有感觸，隨后整理成文，談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考.

二、題目及解法討論

題目過橢圓x2+2y2=a2（a＞0）的右焦點(diǎn)F作斜率大于0的直線與該橢圓相交于A，B兩點(diǎn).若點(diǎn)F將線段AB分成2∶1兩段，則直線AB的斜率為___________.

這是筆者所在學(xué)校高三一輪復(fù)習(xí)講義上的一道題.

Z老師首先對這道題談了自己的做法和遇到的困難.

Z教師：我是設(shè)AB的方程為點(diǎn)斜式，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，如果求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)再用兩點(diǎn)間距離公式的話，計算量太大，所以想借助韋達(dá)定理，對點(diǎn)A、B的坐標(biāo)設(shè)而不求，但發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)F將線段AB分成2∶1兩段”不太好用韋達(dá)定理，況且會產(chǎn)生三個方程，四個未知數(shù)，所以沒算出來.

評析：Z教師草稿紙如下：不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，設(shè)直線AB的方程為y=k其中k＞0，記A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線AB和橢圓的方程，消去y得（2k2+1）x2-k2ax+k2a2-a2=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=②，由BF=2AF，結(jié)合圖形知y2=-2y1，所以有ka-x2=③（下面沒有寫下去）.筆者后來演算發(fā)現(xiàn)Z教師的解法可以繼續(xù)下去，關(guān)鍵是如何由①②③式求出k的值，雖然三個方程含有四個字母，但估計a不會影響k的值，所以有信心算出k.由③式得x2=a-2x1代入整理得x1=④，從而x2=⑤，這樣消掉了兩個未知數(shù)x1，x2，將④⑤代入②可以消去a，得（說明前面的估計是正確的）.又因?yàn)閗＞0，所以直線AB的斜率為這樣用Z教師的方法就算出了答案.事實(shí)上，若設(shè)直線AB的方程為x=my+，其中m為直線AB的斜率的倒數(shù).再聯(lián)立直線AB和橢圓的方程，計算量要比Z老師的方法要小一些.

評析：與Z老師的設(shè)直線方程法相比，H老師的向量法計算量要小一些，我們通過演算得到方程組⑥的解為，即A所以直線AB的斜率kAB=kAF=，從而得出答案.H老師出現(xiàn)了一個計算的錯誤，并且發(fā)現(xiàn)結(jié)果有問題，所以才向C老師請教的.

圖1

C教師：我是借助圓錐曲線的統(tǒng)一定義，然后再構(gòu)造直角三角形來做，可以口算出來.如圖1，過A，B兩點(diǎn)向右準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為D，C，再過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H.不妨設(shè)AF=1，由BF=2AF，得BF=2，AB=3，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，知，所以AD=，同理BC=2，所以BH=，AH=.得tan∠ABH=，從而得直線AB的斜率.

評析：C老師的解法借助平面幾何的知識（構(gòu)造了直角三角形）和圓錐曲線的統(tǒng)一定義，極大地簡化了計算量，其中還采用了“不妨設(shè)AF=1”，用小量表示大量的技巧，所以可以快速口算出.

T教師（筆者）：我想到過焦點(diǎn)之弦，極坐標(biāo)為宜.所以我是用極坐標(biāo)做的，以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ=.不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，記直線AB的傾斜角為，由BF=2AF，得.又由橢圓的離心率為，解得cosθ=，所以得tanθ=，即直線AB的斜率為

評析：極坐標(biāo)方程解決圓錐曲線與焦點(diǎn)有關(guān)的弦長問題時，頗有優(yōu)勢，T教師和C老師的解法都避免了橢圓方程中參數(shù)a的干擾，簡化了運(yùn)算.

筆者在會后又得出另一解法，過已知點(diǎn)直線，可以借幫助直線參數(shù)方程中t的幾何意義處理，為減少運(yùn)算量，不妨設(shè)a=2，得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），直線AB的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），其中θ為直線AB的傾斜角.代入橢圓方程整理得（cos2θ+2sin2θ）t2+2cosθ·t-2=0，由韋達(dá)定理及BF=2AF，知t2=-2t1，t1·t2=，消去t1，t2得tan2θ=.又因?yàn)橹本€AB的斜率大于0，所以tanθ=，得解.

評析：過已知點(diǎn)直線有關(guān)線段長度問題，可以借助直線參數(shù)方程中t的幾何意義去處理，但這種方法會涉及三角計算，有時會有一定的計算量，上述五種方法比較來看，C老師的平面幾何結(jié)合圓錐曲線統(tǒng)一定義法與T教師的極坐標(biāo)方程法較為簡捷.

三、幾點(diǎn)思考

1.解題方法的選擇總是基于解題者已有的知識結(jié)構(gòu)

擁有不同的知識結(jié)構(gòu)，會選擇不同的方法，特別是對于方法多樣的問題尤為如此.Z老師和H老師一直教文科，對理科的極坐標(biāo)方程法和直線的參數(shù)方程法不熟悉，自然不易想到，或即使想到，因?yàn)槿鄙俅朔N方法的解題經(jīng)驗(yàn)，也不敢在時間緊張的時候使用.學(xué)生在高三復(fù)習(xí)階段更是如此，很少有學(xué)生愿意在一道題目上耗大量的時間思考.C老師有幾年初中數(shù)學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，特別擅長平面幾何，所以在解題時，他更容易想到借助平面幾何簡化運(yùn)算.T老師剛教過一輪理科，對理科的極坐標(biāo)方程法和直線的參數(shù)方程法應(yīng)于解決解析幾何問題情有獨(dú)鐘.教師對解題方法的選擇是基于自己的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)生自然也是如此.

2.切實(shí)提高教師自身的解題、研題能力

《孟子·盡心下》中說“賢者以其昭昭，使人昭昭.”要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解題，必然要求教師對題目有深入的理解，有較強(qiáng)的解題、研題能力.古人云，打鐵還需自身硬，我們無法交給別人自己沒有的東西.若教師的解法少，甚至只是看看參考答案，不進(jìn)行獨(dú)立的解題活動，研題能力不強(qiáng)，勢必導(dǎo)致解題教學(xué)時捉襟見肘.文科教師懂得一些理科的方法，對深化自己對學(xué)科知識的理解，預(yù)見解題方向會有一定的幫助.教師獨(dú)立解題經(jīng)驗(yàn)越豐富，解法越多樣，研題越深刻，在解題教學(xué)中，越能信手拈來，騰出更多的時間和精力關(guān)注到學(xué)生，進(jìn)行教學(xué)藝術(shù)處理.

3.教解題要考慮學(xué)生的實(shí)際狀況

H老師和Z老師的解題方法是不少文科學(xué)生“想得到”、“下不去”、“易出錯”的方法，學(xué)生的真正困難在哪里？（看著目標(biāo)消元與解方程組）教師要深入研究，爭取給予學(xué)生必要的指導(dǎo)，幫助學(xué)生走出計算繁雜的泥潭.切不可置學(xué)生的真困難于不顧，另辟“蹊徑”，教給學(xué)生新方法.否則，教師的新方法無法融入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，學(xué)生的解題能力無法得到有效提升.

4.尋求“通法”和“巧法”的平衡

用代數(shù)的方法解決幾何問題（幾何問題代數(shù)化）是求解析幾何問題的通法，如本文中H老師和Z老師的解法和筆者借助橢圓極坐標(biāo)方程的方法.借助平面幾何的知識求解析幾何看似是巧法，如C老師的解法.但在求解析幾何問題時，采用純代數(shù)化的方法，有時會出現(xiàn)，理論上是對，但由于計算繁雜，耗時，導(dǎo)致中途出錯，無法求出最終結(jié)果的情形.這就需要通法與巧法的平衡，既要關(guān)注通法，也不忽視巧法，實(shí)際上巧法在某種意義下也是通法，只是這種方法在某種情景下使用的頻率少一些罷了.Z老師的解法中就需要加入一些“巧法”（如，估計a不會影響k的值，對a取特殊值，看著目標(biāo)消元，設(shè)直線AB的方程為x=my+等），否則計算就難以到底.C老師的“巧法”借助平面幾何知識（“巧法”）和圓錐曲線的第二定義，和T老師的“焦點(diǎn)之弦，極坐標(biāo)為宜”（也是“巧法”）簡化了計算.教師在解題中，要尋求“通法”和“巧法”的平衡.

5.注重新課教學(xué)的縱橫交錯

新課教學(xué)，切莫忽視用新方法解決老問題，這也是智慧發(fā)展的渠道之一.事實(shí)上，較少教師（即使是理科教師）采用橢圓極坐標(biāo)方程法、直線參數(shù)方程法解題.不少教師在選修4-4極坐標(biāo)和參數(shù)方程教學(xué)時，認(rèn)為只需讓學(xué)生學(xué)會參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，會把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程問題化為普通直角方程解決就可以了，淡化了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程在研究解析幾何問題中的作用，未能注意知識間的縱橫聯(lián)系，缺乏用新方法解決舊問題的意識，約束了學(xué)生解題時的思維觸角.

四、結(jié)束語

做好解題教學(xué)，首先要求教師有較高的解題能力，需要老師勤于解題、研題，提高自己的解題功力，深化對數(shù)學(xué)學(xué)科的理解和掌握，肚子里要有貨.好的解題教學(xué)，更要契合學(xué)生的實(shí)際情況，能和學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)搭上橋，還要考慮學(xué)生的情緒和情感狀態(tài)，要“貼地”而行，接上學(xué)生的“地氣”.好的解題教學(xué)，還要尋求恰當(dāng)?shù)姆绞奖ＷC教學(xué)渠道的暢通、有趣、積極、高效，這需要教師在解題教學(xué)過程中“各顯神通”，進(jìn)行藝術(shù)的處理.F