“求同存異”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用

鞏明志

“求同存異”是對(duì)研究對(duì)象采用比較的方法，確定其與另一事物的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，也就是求同、求異.比較是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，是學(xué)生理解和掌握知識(shí)的重要方法，“有比較才有鑒別”.求同存異是研究問(wèn)題的方法，也是比較的目的.在比較中可以認(rèn)識(shí)事物發(fā)展的一般規(guī)律，也可以在比較中找到差異，從而將事物從本質(zhì)上區(qū)別開(kāi)來(lái)，促進(jìn)了認(rèn)識(shí)的深化.在高中數(shù)學(xué)中，許多內(nèi)容是既有區(qū)別又有聯(lián)系的.教師如果在課堂教學(xué)中能充分利用比較的方法，求同存異，就會(huì)有助于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，使學(xué)生容易接受知識(shí)，掌握方法，形成能力.學(xué)生掌握了比較法的學(xué)習(xí)方法，就會(huì)激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

一、求同存異有助于基本概念的建立

數(shù)學(xué)中的基本概念都源于對(duì)生活事實(shí)的認(rèn)知與抽象.求同存異是這一過(guò)程的基本認(rèn)知方法，它可以加深對(duì)概念的理解和記憶，明確概念的內(nèi)涵和外延，從而正確地運(yùn)用概念.比如函數(shù)概念的構(gòu)建過(guò)程，就是通過(guò)大量實(shí)例的研究，尋找發(fā)現(xiàn)他們的共同點(diǎn)：都有兩個(gè)變量x，y；有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng).如果去掉實(shí)例本身的現(xiàn)實(shí)意義、幾何意義等，就可以抽象出函數(shù)的概念.導(dǎo)數(shù)概念的獲得也是通過(guò)大量的實(shí)例分析，求同存異，引出了函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念，進(jìn)而形成了導(dǎo)數(shù)的概念.利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)包含著函數(shù)平均變化率的求法，揭示了函數(shù)平均變化率與函數(shù)瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系，進(jìn)一步體現(xiàn)了求同存異的思想和方法.還有在等差數(shù)列概念的教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生研究下面的例子，找到有相同特征的例子。①1、2、3、4、5、…②1、-2、-5、-8、-11、…③2、4、6、8、10、…④1、2、4、8、16、…⑤、1、、、、…

學(xué)生通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)①②③⑤中，都有an+1-an=d.雖然各個(gè)例子中的d值不盡相同，但他們有一個(gè)共同特征，均為常數(shù)，從而形成了等差數(shù)列的概念.知道了概念的來(lái)源，加深對(duì)概念的理解和掌握。

二、求同存異有利于簡(jiǎn)化知識(shí)理解，幫助記憶

某些數(shù)學(xué)知識(shí)雖然表現(xiàn)形式各不相同，但具有相同的本質(zhì)屬性.因此利用求同存異的方法，探求其相同點(diǎn)，能夠達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、增強(qiáng)記憶、事半功倍的效果.如三角函數(shù)中有2kπ±α，π±α，-α，±α，±α等眾多誘導(dǎo)公式，其數(shù)量大、易混淆、難記憶，使得學(xué)生望而卻步.如果運(yùn)用求同存異的方法對(duì)其進(jìn)行研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些公式的變換無(wú)非是函數(shù)名稱(chēng)與符號(hào)的變化.2kπ±α，π±α，-α三組公式中，函數(shù)名稱(chēng)不變；±α，±α兩組公式中，函數(shù)名稱(chēng)變化；所有公式中的符號(hào)可由角度所在象限決定.而且通過(guò)進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，五組公式中的角度都可以表示成±α（k∈Z），從而將眾多誘導(dǎo)公式的變化過(guò)程簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.即當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)名稱(chēng)變化；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名稱(chēng)不變化；符號(hào)由角度所在象限決定.三角函數(shù)中的和（差）角公式又是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，研究發(fā)現(xiàn)，只有公式Cα+β是需要用其他知識(shí)推導(dǎo)得出的.Cα-β，Sα±β，Tα±β是以Cα+β為基礎(chǔ)，通過(guò)三角變形而得到的.因此，只要記清楚Cα+β，其他公式的獲得只需應(yīng)用三角函數(shù)變換.求同存異的應(yīng)用，從本質(zhì)上對(duì)知識(shí)進(jìn)行了甄別、理解和把握，大大減少了知識(shí)的數(shù)量，提高了記憶的質(zhì)量和學(xué)習(xí)的效率。

三、運(yùn)用求同存異辨析相對(duì)及易混的概念，加深對(duì)概念的理解

高中數(shù)學(xué)中存在很多相對(duì)的、易混淆的概念.如函數(shù)與映射、指數(shù)與對(duì)數(shù)、等差與等比、橢圓與雙曲線(xiàn)等等.有學(xué)生將函數(shù)與映射區(qū)分不開(kāi)來(lái)，混為一談.其實(shí)運(yùn)用求同存異的方法，不難發(fā)現(xiàn)他們的共同點(diǎn)是：確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對(duì)應(yīng).不同點(diǎn)是：函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的關(guān)系，而映射可以是數(shù)集與數(shù)集、非數(shù)集與非數(shù)集之間的關(guān)系.因此，函數(shù)是一種特殊的映射，映射不一定是函數(shù).指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在圖象和性質(zhì)上有很多相似之處，易于混淆.教學(xué)時(shí)運(yùn)用求同存異的方法，相互比較，找到他們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，認(rèn)識(shí)其本質(zhì)屬性，加深對(duì)概念的理解。

四、運(yùn)用求同存異探求問(wèn)題的解決方法

數(shù)學(xué)中的新知識(shí)是建立在舊知識(shí)基礎(chǔ)之上的.在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，如果運(yùn)用求同存異的方法，就會(huì)從舊知識(shí)中發(fā)現(xiàn)解決新問(wèn)題的方法，以及學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法.如學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的圖象和性質(zhì).指數(shù)函數(shù)是函數(shù)，那么學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)就可以從解析式、定義域、圖象、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等方面來(lái)研究.如研究指數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)，通過(guò)畫(huà)函數(shù) y=2x，y=3x，y=

x，y=

x的圖象，求同存異，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）中，當(dāng)a>1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0

總之，求同存異為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了思路和方法，使學(xué)生能更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等學(xué)習(xí)活動(dòng)，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和他們的創(chuàng)新思維.

注：本文系2017年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題《在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用“求同存異”培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的研究》成果，課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2017]GHB1106。

編輯 李琴芳