高中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的整體性把握

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 秦國(guó)清

高中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的整體性把握

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 秦國(guó)清

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的一種思維形式，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、法則的基礎(chǔ).而數(shù)學(xué)核心概念是其中最重要的一部分，準(zhǔn)確領(lǐng)悟核心概念是學(xué)生獲得系統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)的源泉，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.下面筆者結(jié)合自身高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，粗淺談?wù)勅绾握w把握好核心概念教學(xué).

一、認(rèn)清核心概念本身的二維呈現(xiàn)方式

1.對(duì)核心概念學(xué)習(xí)過(guò)程的認(rèn)識(shí)

在數(shù)學(xué)核心概念的認(rèn)知活動(dòng)中，學(xué)生從不能完整地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的定義，或?qū)Ω拍畹囊饬x含糊不清，到能記住概念的文字表述，對(duì)概念有感性的、初步的認(rèn)識(shí)；從通過(guò)回憶或再認(rèn)識(shí)，比較辨析相關(guān)概念，到理解該概念的本質(zhì)屬性；從該概念與其上位、下位概念的聯(lián)系與區(qū)別中明確概念所處的知識(shí)結(jié)構(gòu)的位置，到利用這些關(guān)系解決新的情景中的問(wèn)題.

上圖描述的是概念認(rèn)知的二維結(jié)構(gòu)定向模式.它以數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵與外延為出發(fā)點(diǎn).既有質(zhì)的規(guī)定，也有范圍的規(guī)定.橫軸代表理解概念的廣度，它是相對(duì)于概念所處的知識(shí)系統(tǒng)而言的，反映了從感知到概括本質(zhì)屬性的漸進(jìn)過(guò)程.縱軸代表理解深度，它反映主體將該概念運(yùn)用于不同數(shù)學(xué)情景的能力，體現(xiàn)為概括到應(yīng)用的漸進(jìn)過(guò)程.分析構(gòu)建概念的二維結(jié)構(gòu)模式，建立數(shù)學(xué)概念較為完整的結(jié)構(gòu)定向，是從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物的一條途徑.如果學(xué)生擁有構(gòu)建核心概念的結(jié)構(gòu)模式，將大大促進(jìn)知識(shí)的鞏固和遷移.

2.對(duì)核心概念本質(zhì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)核心概念貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，是數(shù)學(xué)核心知識(shí)的“控制中心”，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展中起著重要作用，是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要生長(zhǎng)點(diǎn).更重要的是它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，反映了探索自然現(xiàn)象和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的科學(xué)規(guī)律，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)需要逐步加深理解，體會(huì)并生發(fā)出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法策略.認(rèn)知數(shù)學(xué)核心概念最重要的不是過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的儲(chǔ)存，而是一旦需要這一概念時(shí)，能以可用的方式重新得到它.

以函數(shù)概念為例，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中的一條主線(xiàn).克萊因認(rèn)為，可以以函數(shù)概念和思想方法統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容.從數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵來(lái)看，函數(shù)是一個(gè)具體的數(shù)學(xué)核心概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)都是其下位概念，在對(duì)函數(shù)的下位概念展開(kāi)教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)從函數(shù)的定義本身出發(fā)來(lái)思考具體的函數(shù)情境，從而歸納得到具體的函數(shù)類(lèi)型.另外“函數(shù)”其定義本身就包含著從“變化”的觀(guān)點(diǎn)來(lái)考察數(shù)學(xué)對(duì)象，預(yù)示著數(shù)學(xué)思想方法從“不變”到“變”這么一種轉(zhuǎn)變，而這種轉(zhuǎn)變是通過(guò)具體的單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)性質(zhì)來(lái)展開(kāi)研究的.

當(dāng)然，函數(shù)概念作為本源概念，其所蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想方法肯定會(huì)滲透到整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程中去.例如，從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，數(shù)列可以看成一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式都可以看成n的函數(shù)，這樣許多數(shù)列問(wèn)題就可以通過(guò)函數(shù)的思想方法加以解決.解析幾何中對(duì)于圓錐曲線(xiàn)上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.凡是涉及最值、范圍等問(wèn)題都可以從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析，合理地選取參、變量，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的函數(shù)模型，即“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程.

函數(shù)核心概念的重要價(jià)值體現(xiàn)在這些廣泛的應(yīng)用中，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體設(shè)計(jì)中，突出了函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線(xiàn)性規(guī)劃、算法、實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，包括與概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量的聯(lián)系.用函數(shù)的思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).反過(guò)來(lái)，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的認(rèn)識(shí).正如布魯納所說(shuō)：“領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的光明之路.”

二、弄懂核心概念研究?jī)?nèi)容之間的整體聯(lián)系

任何系統(tǒng)都有結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)只有開(kāi)放，與外界有信息交換，才可能使結(jié)構(gòu)有序.數(shù)學(xué)核心概念也不例外.正如前面所提，數(shù)學(xué)核心概念作為一個(gè)本源概念時(shí)，它涉及豐富的下位概念；當(dāng)它蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想時(shí)，它所涉及的內(nèi)容將更為廣泛，有著不可或缺的指引作用；當(dāng)它預(yù)示著數(shù)學(xué)方法的重大變革時(shí)，主要體現(xiàn)在方法的應(yīng)用上.

具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)核心概念嵌入在完整的概念體系中，起著核心關(guān)鍵作用，廣泛地與其他的概念，甚至是其他核心概念聯(lián)系在一起，建構(gòu)起良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成完整有序的系統(tǒng).我們要弄懂核心概念研究?jī)?nèi)容之間的整體聯(lián)系，就要確定一定的概念體系，厘清數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò)，樹(shù)立“整體觀(guān)”和“系統(tǒng)觀(guān)”.

下面以三角函數(shù)與向量的關(guān)聯(lián)研究為起點(diǎn)進(jìn)行淺析.

初中教材是借助長(zhǎng)度比值開(kāi)始定義銳角三角函數(shù)的，形式上實(shí)現(xiàn)了長(zhǎng)度與角度的“互化”，這種觀(guān)點(diǎn)在解析幾何中也有涉及.而向量的概念是以方向和大小兩個(gè)要素為尺度展開(kāi)研究的.實(shí)際上方向與角度，大小與長(zhǎng)度是統(tǒng)一的.自從教材引進(jìn)坐標(biāo)系，任意角的三角函數(shù)得到推廣，向量也得以坐標(biāo)化，形式上實(shí)現(xiàn)了利用坐標(biāo)的維度來(lái)刻畫(huà)三角和向量，高中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著坐標(biāo)法這一重要的數(shù)學(xué)思想方法得以展示.

我們終于從思維科學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)與向量緊密聯(lián)系的緣由.它們作為聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，使數(shù)學(xué)研究從定性向定量深化.三角函數(shù)與向量的交匯，促成了向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)三位一體，使相關(guān)的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算；促成了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，明析了長(zhǎng)度與角度的轉(zhuǎn)化聯(lián)系；使直線(xiàn)斜率（傾斜角）、距離公式、曲線(xiàn)與方程等問(wèn)題的研究更趨于本質(zhì)化.特別指出的是，向量維度的基本定理轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系的基本定理，它們是解析幾何發(fā)明的本源之一.至此，“三角向量”作為數(shù)形轉(zhuǎn)化橋梁的核心作用躍然紙上.

正如張景中院士指出的那樣，數(shù)學(xué)核心概念與其他概念的聯(lián)系通常都是以一定的數(shù)學(xué)思想或方法聯(lián)系在一起的，以其反映的數(shù)學(xué)思想貫穿內(nèi)容體系，或標(biāo)志著數(shù)學(xué)方法的重大變革而使其在整個(gè)體系中起著核心關(guān)鍵作用.數(shù)形結(jié)合不但是探究數(shù)學(xué)的思想，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，其實(shí)也是數(shù)學(xué)命題的一種根據(jù)和來(lái)源，更應(yīng)是探索創(chuàng)新的的思維方式.

三、作好核心概念教學(xué)的整體性設(shè)計(jì)

章建躍博士指出，概念教學(xué)設(shè)計(jì)始終要把數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”目標(biāo)放在心上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、培育學(xué)生的理性精神.在進(jìn)行數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要突出其作為本源概念的“可生長(zhǎng)性”和蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法的“連貫性”.

筆者所在學(xué)校的數(shù)學(xué)集體備課特別強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)的“整體性設(shè)計(jì)”，下面以向量單元教學(xué)為例，重點(diǎn)闡述章節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)立意，整體規(guī)劃教學(xué)核心，實(shí)現(xiàn)教材編寫(xiě)意圖.

1.借助章頭課發(fā)揮先行組織者的作用

引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)的生成點(diǎn)，使得知識(shí)的學(xué)習(xí)尋到源頭，找到知識(shí)的根.我們清楚每一個(gè)核心概念的產(chǎn)生都有豐富的知識(shí)背景，從概念的本源出發(fā)，便于學(xué)生看清概念產(chǎn)生的過(guò)程，不會(huì)讓學(xué)生感到茫然，容易引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其具有的本質(zhì)屬性，概括出概念定義，進(jìn)而研究概念間的聯(lián)系，建立概念體系.如在向量章節(jié)的起始課中，筆者圍繞“在中學(xué)數(shù)學(xué)中為什么要引入向量？”這一問(wèn)題進(jìn)行滲透教學(xué).讓學(xué)生感受到：向量是代數(shù)的對(duì)象，向量是幾何的對(duì)象，向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然橋梁，向量具有豐富的物理背景，向量是重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用且簡(jiǎn)單易懂.

2.借助章中課發(fā)揮思維方法的威力

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，找到知識(shí)發(fā)展的枝干，使得知識(shí)的生長(zhǎng)、發(fā)展順其自然.如學(xué)生通過(guò)類(lèi)比的方法，研究向量運(yùn)算，加深和拓展了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解：運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容，運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線(xiàn)索；從數(shù)字運(yùn)算到字母運(yùn)算是運(yùn)算的一次跳躍，到向量運(yùn)算是運(yùn)算的又一次跳躍；向量的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)，讓其體會(huì)到數(shù)學(xué)運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用.

3.借助章尾課發(fā)揮數(shù)學(xué)方法論的力量

引導(dǎo)學(xué)生挖掘出知識(shí)的共生點(diǎn)，為知識(shí)提供養(yǎng)料.除了了解向量在物理等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的實(shí)際應(yīng)用外，我們更要關(guān)注向量概念的研究，為解三角形問(wèn)題（平面問(wèn)題）提供新的視角；為立體幾何中的位置關(guān)系提供了量化方法；在不等式構(gòu)造方面也有具體應(yīng)用，甚至其方法思想在“矩陣與變換”上也有引申.這正說(shuō)明，對(duì)于標(biāo)志數(shù)學(xué)方法重大轉(zhuǎn)變的概念，也應(yīng)該通過(guò)其在不同內(nèi)容的滲透貫穿來(lái)達(dá)到理解掌握的要求.

四、抓住學(xué)生學(xué)習(xí)核心概念時(shí)的認(rèn)知規(guī)律

在數(shù)學(xué)教學(xué)中要挖掘數(shù)學(xué)核心知識(shí)蘊(yùn)含的思維教育價(jià)值，加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，從“數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性”、“學(xué)生思維過(guò)程的合理性”兩個(gè)角度構(gòu)建學(xué)習(xí)過(guò)程.以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的概括抽象過(guò)程、應(yīng)用拓展過(guò)程，從中體會(huì)數(shù)學(xué)的研究方法.

1.找準(zhǔn)學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，鋪設(shè)領(lǐng)悟核心概念的臺(tái)階，激發(fā)成功

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.教師要準(zhǔn)確分析學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，了解學(xué)生的知識(shí)掌握及技能形成情況，要根據(jù)課時(shí)內(nèi)容，班級(jí)實(shí)際，新舊知之間的聯(lián)系設(shè)置教學(xué)起點(diǎn).核心概念教學(xué)要緊扣學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，找準(zhǔn)學(xué)生的“新知生長(zhǎng)點(diǎn)”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.特別要注意教學(xué)中為學(xué)生搭建理解的平臺(tái)，鋪設(shè)概括的路線(xiàn)和階梯，以幫助學(xué)生感悟核心概念的“本來(lái)面目”.

再以函數(shù)概念為例，首先選擇典型、豐富的實(shí)例.在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等各階段的教學(xué)中，都應(yīng)用好書(shū)中的例子，為學(xué)生提供思考、探究、交流的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在好例子的支持下開(kāi)展思維，形成函數(shù)概念理解活動(dòng)的強(qiáng)大背景支撐.其次注重表格和圖像作用.表格、函數(shù)圖像不僅是“表示法”的一種，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，它們使抽象的函數(shù)符號(hào)形象化，為學(xué)生提供了直觀(guān)的機(jī)會(huì).例如，圖像的種種形象和基本性質(zhì)使得學(xué)生直觀(guān)地“看到”、想象到函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等種種性質(zhì).另外，用函數(shù)圖像分析和解決問(wèn)題時(shí)體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合思想，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要載體.同時(shí)幫助學(xué)生更全面、深刻地領(lǐng)悟“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì).最后強(qiáng)調(diào)在思想方法上給予明確具體的指導(dǎo).中學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力、智慧水平尚在發(fā)展過(guò)程中，因此數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，一方面要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中獲得內(nèi)心感悟，另一方面還要依靠明確具體的語(yǔ)言指引，這也是加速學(xué)生領(lǐng)悟過(guò)程的需要.具體講來(lái)，教師在課前根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)層面，設(shè)置情境，提出要求，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，并讓學(xué)生能夠跳一跳，夠得著.鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，主動(dòng)參與，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，使學(xué)生感覺(jué)到成功的喜悅，繼而激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣.

2.順承學(xué)生思維發(fā)展的脈絡(luò)，把握核心概念的“來(lái)龍去脈”

數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要的思維科學(xué)，而學(xué)生的思維發(fā)展遵從具體形象思維到經(jīng)驗(yàn)型抽象思維，再到理論型抽象思維，最后到辯證思維的過(guò)程.當(dāng)然，這一發(fā)展過(guò)程不是嚴(yán)格單向的，它具有相容性與同時(shí)性.因此教師可借助于思維發(fā)展的階段性理論針對(duì)性地進(jìn)行核心概念教學(xué)，讓學(xué)生從統(tǒng)攝性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣的核心概念學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展有根本性影響的思維方式和思維習(xí)慣.必須強(qiáng)調(diào)的是只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷感悟過(guò)程，弄清核心概念的“來(lái)龍去脈”，才會(huì)理解深刻.

教學(xué)時(shí)要抓住數(shù)學(xué)概念體系的形成過(guò)程的層次性，講究循序漸進(jìn)和滲透提高.如坐標(biāo)法經(jīng)歷了直線(xiàn)—平面—空間—超空間，通過(guò)升維、加權(quán)、反向思考等設(shè)置實(shí)施.對(duì)類(lèi)比、遷移得出的新概念，需與問(wèn)題情景中的已知概念比較，建立知識(shí)鏈接.例如，指數(shù)和對(duì)數(shù)類(lèi)比，教材意圖明顯，希望學(xué)生利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系，把對(duì)數(shù)問(wèn)題化歸為指數(shù)問(wèn)題，借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).這樣的過(guò)程是自然的、水到渠成的，學(xué)生在概念形成、同化的過(guò)程中也實(shí)現(xiàn)了思維飛躍.

學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展、拓展，弄懂知識(shí)的同時(shí)，感受的是邏輯，掌握的是研究問(wèn)題的基本思想方法.如對(duì)函數(shù)概念本身的解讀.首先由“靜態(tài)”的式與方程到“動(dòng)態(tài)”的函數(shù)，形成動(dòng)靜互化的認(rèn)知過(guò)程，實(shí)現(xiàn)由過(guò)程表征向關(guān)系表征的轉(zhuǎn)變，這是它的起點(diǎn).其次由動(dòng)態(tài)的“變量說(shuō)”到靜態(tài)的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，形成微觀(guān)抽象化的認(rèn)知過(guò)程，實(shí)現(xiàn)函數(shù)宏觀(guān)表征向函數(shù)的微觀(guān)表征的轉(zhuǎn)變.最后再由“過(guò)程”到“對(duì)象”，實(shí)現(xiàn)把函數(shù)作為一個(gè)“整體的對(duì)象”來(lái)看待.在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“具體情境→抽象化→符號(hào)表示→深化應(yīng)用”這一系列認(rèn)知實(shí)踐后，把形式化、符號(hào)化思想滲透到函數(shù)教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)，就能促進(jìn)學(xué)生函數(shù)觀(guān)念的形成、發(fā)展、提高，提高學(xué)生應(yīng)用函數(shù)動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的辯證關(guān)系解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生的思維朝著更深刻的方向發(fā)展.在學(xué)習(xí)中要讓學(xué)生始終處于積極探索的狀態(tài)，自覺(jué)完成知識(shí)遷移，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的提煉，形成立體的知識(shí)模塊，融會(huì)貫通，達(dá)到活用知識(shí)解決問(wèn)題的目的.

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