高中數(shù)學“微教學”實踐與思考*

☉江蘇省高郵中學 黃桂君

高中數(shù)學“微教學”實踐與思考*

☉江蘇省高郵中學 黃桂君

一、關于“微教學”研究

各位同仁，給你上過課的老師有很多，你聽過、看過的公開課、競賽課、視頻錄像課等也不少.這些老師的教學行為、教學風格或多或少給你留下了某些印象.你自己也許已有多年的課堂生活體驗了，但你是否曾留意過，或者至今仍讓你印象深刻的一些微環(huán)節(jié)教學細節(jié)？比如課的導入方面的、概念講解方面的、解題方法方面的、活動設計方面的、多媒體使用方面的等等.

隨著新課程的深入推進，我們的教學研究已逐漸步入“微時代”.（與時俱進，有了微信、微博，也就產(chǎn)生了“微課”“微型課”“微講座”等）.

從教學準備的角度看，有確定目標、設計活動、設計評價、編寫方案等若干個“微準備”；從主要教學行為角度看，有呈示、對話、指導等“微行為”；從教學輔助角度看，有激發(fā)動機、技術應用、期望實現(xiàn)、營造氛圍等“微輔助”；從課堂管理角度看，有課堂問題的處理、預防等“微管理”等等.

開展對數(shù)學“微教學”的研究，其主要目的不在于驗證某種理論，而在于解決實際問題，提高教學效率，實現(xiàn)教學的內(nèi)在價值.研究的主要是數(shù)學教學問題，是自己教室里發(fā)生的問題，而不是某種教學理論的假設.我們關注的“微教學”研究是指教師本人在日常教學中親自解決問題，而不是讓教師把日常教學工作放在一邊，而去專門研究.

“見微知著”，教師通過小問題、小課題、小策略，反思自己的教育教學，不斷更新觀念、改進教學行為、刷新方式方法.開展“微教學”的研究不僅是教師個人的教學探索，更具合作意義的集體研究，從而促進教師專業(yè)化成長.

相信老師們各自的教育、教學之道（傳道授業(yè)解惑之道）是自己悟出來的而不是教或評選出來的，關鍵是要給大家正確的悟的機會.大家花大量時間參加各種培訓，經(jīng)歷各種課例、教育小故事、教學小案例等，旨在讓教師去正確地悟，僅此而已.

因為筆者缺乏或沒有這方面的理論（其實，所有的理論都是對教學實踐活動的一種解釋或描述，而且只是基于“某個”立場或視角回答教學實踐活動的基本問題）.有的僅是微教學實踐中的一些小案例、小故事與簡單體驗及感受.所以現(xiàn)在請你和我換一個角度來看“教學”，把教學的問題推到微小之處甚至原點來思考.

因為研究自然，都是每天遇到的真問題，切入口小可操作，能直接改進我們的教學，所以“微教學”研究簡便、可行、真實、有效（高效）！

二、“微環(huán)節(jié)教學”實踐案例選析

（一）必修1

關于函數(shù)的單調(diào)性，重點和難點都是怎樣用數(shù)學語言來刻畫函數(shù)單調(diào)性的定義！

圖形語言直觀刻畫——由左向右看呈上升或下降趨勢.

文字語言定性刻畫——函數(shù)的值隨著自變量的值增大而增大或減小.

（有時候定性還不夠，必須要定量.如某同學個子高，數(shù)學這次分數(shù)考得優(yōu)秀，那么多高算高？多少分算優(yōu)秀？）

符號語言定量刻畫——？

如提問學生能否由1＜2＜3＜…＜99＜100，f（1）＜f（2）＜f（3）＜…＜f（99）＜f（100），推出函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，100）上是遞增的嗎？為什么？（必須讓學生說，或讓學生畫圖演示）

教師提示：如若函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)“向下或向上拐了個彎呢？”.若進一步f（2）＜f（2.1）＜f（2.2）＜…＜f（2.9）＜f（3），或f（2）＜f（2.01）＜f（2.02）＜…＜f（2.09）＜f（2.1）……追問是否就可以了呢？那么如何確切地進行表述？

在引導學生得出“如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，若當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）……”定義前不要急于給出這樣的數(shù)學語言表述！然后一條接一條的應用講題目.因為這是學生第一次接觸，要讓學生真正領悟把握其實質！

定義的另一種表述：如果對于區(qū)間I內(nèi)任意兩個不同的值x1，x2，都有（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］＞0（＜0），那么就說y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增（減）函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)增（減）區(qū)間.（因為同號相乘（除）得正，異號相乘（除）得負?。?/p>

或微變：如果對于區(qū)間I內(nèi)任意兩個不同的值x1，x2，都有，那么就說y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增（減）函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)增（減）區(qū)間.

這里幾何意義比較明顯：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上圖像上任意兩點連線的斜率為正（負）！學習導數(shù)以后，就更暴露了數(shù)學的本質：導數(shù)（切線的斜率）大于（小于）零.

定義再探究：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上圖像上不存在兩個不同的點，使經(jīng)過這兩點的直線垂直于y軸?。ㄑ韵轮饩褪牵汉瘮?shù)y=f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性）

變式問題：

1212.令（構造一個新函數(shù)）φ（x）=（fx）-x2=-alnx-，則（*）等價于函數(shù)φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，即等價于?x∈（1，+∞），不等式恒成立，解得a≥-1.

因此，我們需要自然本質的數(shù)學教學，教學內(nèi)容要直觀化、本質化（多揭示數(shù)學本質——數(shù)學本質往往沒有寫在教材上，需要我們自己去體會和領悟），教學形式要自然簡單.其關鍵是教師如何將教材中數(shù)學知識的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)，以促進學生的數(shù)學理解、提高學生的數(shù)學能力和提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

（二）必修2

從平時的練習、檢測中，總發(fā)現(xiàn)線面平行的判定定理、性質定理，面面垂直的性質定理有“漏洞”，感受教學不到位.

例如，如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，求證：BD1∥平面DEC1.

思路1：BD1∥OE（O=DC1∩CD1，構建三角形中位線，可稱為“中心投影”法）.

教師出現(xiàn)思維定式，往往就此結束！其實你如果給時間讓學生去根據(jù)“要證線面平行只要轉化證線線平行，或轉化為證面面平行”思考，會出現(xiàn)多種證法.

思路2：BD1∥DG（G= B1B∩C1E）.

思路3：BD1∥C1H（H= AB∩DE）.

（以上構建平行四邊形，可稱為“平行投影”法）

圖1

思路4：教師先要求學生判斷平面DEC1與平面BE1D1的位置關系，其中E1為B1C1的中點，可轉化為證面面平行.

思路5：向量法：（1）用“基底”推證；（2）建立空間直角坐標系，用坐標算證.

微變：F是CC1的中點，試問是否存在一點E∈BC，使BD1∥平面DEF？說明理由.（除建立空間直角坐標系探究證明外）

要提問學生題設告訴我們線面平行，會帶來怎樣的信息？選擇直線BD1外哪一個點由它們所確定的平面與已知平面相交？（這是線面平行的性質定理的運用，是難點也是關鍵點）

再變：H是BD上的點，平面CD1H⊥平面BB1D1D，求證：CH⊥BD.

即下面的問題：

如圖2，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：AB⊥BC.

圖2

很多學生感覺到是垂直，就是不知如何證明，無從下手（這是面面垂直性質定理運用的難點、關鍵點）.教師同樣要引導學生動腦筋：題設告訴我們面面垂直，帶來了怎樣的信息？哪一個平面內(nèi)有直線垂直于它們的交線？不確定或沒有的怎么辦？這時就自然想到要添加一條輔助線.問題突破并迅速解決.課堂上可以很好地調(diào)動學生的積極性，指導學生學習！參見文［11］.

教學定位要準確！

（三）必修3

筆者作為江蘇人民教育家首批培養(yǎng)對象，2012年5月18日在“牽手農(nóng)村教育”活動中，在濱海中學為全縣高中數(shù)學老師開了一節(jié)新授課《簡單隨機抽樣》.通過設計與濱海當?shù)赜嘘P的4個情境3個小問題，說明抽樣的必要性和重要性；引導學生自己得出抽簽法并通過抽簽的方法自己動手制作隨機數(shù)表，幫助學生理解其合理性及其微操作步驟等.取得了比較好的教學效果，受到上課學生的歡迎和聽課老師們的好評.詳見文［6］.

因為平常的就是美好的.所以自然的、平實的、簡約的課就是成功的、真實的、美好的課！

（四）必修4

《關于“三角函數(shù)的誘導公式”的教材和教學比較》就是一次微教學教研活動的收獲.雖然推導的關鍵都是根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義、兩對稱性點坐標間的關系，但在不同版本的教材（“一舊五新”教材：人教試驗修訂本，五種新課程版本如人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版等，參見文［14］～［19］）中卻有一些不同的微處理方法.如新課程蘇教版教材，它是先討論任意兩個角α與β的終邊具有某種對稱性時的三角函數(shù)之間的一般關系，然后用特殊角代入而得.許多老師在教授這個內(nèi)容時（主要是我們江蘇的教師），認為過去傳統(tǒng)的方法好如人教版教材等，直接明了簡單快捷！而蘇教版教材的處理則間接了點，增加了一部分基礎不夠好的學生學習理解的負擔.所以出現(xiàn)了“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象，甚至在一些公開示范課、優(yōu)秀課評選中仍然有這樣的現(xiàn)象.筆者雖有些同感，但也不完全贊同.

通過采取不同的教學策略——傳統(tǒng)的方法、部分新教材的方法等進行“同課異構（教）”，比較實踐的效果發(fā)現(xiàn)，沒有最好，只有哪一種方法更適合你所教的學生?。ㄟm合的才是最好的）或者整合得出并實踐新策略.詳見文［4］.

同樣，《用向量推證差角余弦公式的一個微環(huán)節(jié)教學》也是一次微教學實踐的案例.在引導學生用向量推導兩角差的余弦公式的過程中，遇到了一個教學“微環(huán)節(jié)”問題：如圖3，以Ox為始邊作角α，β，其終邊分別與單位圓交于P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），則向量sinα）與夾角是∠P1OP2=α-β嗎？為什么總有cos＜a，b＞=cos（α-β）？

圖3

通過與北師大版、湘教版、人教A版（2004年5月第1版和2007年2月第2版不一樣，后者又進行了改進）、人教版B版等比較，然后再教學實踐：一種方法側重于教師的教；一種方法側重于學生的學.自然直觀簡潔，學生滿足愉快，教學效果挺好！詳見文［5］.

（五）必修5

這里介紹一節(jié)“完整課”——3.4.1基本不等式的證明（蘇教版數(shù)學（必修5）詳見教材［18］）的微教學.

課本這節(jié)內(nèi)容簡介：基本不等式三種證明方法——比較法、分析法、綜合法；兩個例題——一是證明兩個不等式：（1）≥2（a＞0，b＞0）；二是求函數(shù)的最小值.

現(xiàn)實是有不少老師照本宣科，很快把教學內(nèi)容講結束，然后就一條接著一條地講題目，其跨度和難度都比較大，如都用上了證明題：已知a，b，c＞0，a+b+c=1，求證；在求函數(shù)的最值時不停地強調(diào)“一正、二定、三等（甚至‘四同’）”并在如何變形上大做文章等.

其實在很多微環(huán)節(jié)上，讓學生探究的內(nèi)容很多，如：關于情境（僅供參考）：

（2）從幾何角度導入（解釋）：

①a2+b2≥4ab=2ab（將邊長為a，b的四個全等的直角三角形拼成一個以其斜邊為邊長的正方形，則正方形的面積不小于四個直角三角形的面積和）；

③圓中：半弦小于等于半徑（若圓的直徑為a+b，則其一個半弦為

（3）從代數(shù)角度解釋：①兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)；

②兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

關于證明（基于蘇教版教材的安排）：

三種證明方法中，比較法較自然！學生易于理解.接下來怎么過渡到分析法和綜合法上來呢？雖然從廣義上說做什么事情都需要分析，但是數(shù)學上的分析法是什么？怎么表述和規(guī)范書寫？實際教學中發(fā)現(xiàn)許多老師引入很生硬：強加于學生“執(zhí)果索因”，其實，絕大多數(shù)的學生是被動接受的.

至于綜合法只需說明一下，就是我們平常已經(jīng)不知不覺地采用了的方法，如幾何證明、一些代數(shù)證明等，先在草稿紙上畫圖等分析，然后通過因為…，所以…，又因為…，所以…，“由因導果”直推到最后的結論.它是分析法的逆過程.

關于例題：

講例1證明的時候，應隨學生的便，不要要求學生一下子到位——用公式！先讓學生動手做，再強調(diào)用基本不等式簡單.因為學生剛接觸證明不等式≥2（a＞0， b＞0）≥2（a＞0）時，并非都想到運用基本不等式進行綜合證明，事實上大多數(shù)學生用分析法或作差比較等.巡視、板演、投影會看到真實情況（分析法較多，因為被你剛才強加過），甚至有學生用“反證法”等：“假定≥2成立”……（只要你真的是想從學生處得到他們的想法、證法，可以說五花八門的奇葩方法將都會遇到）.

這里就關于“一正（已知）、二定（創(chuàng)造）、三等（可以）”中的“二定”談點教學想法.

不能說學生這樣做一無是處！事實上僅僅是最后下的結論不正確，前面都是正確的（你說哪兒錯了？）.

可啟發(fā)學生，根據(jù)例1先改編出一個引例：已知x＞0，求函數(shù)的最小值.

只有這樣，學生才會對所謂的“一正（已知）、二定（創(chuàng)造）、三等（可以）！”有深刻的理解、強烈的印象！從而掌握得更牢固.

重結果，也要重過程！講推理，更要講道理！

本節(jié)課問題交流：

（1）如果學生預習過，再引導他們有哪些證明方法？你以為如何？有的公開課上讓學生上黑板板演，但給人看似抄寫！為什么不用投影？而大多板演的同課本證明書寫差不多，這又能說明多大問題呢？有什么意義？

筆者以為概念性強且概念較多的課、實際應用問題課、習題講評課等可要求學生提前預習一下；而有“創(chuàng)造性、探究性、規(guī)律性”等內(nèi)容的課就不應要求學生預習.我一般不提倡預習，甚至反對數(shù)學新授課要求學生預習.因為這些知識預習后就失去了探究的意義，不利于學生探究能力和問題意識的培養(yǎng)，否則就有不少時間是在做秀.然而現(xiàn)在強調(diào)課前預習大行其道，如編寫所謂的導學案、教學案，甚至要求課前預習的還要批改，將傳統(tǒng)的做法丟得一干二凈.教學貴在簡單、貴在有效！

還有的老師又是走另一個極端：就書論書，直接呈現(xiàn)三種方法（指出這樣的證明方法就叫分析法……）；有的干脆讓學生看書有哪些證明方法.這是典型的“教教材”.當然，不能說這一點都沒有用！

（2）關于“分析法”的導入，你們覺得哪樣好呢？（回答上述問題）可選用如下問題試試：①已知a＞0，b＞0，求證；②已知a＞1，求證；③求證；④從學生的板演“假定≥2成立”……中訂正、修改、完善、引入.

實際情況是，學生一般不會一上來就通過拼湊用公式進行綜合法，而是大多數(shù)用的是“分析法”（當然有不會的）.“逼”著學生學習一種新的證明方法，而不通過簡單的基本不等式介紹分析法證明（要讓學生覺得自然，有必要）.

這種想法和上面的微變式等都是在“用教材”.所以，貼近學生的知識經(jīng)驗與能力基礎，貼近學生的情感態(tài)度與思維狀態(tài)，追求樸實自然的課堂教學，才是教學的正道.

（六）選修2-1

關于教材例、習題的微教學：教材［20］2.3.1雙曲線的標準方程中的例2（2）“求a=2，經(jīng)過點A（2，-5），焦點在y軸上的雙曲線的標準方程”.

教材的出發(fā)點是好的，減輕學生的負擔，讓學生熟悉一下焦點在y軸上的雙曲線的標準方程及其簡單應用.事實上條件“焦點在y軸上”應該說是多余的.由于2＜所以雙曲線的焦點不可能在x軸上，或若焦點在x軸上，則由=1得b2＜0，這不可能.

又教材［13］4.8.3節(jié)例2：已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1和P2的坐標分別為（3，-4），，求雙曲線的標準方程.

這同樣是一道用待定系數(shù)法、通過解方程組求雙曲線標準方程的問題.因為求的是標準方程，且給出了既不關于坐標軸、也不關于原點對稱的兩個點的坐標，所以雙曲線及其方程是確定的，因而焦點在哪個軸上也是確定的.可優(yōu)化簡單處理如下：設所求雙曲線的標準方程為mx2-ny2=1（mn＞0）（無論焦點在哪個軸上），將點的坐標代入得故所求方程為=1，其焦點在y軸上.

本節(jié)后面的練習4第（3）小題中“焦點在x軸上”條件也是多余的.

要敢于質疑教材中的微問題！

解析幾何的精髓是：用代數(shù)手段研究幾何問題，因而一定的字母演算量是必不可少的（主要是以解方程（組）為主?。?，是其一個特色（當然還有分析探究及推理論證等）.事實上這是學生比較薄弱的地方，需要加強訓練.

下面摘錄筆者2014年10月在寶應中學開的一節(jié)教學視導指導課《解析幾何中解方程（組）的運算問題》中的一個微案例.詳見文［12］.

思路2：回避討論，設mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）.

兩種思路都是最基本的方法?。▽W生開始沒有想到思路2，還有點責備自己）

結果絕大多數(shù)學生將兩點的坐標代入mx2+ny2=1或=1（m＞0，n＞0，m≠n）不能自拔.機械地套用公式，缺乏具體問題具體分析！造成運算速度慢正確率低，甚至解不出（事實是很多學生都沒有做出來）.我們要注意這個運算的微教學！細節(jié)決定成??！于細微處見功夫！

（七）選修2-2

推理與證明是高中數(shù)學課程標準中的新增教學內(nèi)容，是對學生數(shù)學學習以來推理和證明的一次科學的概括和總結.但是在教到選修中的類比推理時，總覺得課本（如蘇教版新課程實驗教材、人教版A版新教材選修1-2或2-2等）上的例子較少，大多為傳統(tǒng)的等差與等比數(shù)列的類比或平面幾何與立體幾何的類比.筆者在2012年2月的一次公開課《類比推理》中，嘗試運用學生已經(jīng)學過的圓錐曲線中的數(shù)學實例，將其數(shù)學知識的“學術形態(tài)”轉化為“教育形態(tài)”作了一點微實踐.詳見文［8］.

橢圓、雙曲線、拋物線性質的類比推理：

已知拋物線y2=2px（p＞0），橢圓=1（a＞b＞0），雙曲線=1（a＞0，b＞0），如圖4~6，K為與焦點F對應的準線l與x軸的交點，AB為過焦點的垂直于x軸的弦（通徑）.

圖4

圖5

（1）在橢圓中求出直線KA的斜率，有什么特征？試類比在拋物線和雙曲線中直線KA的斜率又有何特征？

圖6

生②：由圓錐曲線定義可得kKA=tan∠AKF=（離心率）.

有趣的是，在拋物線和雙曲線中直線KA的斜率的值仍是離心率e.

（2）在拋物線中，已知∠AKB為直角，則在橢圓和雙曲線中∠AKB還為直角嗎？

生：tan∠AKF=e，由于橢圓的e∈（0，1），所以∠AKF＜45°，從而∠AKB=2∠AKF為銳角.同理雙曲線中∠AKB為鈍角.

（3）在拋物線中，已知直線KA與拋物線只有一個公共點A，則在橢圓和雙曲線中也有類似的性質嗎？選擇一個試試.

生：在橢圓和雙曲線中有相同的性質.在橢圓中由上可知直線KA的斜率是離心率e，則直線KA的方程為y= ex+a，代入b2x2+a2y2=a2b2，得x2+2cx+c2=0，Δ=0，x1=x2=-c，所以直線KA與橢圓只有一個公共點A.

2005年全國高考湖南卷就考查了其中橢圓的這一性質.

微變化：若AB為過焦點F的一般的弦，如圖7.

（4）試在拋物線中探索∠AKF與∠BKF的大小關系，并與橢圓和雙曲線類比，可得到怎樣的結論？

要求學生大膽猜測：無論是拋物線或橢圓或雙曲線，均有∠AKF=∠BKF成立.師生共同探究：

思路①由Rt△AA′K～Rt△BB′K可得；思路②由kAK+kBK=0可得（建議學生課后做一做，課堂上沒有推證）.

（5）如圖7，已知拋物線中，以過焦點F弦AB為直徑的圓與相應的準線相切（課本［20］習題），則在橢圓和雙曲線中也有相同的性質嗎？試試看.

圖7

生：由AB是特殊位置（通徑）時，根據(jù)（1）知，橢圓中AF＜KF，所以猜想以AB為直徑的圓與相應的準線相離；同樣雙曲線中AF＞KF，可猜想以AB為直徑的圓與相應的準線相交.

類比拋物線的幾何證明，結合用圓錐曲線的統(tǒng)一定義可簡單推導如下：在直角梯形ABB′A′中，AB的中點到準線l的距離由e的范圍即得猜想正確.

一點想法：這些較之一般的對解幾大題“難而繁”的考查要新穎、活潑，富有創(chuàng)意.然而現(xiàn)在的高考試題在這方面的嘗試比較少，希望能出現(xiàn)更多考查學生創(chuàng)新能力的試題.

（1）考察數(shù)陣：數(shù)陣中各數(shù)字之和為（1+2+…+n）n，對角線左側（含對角線上的數(shù)）各數(shù)之和為s2（n）（第i行各數(shù)之和為i2），對角線右側的各數(shù)之和（每一列先加）為1+（1+2）+…+［1+2+…+（n-1）］.

所以（1+2+…+n）n=s2（n）+1+（1+2）+…+［1+2+…+（n-1）］，即得s2（n）

微變化：因為n2=1+3+…+（2n-1），則下列數(shù)陣各數(shù)字之和為n2·n=n3，對角線左側（含對角線上的數(shù)）各數(shù)之和為s2（n）（第i行各數(shù)之和為i2），對角線右側的各數(shù)之和（每一列先加）為1×3+2×5+…+（n-1）×（2n-1）.

所以，n3=s2（n）+1×3+2×5+…+（n-1）×（2n-1）=s2（n）+［（2×12-3×1+1）+（2×22-3×2+1）+…+（2n2-3n+1）］=3s2（n）即得s2（n）.

（2）考察圖8：將單位正方體擺放在四棱錐S-ABCD（SD⊥底面ABCD正方形）內(nèi)部，共n層，第i層有i2個.因為四棱錐的體積又所有單位正方體的體積和為s2（n），正方體與四棱錐各個面之間的空白處的體積（自上而下的和）為所以由V=s2（n）+V′得s2（n）.以上詳見文［9］.

圖8

（3）考察等式：Sn=1·1·2+2·2·3+3·3·4+…+（n-1）·（n-1）·n+n·n·（n+1）.（1）

Sn=1·1·2+2·2·3+3·3·4+…+（n-1）·（n-1）·n+n·n·（n+1）.（2）

將兩式錯位相減得

0=2+（3·22-2）+（3·32-3）+…+（3·n2-n）-n2（n+1）.

所以3（12+22+…+32）=n2（n+1）+可得s2（n）.

教育對于學生意不在求專精，而在求旁通.重要的是使你和學生對本學科之外的東西有所見聞，養(yǎng)成一種全面的學科素養(yǎng)、文化氣質.

（八）選修2-3

關于學生講文明用語的一個微調(diào)查報告數(shù)據(jù)分析.詳見文［10］.

教育不是冰冷的，不是單軌的，不是機械的，她是溫文的，雙軌的，帶有濃濃人情味的.

（九）選修4-2

“開天窗”——我的微教學研究中的一個呈示環(huán)節(jié).參見文［2］.

關于矩陣與變換的本質：

原函數(shù)y=f（x）圖像新y′=g（x′）

原曲線f（x，y）=0新g（x′，y′）=0

“簡真課堂（簡約求真的課堂），啟智數(shù)學（啟迪智慧的數(shù)學）”，一直是我高中數(shù)學教學的探索與追求.

（十）高考微說

這是教學評價回避不了的話題，此略.可參見文［11］.

上述講述了我們老師自己的微案例，讓我們不斷地嘗試著“像專家一樣思考”.

三、“微教學”的思考

1.請你設想一下，如果安排你上一節(jié)課，你在上課前會想些什么？將作些什么樣的準備？

我自己的做法.（雖然不全是我自己總結出來的，但卻是自己一直自覺并堅持這樣做的，且在實踐中進行了補充）

基本上做到并堅持“三次備課”：

第一次備課（個人獨備）——擺進自我，不看任何參考書與文獻，全憑個人的見解準備方案；

第二次備課（集體備課）——廣泛涉獵，分類處理各種文獻、資料、同行的不同見解（我有他有，我無他有，我有他無）等后修改方案；

第三次備課（教學后記）——邊教邊改，在預設與上課的不同“微環(huán)節(jié)”中，記住困難（課堂各種生成）與順利之處，課后再“備課”改進.

“三個關注”：關注自我經(jīng)驗等、關注文獻資料等、關注課堂實際等.

備課中不足的就有目的自覺地彌補.不光如此，每節(jié)課的教案寫好以后，這節(jié)課的程序或有些難講的內(nèi)容還會在腦子里轉，常在上班的路上或小歇的時候等在頭腦里試講一下.每節(jié)課前還準備一小紙條簡案（“微型教案”）——上面有上節(jié)課作業(yè)中出現(xiàn)的典型問題與解決辦法、本節(jié)課流程、板書的設計和需要通過課堂實際檢驗關注的問題等.每節(jié)課都提前進教室，等到上課鈴聲響了，已經(jīng)在黑板右側一固定的地方寫上一點我認為對學生這堂課的學習有幫助的東西（已畢業(yè)的學生稱之為“開天窗”——我的微教學中的一個呈現(xiàn)（展示）環(huán)節(jié)）.每節(jié)課下來總是急切地記著點什么，如自己在教學實踐中琢磨出來的新思路，同行們在教學雜志上的新教法，學生們在作業(yè)中出現(xiàn)的新方法，都被不斷地補充到我的用紅、蘭、黑等不同顏色的筆記錄的如同不斷刷新的“網(wǎng)頁”的教案上.

關于教案.教師應該有自己個性化的教案（如今不僅只是電子稿，更要有手書的文本），從教多年的教師至少要能拿出一套像樣的教案.教學反思未必要寫在規(guī)定的位置如教案的最后，而最好是用不同顏色的筆寫在教案的各個角落，這才是真的.（與眾不同的“詳細教案”，是微教學的一個資源.）

2.每當我們回憶起自己的課堂體驗，或聽別人上課，往往會想到某某老師的課上得好，很喜歡聽他的課，某某老師的課上得不怎么樣，不愿意去聽.你能說說課上得好的老師有什么特點嗎？

是不是老師講課很生動，有條理，所展示的課件很有技術含量？也許就是這些教學行為吸引著你.正如一項研究所發(fā)現(xiàn)的那樣，教師使學生對課發(fā)生興趣的最重要的一個原因，就是他們善于采取多樣的教學行為.那么，怎樣運用這些教學行為才能吸引學生呢？上面我們在一些微環(huán)節(jié)方面探索過.

首先，教學內(nèi)容要合理定位，設計的問題不能偏多、偏難！否則你就自己一個人唱戲吧.要多了解、理解你的學生.

盡最大可能地通過直接教學策略與間接教學策略調(diào)動學生學習的積極性、發(fā)揮其主體作用！

數(shù)學是自然的、好玩的、清楚的、有用的，因此我們要多讓學生動手、動口、動腦體驗數(shù)學，在操作過程中“做數(shù)學”、在合作交流中“說數(shù)學”、在聯(lián)系實際中“用數(shù)學”.

“教，重要的在于聽”，要傾聽學生的需求，哪些需要教師講，哪些不需要老師講.學生有困難時你再去啟發(fā)，他“跌”倒了你再扶他.“學，重要的在于說”，就是要讓學生多在課堂中間說說，如果學生能用自己的話說出自己對于所學內(nèi)容的理解，說出思考，自己對哪些內(nèi)容還沒有學懂，說明他是真的學習了.

不要或不能總是把教變成目前的“煎、炒、烹、炸”.不要或不僅僅是把數(shù)學學習當成現(xiàn)在的聽、記、算、背.課堂要簡約、求真.

3.你是怎樣布置和處理學生的作業(yè)、練習呢？

在學生的書面表達中最能發(fā)現(xiàn)他們的智慧、閃光點，雖然課堂上的口答、板演、討論也能發(fā)現(xiàn)，但有限.

在課后讓學生做什么樣的習題，做多少才能達到精練高效，我傾注了很多時間.一般情況下總是根據(jù)教學內(nèi)容及課堂教學的實際靈活多樣（刪、換、改、添）的布置作業(yè).每次都能出現(xiàn)：去掉本節(jié)課學案后面作業(yè)（或配套資料××頁練習）中的××條、××條（以減輕學生的課業(yè)負擔）；將某一題的某個條件或某一題的某一小問改為……或將課上講的某一問題再增加一小問……（模仿和拓展培養(yǎng)學生的基本技能）等等.作業(yè)應是課堂問題的微變、拓展、鞏固！

我盡量做到少留作業(yè)，同比總是最少的，學生很喜歡，每次布置練習時，他們都會熱切地期待.

“呼喚所有學生共享數(shù)學思考的樂趣”這句話，一直深深地印在我的心底，“學生是人”，這一最神圣而又經(jīng)常被人們忘記的事實，在我思想中已經(jīng)化為一種文化自覺.若干年來，我一直用科學的思維訓練在踐行著“減負”的方針，我把我對數(shù)學的理解傳給了“人”而不是“機器”.

教育不能追求“高效”，立竿見影，制作快餐，而是需要教育本身的原味.

4.怎樣教得有效，怎樣教得更好或更有意思？

這是我們千萬次問的問題.教學即研究，研究才能教得更好，研究才能教得更有意思！“微教學”就是一種嘗試和實踐.讓我們通過微教學研究去感悟尋找答案吧！以上參見文［3］.

可是，目前高中數(shù)學教學還存在著如下一些微環(huán)節(jié)教學中的困惑：

（1）集體備課存在的問題.（2）數(shù)學課一定要預習嗎？（3）有教材，還需要每節(jié)課都編寫教學案或導學案嗎？（4）多開設一些常態(tài)、平實的數(shù)學公開課.（5）課堂教學互動中的誤區(qū).（6）關注課堂預設，關注多少課堂生成？（7）學生的自主探究要注意內(nèi)容和一個度.（8）數(shù)學教學的進度、難度問題.（9）如何科學、有效的組織、布置作業(yè)（練習）.（10）檢查考評（教學評價）等應去煩瑣化等.詳見文［7］.

實事求是地說，目前我們的數(shù)學教學存在許多急需改進的地方，教育要少一點外部干擾（各種考評指標等），少一點內(nèi)部折騰（今天學習這個經(jīng)驗、那個模式，明天又效仿另一現(xiàn)象、做法等等）.教育需要的不是花樣翻新與眼花繚亂，而是執(zhí)著的堅守與樸素的實踐！

因而我們?nèi)沃氐肋h！我們要講良心、負責任、增本領，團結協(xié)作，相互支持，要有擔當.工作要盡心、盡責、盡力，用力、用心、用情！

細節(jié)決定成敗！于細微處見功夫！成功就是將別人堅持不下去的事堅持做下去！夢想是要有的，萬一實現(xiàn)了呢？

微教學——位微不卑、課微不小、步微不慢、效微不薄.

教得有效，學得愉快（實在），考得滿意——這是教育的光榮與夢想，原與各位同仁共勉及與我們的學生一起圓夢！

1.崔允漷.有效教學［M］.上海：華師大出版社，2010年8月.

2.喻平.著名特級教師教學思想錄（蘇派教學·中學數(shù)學卷）［M］.南京：江蘇教育出版社，2012年1月.

3.黃桂君.慎教善導激趣啟智——呼喚所有學生共享數(shù)學思考的樂趣［J］.G312高中數(shù)學教與學，2015（6）.

4.黃桂君.關于“三角函數(shù)的誘導公式”的教材和教學比較［J］.G312高中數(shù)學教與學，2014（11）.

5.黃桂君.用向量推證差角余弦公式的一個微環(huán)節(jié)教學［J］.中學數(shù)學（上），2014（4）.

6.黃桂君.記新課程中“非重點”、“難講”內(nèi)容一節(jié)課的教學［J］.G312高中數(shù)學教與學，2013（7）.

7.黃桂君.關于高中數(shù)學教學現(xiàn)狀的反思與建議［J］.中學數(shù)學雜志，2012（11）.

8.黃桂君.圓錐曲線性質的類比——類比推理教學中的經(jīng)典案例［J］.數(shù)學通報，2012（8）.

9.黃桂君，徐春林.關于合情演繹推理的一個教學案例［J］.數(shù)學教學，2008（6）.

10.黃桂君，徐春林.記一節(jié)選修課‘獨立性檢驗’的教學［J］.數(shù)學教學研究，2012（1）.

11.黃桂君.2015年全國高考數(shù)學（江蘇卷）考試說明解讀及復習建議［J］.中學數(shù)學月刊，2015（4）.

12.黃桂君.解析幾何中解方程（組）的運算問題［J］.新高考（高三數(shù)學），2015（5-6）.

13.中學數(shù)學室編著.全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）［M］.北京：人民教育出版社，2000年12月.

14.中學數(shù)學室編著.全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第一冊（下）［M］.北京：人民教育出版社，2000年11月.

15.課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學4必修A版［M］.北京：人民教育出版社，2007年2月.

16.課程教材研究所中學數(shù)學教材實驗研究組編著.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學4必修B版［M］.北京：人民教育出版社，2004年9月.

17.課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4［M］.北京：北京師范大學出版社，2004年7月.

18.蘇教版新課程編寫組編寫.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學5（必修）［M］.南京：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F江蘇教育出版社，2007年6月.

19.湘教版新課程編寫組編寫.普通高中課程標準實驗教科書（必修）數(shù)學第二冊［M］.長沙：湖南教育出版社，2005年8月

20.蘇教版新課程編寫組編寫.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（選修2-1）［M］.鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F.江蘇教育出版社，2012年7月.

*本文是江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題“基于MPCK的高中數(shù)學教學策略研究”（R-c/2011/13）研究成果之一.