變式訓練是提高學生數(shù)學思維能力的有效途徑

☉廣東省云浮市云浮中學 趙 華

變式訓練是提高學生數(shù)學思維能力的有效途徑

☉廣東省云浮市云浮中學 趙 華

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中寫到“培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維能力是發(fā)展智力、全面培養(yǎng)數(shù)學能力的主要途徑，因此高中數(shù)學課程應(yīng)注意提高學生的數(shù)學思維能力，這也是數(shù)學教育的基本目標之一”.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》把提高數(shù)學思維能力作為十條基本理念之一.在數(shù)學教學中，變式訓練是一種傳統(tǒng)的、典型的提高學生思維能力的數(shù)學教學策略，是廣大數(shù)學教師在長期的教學工作中總結(jié)出來的一種行之有效的教學手段.所謂數(shù)學變式訓練，是在數(shù)學教學過程中對概念、公式、定理及問題等從不同角度、不同情形、不同層次做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，本質(zhì)特征卻保持不變.利用變式訓練，可以把一個孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成一個有規(guī)律可尋的系列，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解決類似問題的方法、思路，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，從而提高學生數(shù)學思維能力.從知識類型上區(qū)分，數(shù)學變式可分為概念定義變式、定理公式變式、習題變式三類，習題變式主要包括一題多用變式、一題多變變式、一題多解（證）變式和多題歸一（一法多用）變式.下面結(jié)合教學實踐談?wù)勗跀?shù)學教學中如何運用變式訓練，提高學生的數(shù)學思維能力做一些探討.

一、變式訓練可以增強學生的直覺思維能力

數(shù)學直覺思維是非邏輯思維的一類，它沒有完整的邏輯思維過程，迅速地對問題的答案作出直接設(shè)想、猜測或頓然領(lǐng)悟.著名數(shù)學家徐利治教授說過：數(shù)學直覺是達到對數(shù)學知識真正理解的重要途徑.只有這樣，才能使相應(yīng)的內(nèi)容在頭腦中成為“非常直接淺顯的”和“非常透徹明白的”，從而真正達到“真懂”或“徹悟”的境界.同時指出“數(shù)學直覺是于后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺也是不斷提高的”，也就是說數(shù)學直覺思維是可以通過訓練提高的.實踐證明，有效的變式訓練能夠培養(yǎng)學生的直覺思維能力.

例1求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于腰上的高.

已知：如圖1，在△ABC中，AB= AC，CD是AB邊上的高，P是BC邊上的一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.

圖1

求證：PE+PF=CD.

對上題進行如下變式：

變式1求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為定值.

變式2求證：等邊三角形邊上的任意一點到另外兩邊的距離之和為定值.

變式3求證：等邊三角形內(nèi)一點到三邊的距離之和為一定值.

變式4求證：等腰三角形底邊的延長線的一點到兩腰的距離之差是一定值.

幾何中的“定值”證明題具有較大的難度.依據(jù)例1的原型啟發(fā)、聯(lián)想，

運用直覺思維，猜測出變式1、2、3、4題中的“定值”可能是“腰上的高”，即使猜測得不對，還可以把“定值”的猜想范圍放寬到腰長、周長、底邊上的高等概念上，使證明具有了方向性和目的性.在以上各變式題中，基本圖形仍是等腰三角形，只是點的位置的變化.

二、變式訓練可以提高學生的抽象概括思維能力

抽象概括是思維的基礎(chǔ)，抽象是有層次的，逐步深入的.數(shù)學教學活動中，如果能根據(jù)學生思維發(fā)展水平，利用概念的逐級抽象概括過程，及時向?qū)W生提出高一層次的抽象任務(wù)，就能不斷提高學生的抽象思維能力.變式訓練的過程與抽象概括思維的過程基本一致，因為我們在實施變式訓練過程中必須遵循目的性原則和層次性原則，這樣我們才能有目的地逐層推進，以保證我們的變式得以順利進行.例如，在學習導數(shù)概念時，學生原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中沒有適當?shù)挠^念與微分相對應(yīng)，所以需要創(chuàng)設(shè)一個學生熟悉的實際情景以引進導數(shù)，進而引起對原有的函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)的擴張，形成導數(shù)的認知結(jié)構(gòu).人教版選修2-2教科書中，通過兩個具體的實例，通過計算平均變化率再利用極限而逐步抽象到瞬時變化率.例如，由平均速度到瞬時速度，在具體的教學中，可通過逐步變換問題，區(qū)分平均量與瞬時量的差異，以抓住導數(shù)概念的本質(zhì)特征，達到建立抽象概念——導數(shù)的目的.這樣可使學生感到引入導數(shù)概念是自然的、必要的、可行的.該方法既簡單又實用，它不僅有利于學生掌握數(shù)學知識，而且也有助于提高學生的抽象思維能力.

借助對問題非本質(zhì)特征的變化（甚至改變問題的結(jié)構(gòu)）而得到新問題的方法，符合數(shù)學變式教學的要求.變式的目的就是要讓學生在不斷變更問題情景或者改變思維角度的情況中，學會從中抽象出問題的本質(zhì)特征，并逐漸理解抽象的數(shù)學對象背后隱藏的深刻思想方法和實質(zhì).數(shù)學變式教學讓學生對問題解決的過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有較清晰的認識，使他們能夠在不斷變化的問題情境中積極思考，這些思考的過程正是學生形成抽象思維能力的過程.

三、變式訓練可以提高學生的發(fā)散思維能力

一般來說，數(shù)學上的新思想、新概念、新方法往往來源于發(fā)散思維，它是數(shù)學思維能力的一個重要方面，是培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力的重要環(huán)節(jié).發(fā)散思維需要從不同方面考慮解決問題的多種可能性，因而其富于聯(lián)想，思路開闊，善于分解、組合和引申推廣，善于采用各種變通方法.因此，變式訓練就成為培養(yǎng)學生發(fā)散思維的橋梁和紐帶.數(shù)學變式訓練中，可以通過一題多變或一題多解（證）變式來培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.

例2已知拋物線y2=2px，過其焦點F作斜率為k的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，求證

題干條件不變，進行如下變式：

變式1求證：y1y2=-p2.

四、變式訓練可以提高學生的逆向思維能力

逆向思維，就是按通常思維的相反方向思考問題的方法，也稱為反向思維.在思考數(shù)學問題時，順推不行時可以考慮逆推，直接解決不行時可以考慮間接解決，證明原命題困難時可以考慮證明它的等價命題，通常能起到化難為易的作用.在數(shù)學學習中，學生習慣于正向思維，往往忽視逆向思維，如習慣于公式定義、定理的正向運用，而拙于它們的逆向運用，故在教學中應(yīng)當注重這方面的訓練，可通過一題多變中的逆向變式等方式，來培養(yǎng)學生的逆向思維能力.在數(shù)學教學中，為了幫助學生從不同的角度理解有關(guān)知識要點，可以編制一些“反問題”來訓練學生的逆向思維能力.

五、變式訓可以提高學生的空間想象能力

一百多年前，恩格斯給數(shù)學下的定義是“研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”.所謂空間想象能力是人們對客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進行觀察、分析、認知的抽象思維能力，空間想象能力反映在：一是能否根據(jù)空間幾何形體或根據(jù)表述幾何形體的語言、符號，在大腦中正確想象其直觀圖.二是能否根據(jù)直觀圖，在大腦中展現(xiàn)出直觀圖表現(xiàn)的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進而能否不借助幾何直觀，對頭腦中已有的空間幾何形體進行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何形體，并正確分析其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.培養(yǎng)學生的空間想象力是數(shù)學教學的主要任務(wù)之一.辯證唯物主義認為，任何事物的變化發(fā)展都有其內(nèi)在規(guī)律，空間想象能力的提高也是如此，它是逐級向上的，即有明顯的層次性.數(shù)學教師只有把握好這一規(guī)律，并將它有機地滲透到教學實踐中去，有針對性地采取得當?shù)慕虒W方法和措施，才能有效地提高學生的空間想象能力.

學生空間想象能力的提高，有不同的途徑.可以采用如歸納、類比等方法，也可通過變式訓練的教學方式來實現(xiàn)，即通過對圖形進行分解、組合與變形，并向基本圖形轉(zhuǎn)化，或通過對問題本質(zhì)的探究，將其引申，變換為相關(guān)圖形而得到變式問題鏈，引導學生運用圖形的知識和空間想象來解決數(shù)學問題，從而培養(yǎng)學生的空間想象能力.

例4讓學生根據(jù)圖2正方體（設(shè)棱長為a），回答問題：在圖2中，求證：AC1⊥B1D1，在變式圖3中，A1C和AB1有類似結(jié)論嗎？

圖2

圖3

根據(jù)這兩個結(jié)論，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

變式1在復合圖4中，你能分解出幾個標準（變式）這種基本圖形？并求證：A1C⊥平面AB1D1

變式2在復合圖4中，連接BD，DC1，BC1，求證：平面AB1D1∥平面C1BD，并求這兩個平面的距離.

圖4

變式3在復合圖4中，連接AC和A1C1，求證：對角面ACC1A1⊥平面AB1D1.

需要指出的是，標準和變式圖形是相對的，如果把圖3當標準，那么圖2就是變式.但通常是把比較直觀、學生容易理解的圖形作為標準圖形講授新知識.至于復合圖形是指前兩者組合，或同以前學過的基本圖形的組合.標準和變式圖形是讓學生掌握基本知識技能，而復合圖形則是培養(yǎng)學生分解基本圖形的能力，為解決復雜問題奠定良好的基礎(chǔ).故三結(jié)合圖形的教學模式對任何水平學校都有指導意義.

綜上所述，在數(shù)學教學中應(yīng)用變式訓練教學手段，可引導學生多方位、多角度地思考問題，深入理解概念本質(zhì)，靈活運用定理公式，提高解題的應(yīng)變能力，能有提高養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，同時有利于促進學生創(chuàng)造性思維能力的不斷發(fā)展.

1.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.劉長春，張文娣.中學數(shù)學變式教學與能力培養(yǎng)［M］.濟南：山東教育出版社，2001.

3.趙曉楚，周愛東.如何在數(shù)學課堂中實施變式教學［J］.中小學教學研究.2007（5）.

4.蒲大勇，史可富.如何讓數(shù)學思想落地生根［J］.數(shù)學通報，2016（3）.

5.付佑珊，金寶錚.遷移原理與變式教學［J］.數(shù)學通報，2016（9）.