《橢圓的方程復(fù)習(xí)》教學(xué)案例

☉江蘇省高淳高級中學(xué) 張 影

《橢圓的方程復(fù)習(xí)》教學(xué)案例

☉江蘇省高淳高級中學(xué) 張 影

一、教材分析

高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)對本節(jié)課的教學(xué)要求是“掌握”，即要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.

橢圓是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不但讓學(xué)生對橢圓的知識結(jié)構(gòu)有一個(gè)較清晰的認(rèn)識，而且在處理問題時(shí)，要讓學(xué)生學(xué)會靈活運(yùn)用定義，正確選用標(biāo)準(zhǔn)方程，恰當(dāng)利用幾何性質(zhì)，合理的分析，準(zhǔn)確的計(jì)算，并且為復(fù)習(xí)雙曲線和拋物線奠定了基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

通過高一一個(gè)學(xué)年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，一部分學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，運(yùn)算能力和分析問題的能力已經(jīng)有所提高.因?yàn)檫@是一節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生對橢圓的定義、方程及簡單的幾何性質(zhì)有了初步的認(rèn)識和了解，但是受邏輯思維能力的限制，同時(shí)對圖形的認(rèn)識不夠深刻全面，不能有效地把幾何性質(zhì)代數(shù)化，數(shù)形結(jié)合的能力還有待提高.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

掌握橢圓的兩個(gè)定義、方程和簡單的幾何性質(zhì).

2.過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的能力；注重?cái)?shù)形結(jié)合和待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

鼓勵(lì)學(xué)生積極、主動(dòng)的參與教學(xué)的整個(gè)過程，抓住問題本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神.

四、教學(xué)重難點(diǎn)

1.重點(diǎn)

橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.難點(diǎn)

恰當(dāng)?shù)厥褂枚x和幾何性質(zhì)解決橢圓有關(guān)問題.

五、教學(xué)方式

本課教學(xué)以合作探究法為主.新課程的理念是“以學(xué)生的發(fā)展為核心”，突出學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的自主意識和合作意識，改變過去“接受式學(xué)習(xí)”.本人基本上采取例—練緊密結(jié)合的教學(xué)步奏，先歸納知識點(diǎn)，再經(jīng)由師生共同分析例題、學(xué)生板演解題過程，加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.使用多媒體課件輔助教學(xué)，采用實(shí)物投影、幾何畫板等信息技術(shù)可以突出重點(diǎn)、淡化難點(diǎn).這樣可以使課堂氣氛活躍，形成和諧的教學(xué)環(huán)境.

六、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

觀察圖1，說說和橢圓相關(guān)的知識有哪些？

圖1

通過基本圖形的展示，特別是對線段進(jìn)行了粗細(xì)設(shè)置，讓學(xué)生慢慢回憶在橢圓中學(xué)過的基本量以及它們之間的關(guān)系，激活學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).課堂上通過觀察學(xué)生表情，提問學(xué)生，發(fā)現(xiàn)圖1對基礎(chǔ)較弱的學(xué)生提示作用很大.從復(fù)習(xí)的一開始就讓學(xué)生感受到認(rèn)識圖形對知識點(diǎn)的記憶和理解很有幫助，數(shù)形結(jié)合的思想從此開始.

填寫表格：

?

在圖像的直觀帶領(lǐng)下，完成形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.

對所學(xué)知識進(jìn)行及時(shí)的回顧和總結(jié)，有利于學(xué)生充分掌握知識，厘清關(guān)系，為應(yīng)用知識奠定基礎(chǔ).

（二）講解新課

例1填空題

（1）若點(diǎn)M到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于________，到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于________；

（2）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則點(diǎn)M與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是________和________.

此例題是考查學(xué)生對橢圓中的基本概念的掌握情況，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力.由學(xué)生獨(dú)立完成，然后交流解法.

對于（2），學(xué)生交流的解法大致有兩種.第一種是通過兩點(diǎn)間的距離公式求解；第二種是使用橢圓的第二定義即圓錐曲線統(tǒng)一定義求解.通過學(xué)生的自主探討不難發(fā)現(xiàn)，第二種方法“充分利用定義”在解題中起到的簡化計(jì)算的作用不可忽視.此時(shí)教師可以板書“關(guān)鍵詞1：充分利用定義”.

對于（2），教師可繼續(xù)提問：對于焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，若已知橢圓上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x0，能否求出P到兩焦點(diǎn)的距離？怎么求？是多少？

這個(gè)小問得出的結(jié)論即焦半徑公式，教師不必多做說明，關(guān)鍵是讓學(xué)生體會其中統(tǒng)一定義起到的作用巨大.即使以后忘記了公式，自己仍然可以推導(dǎo).“授人以魚不如授之以漁”，教會一種方法，鍛煉一種思維遠(yuǎn)比記住一個(gè)公式有用得多.

變式：若點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離為10，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

在幾何背景下添加了向量的元素，綜合性略有加強(qiáng).給學(xué)生一定的時(shí)間思考，許多學(xué)生會去試圖從圖形中挖掘點(diǎn)有效信息.圖中的關(guān)系如何變成可以利用的代數(shù)關(guān)系，這是一個(gè)難點(diǎn).因此“數(shù)—形—性質(zhì)”的一步步深入給學(xué)生留下深刻的印象.此時(shí)教師可以板書“關(guān)鍵詞2：充分利用圖形；關(guān)鍵詞3：充分利用性質(zhì)”.

2.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_______.

求離心率是圓錐曲線的常見題型.通過此題，學(xué)生交流解法，總結(jié)出求離心率的一般方法，即找出基本量a，b，c之間的等量關(guān)系.解決此類問題關(guān)鍵還在于學(xué)生把圖形信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式的能力，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想和關(guān)鍵詞2：充分利用圖形.

問題：能否不求點(diǎn)P坐標(biāo)算出PF2的長度？

學(xué)生思考后不難聯(lián)想到剛才例題（2）的啟示——圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于該例題中的點(diǎn)P，也可以當(dāng)成是橢圓的一個(gè)特殊點(diǎn)，記住其坐標(biāo)往往在解題時(shí)起到事半功倍的效果.

例2（1）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱的橢圓過點(diǎn)（1，4）和（5，2），求橢圓方程；

（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，且過點(diǎn)P（3，2），求橢圓的方程；

（3）設(shè)A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且AB＝2，動(dòng)點(diǎn)M到A點(diǎn)的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

求橢圓的方程是本節(jié)課的重點(diǎn)，課標(biāo)要求熟練掌握.本例題采取學(xué)生板演，師生共同點(diǎn)評的活動(dòng)方式.板演，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生的一項(xiàng)特殊的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，有利于教師適時(shí)調(diào)整教學(xué)思路、補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容.由于是學(xué)生的思維，對其他學(xué)生更容易接受，更有說服力，因而可起到教師不可替代的作用.對于前兩問，教師可以通過先觀察學(xué)生的解答再有針對性地選擇兩個(gè)學(xué)生板演，一種是分類討論設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程的，一種是設(shè)一般式的.

分析點(diǎn)評完學(xué)生的解答，可以通過“問題串”的方式帶領(lǐng)學(xué)生反思小結(jié).

問題1：求橢圓方程的基本方法.

問題2：求橢圓方程的步驟.

問題3：求解的過程中間應(yīng)注意些什么？

復(fù)習(xí)課不是舊知識的簡單再現(xiàn)和機(jī)械重復(fù)，其主要任務(wù)是把平時(shí)相對獨(dú)立的知識連點(diǎn)成線、連線成網(wǎng)，查漏補(bǔ)缺，最好能溫故知新，進(jìn)而加深學(xué)生對舊知識的進(jìn)一步理解、鞏固，并提高運(yùn)用知識解決實(shí)際問題能力.選擇“問題串”的方式提問，能夠有效的實(shí)現(xiàn)學(xué)生對舊知識的回憶，而且通過每個(gè)小問題的有序銜接和層層遞進(jìn)、步步深入，有助于學(xué)生對知識點(diǎn)再現(xiàn)、整理、歸納，達(dá)到串聯(lián)應(yīng)用的目的.

圖2

變式教學(xué)是課堂教學(xué)的一種重要形式，變式問題要在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上結(jié)合教學(xué)內(nèi)容提出，有助于學(xué)生對某知識點(diǎn)和方法的深層理解和掌握.在研究橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離問題時(shí)，能及時(shí)返回定義，會事半功倍.

（三）課堂小結(jié)

回顧了本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想有方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，以及相關(guān)的解題方法、解題策略.

對課堂教學(xué)進(jìn)行歸納梳理，給學(xué)生一個(gè)整體印象.小結(jié)能促進(jìn)學(xué)生掌握知識總結(jié)規(guī)律，是學(xué)生復(fù)習(xí)的依據(jù).

七、板書設(shè)計(jì)

橢圓的復(fù)習(xí)第一課時(shí)投影屏幕學(xué)生板書教師糾錯(cuò)關(guān)鍵詞1：關(guān)鍵詞2：關(guān)鍵詞3：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方法小結(jié)：

八、作業(yè)設(shè)計(jì)

講義上的反饋練習(xí)1-10.

九、教學(xué)反思

橢圓是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容.通過橢圓的復(fù)習(xí)，希望學(xué)生對圓錐曲線的知識框架有一個(gè)較為清晰的認(rèn)識，從而對后面的類比復(fù)習(xí)起到示范作用.

本節(jié)課是橢圓復(fù)習(xí)的第一節(jié)課，面對的是文科班基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，所以我把重點(diǎn)放在了基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用和求橢圓方程上.整個(gè)教學(xué)過程遵循了“教師為引導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)思想，通過學(xué)生練、討論、總結(jié)，加深對重點(diǎn)內(nèi)容和方法的印象，貫徹思想方法、解題方法，讓學(xué)生學(xué)會分析，最終達(dá)到融會貫通.

不過，在教學(xué)中仍有以下幾方面做得不夠：

1.復(fù)習(xí)時(shí)間過長，看圖和填表一共花去近十分鐘的時(shí)間，而對于一部分學(xué)生來說，表中內(nèi)容已經(jīng)熟記于心，所以可以嘗試讓學(xué)生課前先預(yù)習(xí)填好表，這樣既節(jié)省了時(shí)間，也容易發(fā)現(xiàn)自己在哪個(gè)知識點(diǎn)上存在漏洞，看圖時(shí)針對性會更強(qiáng)，印象會更深.

2.對于例3的處理，時(shí)間有些匆忙.事實(shí)上，該例題的方法類似于例1，都是利用橢圓的定義對橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化.中間例2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以單獨(dú)處理，讓例3與例1連貫起來.

3.語言不夠豐富，魅力不夠.在引導(dǎo)學(xué)生分析問題，完成思維跨越時(shí)，語言稍顯貧乏.同時(shí)還要注意讓每個(gè)提問都成為有效提問，設(shè)計(jì)啟發(fā)性問題，激發(fā)學(xué)生思維的火花.啟發(fā)性是課堂提問的靈魂，缺少啟發(fā)性的提問是蹩腳的提問.

4.復(fù)習(xí)課的選題一直是我比較難把握的.所選題既要全面，緊扣課標(biāo)和大綱，又不應(yīng)千篇一律；既要有針對性——針對重點(diǎn)難點(diǎn)、針對學(xué)生的易錯(cuò)易混點(diǎn)，又不應(yīng)人為的編制難題、偏題.如何才能選的準(zhǔn)、選的精、選的全，我還要多思考，多鉆研課標(biāo)，多做習(xí)題，多向老教師學(xué)習(xí).

今后我將更加努力提高自己的課堂教育機(jī)智上多學(xué)習(xí)、多實(shí)踐，切實(shí)使每堂課都上得活潑、生動(dòng)、實(shí)在，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長.