數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要尋根探源
——由一道競賽題說起

☉廣東省開平市開僑中學(xué) 陳 晨

數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要尋根探源
——由一道競賽題說起

☉廣東省開平市開僑中學(xué) 陳 晨

一、背景

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的高效和有效是教師教學(xué)最核心的教學(xué)內(nèi)容.在新課程理念引入到教學(xué)之后，我們常?？吹礁鞣N層出不窮的全新教學(xué)方式方法，有很多教學(xué)模式圍繞學(xué)生進(jìn)行了設(shè)計和嘗試，是非常值得我們學(xué)習(xí)和探索的，比如以積極建構(gòu)為主的數(shù)學(xué)新知類教學(xué)模式、以馬登變式理論構(gòu)建的變式教學(xué)復(fù)習(xí)模式、以APOS理論進(jìn)行的知識探索類教學(xué)模式等，都是有較大的借鑒意義.隨著新課程理念的不斷深入，在高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)中，我們對新課程如何更好更妙的實施教學(xué)高效性和有效性，在認(rèn)識方面并不足夠.筆者常常出去觀摩高三解題教學(xué)公開課，發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分教師仍舊以傳統(tǒng)教學(xué)中效率低下的大訓(xùn)練模式在進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，例如，隨意從教輔資料中找四個毫不相關(guān)的問題，最后是給出四個訓(xùn)練問題.試問：這樣的教學(xué)模式從量來說的確不少，但是不相干的知識解答和無聯(lián)系的知識運(yùn)用，乃至非常緊張的課堂只會給學(xué)生匆匆的感覺，這樣的方式比較低下.

因此，筆者認(rèn)為解題教學(xué)的模式需要改一改才能適應(yīng)新課程理念.因此，以題根為本的根本教學(xué)法成為解題教學(xué)高效和有效的根源.“根本”教學(xué)法就是以數(shù)學(xué)題根和學(xué)生為根本，開展數(shù)學(xué)教學(xué)，把時間還給學(xué)生，引導(dǎo)幫助學(xué)生去探究，為學(xué)生未來發(fā)展奠定基礎(chǔ)的一種教學(xué)方法.筆者以這一模式設(shè)計了一堂高三復(fù)習(xí)課，從教學(xué)設(shè)計的技術(shù)層面上看，突破了“復(fù)習(xí)知識、綜合應(yīng)用”的常規(guī)模式，依托一道高考題，通過“尋根之旅——題由根生——并蒂連理——開枝散葉——枝繁葉茂——追根溯源”在探究與思考中提出問題，在合作與交流中解決問題.其課堂的形式是開放的，學(xué)生的思維可以自由馳騁，合作交流可以非常熱烈，在交流中師生可以不分彼此，是相互平等的.同時，師生的各自任務(wù)又非常明確：教師是課堂的組織者、引導(dǎo)者、合作者和促進(jìn)者，而學(xué)生是問題提出者、又是解決者.在這樣的課堂里，學(xué)生收獲的不單純是數(shù)學(xué)知識，更重要的是豐富了經(jīng)驗、增長了智慧.筆者通過研究第26屆“希望杯”高一年級1試第19題，發(fā)現(xiàn)該題與課本中的一道習(xí)題如出一轍，于是從根本上對此題作了較為深入的探究.

二、題目

試題在平面直角坐標(biāo)系中，過點P（m，n）（m≠0，n≠0）的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是定值M，則這樣的直線可能有______條.

該題由蘇教版必修2第二章復(fù)習(xí)題5改編得到，原題如下：

原題已知直線l經(jīng)過點P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5個平方單位，求直線l的方程.

分析由直線l經(jīng)過定點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為一常數(shù)，很自然會想到直線方程的截距式

2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

變式1直線l經(jīng)過點P（5，4）且與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)△AOB面積最小時，求直線l的方程.

分析：該題是將原題的條件強(qiáng)化，仍然求截得的三角形面積，可以仿照上題設(shè)截距式方程，由題意知，斜率一定存在且為負(fù)，故也可以設(shè)點斜式方程.

解法2設(shè)直線l的方程為y-4=k（x-5）（k＜0），△AOB的面積為S，所以直線與x軸正半軸的交點為A直線與y軸正半軸的交點為B（0，4-5k）.

兩種解法雖然設(shè)的方程的形式不一樣，但是在求最值時都用到了基本不等式，可謂殊途同歸.

變式2直線l經(jīng)過點P（m，n）（m＞0，n＞0）與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)△AOB面積最小時，求直線l的方程.

分析：該題是將原題面積特別化，同時將定點一般化，但問題的本質(zhì)一致.

不難驗證，過點P（m，n）（m≠0，n≠0）的直線l在點P所在象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值和此時的直線方程有類似結(jié)果，于是就有如下結(jié)論.

結(jié)論1已知不在坐標(biāo)軸上的任一點P（m，n），（mn≠0），則直線l過點P，且在點P所在象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小值為Smin=2|mn|，此時直線l的方程為nx+my-2mn=0.

下面來看第26屆“希望杯”高一年級1試第19題：

解：設(shè)直線l的方程為y-n=k（x-m），與x軸和y軸分別交于A，B兩點，△AOB的面積為M，不妨設(shè)m＞0，n＞0.

由結(jié)論1知，直線l與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積的最小值為Smin=2mn.

（1）當(dāng)M＜2mn時，不存在與x軸正半軸和y軸正半軸都相交且與圍成的三角形的面積是定值M的直線，從而k＞0.所以-（n-km）=M，即m2k2-2（mn+M）k+ n2=0，

Δ=4（mn+M）2-4m2n2=4M（M+2mn）＞0，此時k有兩解，即符合條件的直線有兩條，分別與x軸正半軸和y軸負(fù)半軸相交或與x軸負(fù)半軸和y軸正半軸相交.

（2）當(dāng)M=2mn時，除了（1）中的兩條，由結(jié)論1知，nx+ my-2mn=0符合題意，此時符合條件的直線有3條.

（3）當(dāng)M＞2mn時，直線與x軸正半軸和y軸正半軸都相交，即k＜0，

Δ=4（M-mn）2-4m2n2=4M（M-2mn）＞0，此時k有兩解，即直線與x軸正半軸和y軸正半軸都相交的直線有兩條，結(jié)合（1），此時符合條件的直線有4條.

結(jié)論2在平面直角坐標(biāo)系中，過點P（m，n）（m≠0，n≠0）的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是定值M，則當(dāng)M＜2mn時，這樣的直線有2條；當(dāng)M=2mn時，這樣的直線有3條；當(dāng)M＞2mn時，這樣的直線有4條.

變式3已知直線l過點P（2，1），且與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，求△ABO的周長的最小值及此時直線l的方程.

分析：求最值的常用方法有運(yùn)用代數(shù)方法結(jié)合判別式、三角和導(dǎo)數(shù)，下面兩種解法都是圍繞著如何簡潔地表示出斜邊的長度而展開.

所以a2+b2=（z-a-b）2，化簡得z2-2az-2bz+4b+2a=0.（2）

將（1）式代入（2）式得到關(guān)于b的方程（4-2z）b2+（z2-2z）b-z2=0.（3）

由于（3）式肯定有解，所以Δ≥0，

Δ=（z2-2z）2+4z2（4-2z）=z2（z2-12z+20）=z2（z-2）（z-10）≥0，

顯然，z＞2，所以z≥10，即△ABO的周長的最小值是10.

解法2：設(shè)AB=c，∠BAO=θ，△ABO的周長為z，則OA=ccosθ，OB=csinθ.

所以4（1-cos2θ）3=（cos3θ+3cos2θ-2）2，

化簡，得5cos3θ+6cos2θ-3cos θ-4=5cos2θ（cos θ+1）+（cosθ+1）（cosθ-4）

=5（cosθ-4）（cosθ+1）2=0，所以

此時△ABO的周長的最小值是10，直線l的方程是3x+4y-10=0.

高考和競賽中很多試題來源于課本，是課本中試題的變形提煉，平時只要多留心，勤思考，善變通，擅總結(jié)，人人都是命題大師，解題高手.

三、幾點反思

解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，可以說數(shù)學(xué)課上幾乎每節(jié)課都涉及解題教學(xué)，例題的講解是解題教學(xué)，探究一個問題的解答更是解題教學(xué)，無論是對數(shù)學(xué)概念、定理、公理、法則、性質(zhì)的考查，還是過程方法的探究最終都要落實到解題上.解題教學(xué)最終還是為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，所以解題教學(xué)課，我們應(yīng)該做到以下幾點：

1.讓學(xué)生學(xué)會審題

審題是解題的基礎(chǔ)，只有認(rèn)真審題，正確理解題意，才能正確迅速解題.審題也是一種能力，是閱讀理解、識文斷字等綜合能力的反映.審題需要嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的態(tài)度，還要掌握常用的審題方法：讀題，題目中的關(guān)鍵詞，數(shù)學(xué)式子中的字母數(shù)字，圖形中的點、線、面、角，挖掘題目中的隱含條件.看清題目的條件，條件是解題的主要信息，充分挖掘條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必由之路.要看清題目中數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)，某些問題一直的數(shù)式結(jié)構(gòu)中常常隱含著某特殊的關(guān)系，要對數(shù)式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析、加工和轉(zhuǎn)化，以達(dá)到解決問題的目的.例如，函數(shù)f（x）=sin x-2cosx，就是三角函數(shù)中的一個常見式子：acosα+bsinα，而學(xué)生都知道acosα+bsinα可化為sin（α+φ）的形式，這樣不僅求出了（fx）=sin x-2cos x的最大值，而還能求出何時取得最大值.這樣，問題就迎刃而解了.同時還要注意看清題目中的數(shù)值、圖形的特點、字母的范圍等要素，以防低級錯誤的發(fā)生.

2.讓學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化化歸

轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想.數(shù)學(xué)中絕大部分問題都可以通過轉(zhuǎn)化為已知問題獲得解決.解決數(shù)學(xué)問題的過程其實就是一步步轉(zhuǎn)化的過程.化歸思想就是指人們將待解決的或難以解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解答的一種手段和方法.我們經(jīng)常說“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”就是這個道理.如題Ⅰ“設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)（fx）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=___________.”學(xué)生一開始看到這樣的表述可能有點懵，但轉(zhuǎn)化為“sin θ-2cos θ=”以后求“cosθ”就是三角函數(shù)中“給值求值”的問題，而三角函數(shù)中“給值求值”問題的解法很多，這樣就為學(xué)生提供了多種解決問題的途徑.這樣轉(zhuǎn)化后問題就簡單了很多.從較難題的解答，我們可以體會到轉(zhuǎn)化化歸在解決數(shù)學(xué)問題中的益處，且數(shù)學(xué)解題離不開轉(zhuǎn)化與化歸.所以，解題教學(xué)課中要時刻體驗轉(zhuǎn)化化歸，將轉(zhuǎn)化化歸內(nèi)化為一種解題的習(xí)慣，進(jìn)而上升為能力.

3.讓學(xué)生學(xué)會通性通法

筆者認(rèn)為，解題教學(xué)課必須立足于“基本套路”，解題方法應(yīng)立足于“通性通法”.這里的“通性通法”是相對于“巧方妙法”而言的.作為數(shù)學(xué)教師，我們進(jìn)行解題教學(xué)的一項重要而根本的任務(wù)就是通過自己的教學(xué)使學(xué)生在高考時取得理想的成績（當(dāng)然，這種說法有點功利，但現(xiàn)實情況確實如此）.幾乎每年的高考數(shù)學(xué)試卷都很注重“通性通法”的考查，那些“巧方妙法”用得很少，就算是有些題目能用“巧方妙法”解決的也一定能用“通性通法”解決.所以，我們平時的解題教學(xué)課應(yīng)該注重“通性通法”的教學(xué).同時，“一題多解”也要見機(jī)行事，一道問題的解法并不是多多益善.有專家提醒：講解一道問題的解法若超過了三種，學(xué)生頭腦中對后面的解法就麻木了，甚至失去了對整道問題的興趣.如果是這樣的話，那我們還不如不講一種解法.并且也不是每道題都要去“一題多解”，而是應(yīng)該選擇適當(dāng)?shù)慕逃鯔C(jī)和適量的方法種數(shù).只有那種具有“普適性”的、“接地氣”的解法學(xué)生才會領(lǐng)情，才有參與的興趣和激情，才能將這些解題方法內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).也只有這樣，那種曲高和寡的現(xiàn)象才不會發(fā)生.

4.讓學(xué)生學(xué)會思維

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，解題教學(xué)應(yīng)教會學(xué)生數(shù)學(xué)思考.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教學(xué)專家B.A.奧加涅相指出：“思維和解題過程的密切聯(lián)系是公認(rèn)的.”心理學(xué)家O.K.吉霍米諾夫也指出：“在心理中，思維被看做是解題活動.雖然，思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過解題來實現(xiàn)的.”據(jù)此可認(rèn)為解題教學(xué)是解題活動的教學(xué)，而活動的本質(zhì)是解題思維的活動.所以，解題教學(xué)是對解題思路的分析活動，是對解題方法的感悟和思考，是對學(xué)生解題思維活動的調(diào)動與展開，是學(xué)生解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過程教學(xué).我們的解題教學(xué)課不僅要向?qū)W生暴露怎樣解題的思維過程，向?qū)W生展示為什么這樣解以及怎樣學(xué)會解的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的思維方法，讓學(xué)生的解題思維活動顯性化——即讓學(xué)生交流他們的思考過程.總之，解題教學(xué)就是要達(dá)到對學(xué)生的思維訓(xùn)練.

四、結(jié)束語

羅增儒教授曾說：“如果我們不算聰明，甚至還有點笨呢，那么上述歷程告訴我們，可以通過解題過程分析，自己學(xué)會聰明，自己學(xué)會解題，使數(shù)學(xué)解題和智力發(fā)展同行，解題教學(xué)應(yīng)該有‘學(xué)會聰明’這個環(huán)節(jié).”學(xué)生解題能力的提高不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的努力付出就能做好的.需要教師根據(jù)教學(xué)實際，堅持有目的、有計劃地進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會審題、學(xué)會化歸、學(xué)會思維、學(xué)會創(chuàng)新.讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，真正成為學(xué)習(xí)的主人，才能提高學(xué)生后續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最終讓學(xué)生終身受益.