重視合情推理，探究邏輯突破口

摘 要：合情推理是獲得數學猜想的基本方法. 好的合情推理，就像數學解題探索中一個合適的引路人. 以兩次數學教研實驗片斷為例，呈現(xiàn)運用合情推理中的不完全歸納、類比等關鍵元素去分析一道幾何題的解答思路來由，探索初中幾何教學中關于學生的合情推理意識和能力培養(yǎng)的路徑，探討助力學生開啟和編織思維鏈條的突破口.

關鍵詞：合情推理；不完全歸納；類比；活動經驗

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0055-06

引用格式：張欽，袁曉芹. 重視合情推理，探究邏輯突破口：結合教研實驗中的一道幾何題感悟合情推理能力的培養(yǎng)策略［J］. 中國數學教育（初中版），2024（10）：55-60.

基金項目：湖北省教育科學規(guī)劃2021年度重點課題——指向思考力培養(yǎng)的思維課程研究與實踐（2021JA144）.

作者簡介：張欽（1980— ），男，中學高級教師，主要從事數理科學、數學教育、教育評價研究；

袁曉芹（1974— ），女，中學高級教師，主要從事中學數學課堂教學研究.

推理問題的精髓是思維鏈條的構建. 演繹推理的思維鏈條是從發(fā)散聯(lián)想到集中推理的“倒樹狀結構”，能有效解決條件和結論都明確的幾何推理問題. 然而，面對結論為探究型或開放性的幾何問題，需要先通過合情推理獲得明確的結論，再運用演繹推理驗證結論. 現(xiàn)結合兩次教研實驗所用的一道優(yōu)質幾何題呈現(xiàn)相關解答分析與思考，探索開啟邏輯推理的路徑.

一、例題呈現(xiàn)

題目 已知正方形[ABCD]與正方形[AEFG]，正方形[AEFG]繞點[A]旋轉.

（1）如圖1，連接[BG]，[CF]，求[CFBG]的值.

（2）當正方形[AEFG]旋轉至圖2的位置時，連接[CF]，[BE]，分別取[CF]，[BE]的中點[M]，[N]，連接[MN]，試探究[MN]與[BE]的關系，并說明理由.

（3）如圖3，連接[BE]，[BF]，分別取[BE]，[BF]的中點[N]，[Q]，連接[NQ]，[AE=6]，試直接寫出線段[QN]掃過的面積.

二、實驗片斷

在以上題目的解答中，合情推理扮演著非常重要的作用. 筆者曾借助該題目，就合情推理水平和運用合情推理探索解題路徑的意識，選取了宜昌市兩所生源狀況不同的初中學校分別進行實驗和調研. 實驗過程中，讓兩校九年級學生在40分鐘內獨立解答該題. 結果，多數未完成學生卡在第（2）小題. 該小題結論不明，需要探究. 學生并非沒有時間解題，而是沒有思路. 筆者對兩校未完成第（2）小題的學生給予提示：若把正方形[AEFG]旋轉到某個特殊的角度，比如點[G]在[AD]上時（如圖4），能否發(fā)現(xiàn)什么？可否將所得結論推廣到一般旋轉角度的情況？面對提示，兩校學生分別出現(xiàn)了以下兩種不同的片斷.

[E][F][G][B][C][D][A] [M][N][圖4]

片斷1（生源狀況較好的學校）：約三分之一的學生無法開啟第（2）小題的解答. 這些學生紛紛表示不理解圖4的提示作用，只想知道應該怎么作輔助線，或者套用哪個幾何模型. 進一步了解到，教師經常教他們如何套用各種幾何模型，而輕視引導學生經歷觀察、操作、猜想等活動的過程，導致學生遇到不熟悉的模型就沒有了解題思路. 可見，即使生源狀況較好，但是一味套用模型的幾何教學也會讓學生喪失探究問題的興趣.

片斷2（生源狀況較差的學校）：約五分之四的學生無法開啟第（2）小題的解答. 但在提示下，多名學生進一步探索而突破了第（2）小題. 雖然方法不盡相同，但都是從特殊位置出發(fā)，尋找到有共性的結論和方法，才想到如何作輔助線. 其中幾名學生述說自己的心路歷程時非常興奮，甚至有兩名學生畫出了圖5～圖7等特殊情形. 筆者進一步詢問這兩名學生：“畫這些多余的圖‘不耽誤時間’嗎？”學生回答：“好玩.” 筆者提出可以試著編些新的問題. 這兩名學生在嘗試編題的過程中，發(fā)現(xiàn)[BE]的中點只能在某個圓上，又一舉解決了第（3）小題.

三、解答分析

上述題目是一道相當精彩的幾何綜合題，為合情推理元素的展現(xiàn)和教研實驗的開展提供了極好的素材. 筆者從實驗中得到的收獲是：從特殊情形出發(fā)，合理猜想，能有效激發(fā)學生的探索興趣；試驗觀察，可以助力學生開啟解題思路，找到邏輯推理的突破口.

1. 直覺洞察，適時轉化

對于第（1）小題，從要求的比值[CFBG]出發(fā)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)線段[CF]和[BG]不在同一個三角形中，且無法進行等量轉換，直覺聯(lián)想到[△GAB∽△FAC]，證明并計算其相似比，運用正方形的性質即可求解.

2. 著眼特殊，推及一般

對于第（2）小題，有些學生感覺MN⊥BE，且[MN=][12BE]，想到連接[BM]和[ME]，希望證明[BM=ME]，然后用等腰三角形的“三線合一”的性質解決問題. 隨后發(fā)現(xiàn)證明有困難，并對自己的直覺有所動搖；有學生套用“手拉手模型”，連接[BG]，[DE]，證明三角形全等，結果并無所獲；有學生考慮到此時點[M]也是中點，于是聯(lián)想到“雙中點”相關的幾何模型，打開了部分思路. 如果學生此時并不熟悉特定的幾何模型，似乎確實有些難以確定結論. 那么，教學中只能教學生“死記”模型嗎？

當然不是，數學問題的思考和解決依靠數學思想，從簡單到復雜，數學的魅力正在于這些最樸素的思想. 從最簡單的情況開始思考，發(fā)揮數學自身的力量，從而找到解決問題的思路.

如圖4，處于這樣一個特殊的旋轉位置，結論會變得非常清晰. 此時[MN]是直角梯形[FEBC]的中位線，可得[MN⊥BE]，且[MN=BC+FE2=AB+AE2=][BE2]. 從特殊到一般，大膽猜想，在一般的旋轉角度下，[“MN⊥BE]，[MN=12BE”] 可能也是正確的. 但是，怎么在一般角度下證明這個結論？一般角度下沒有直角梯形.

可以回顧梯形的中位線公式是怎么得到的. 如圖8，聯(lián)想三角形的中位線，連接[BM]并延長[BM]至點[H]，使得[BM=MH]，連接[HF]. 由[△MHF≌△MBC]，可知[HF∥CB]，于是[H]，[F]，[E]三點共線. 此時[MN]是[△BHE]的中位線. 由三角形全等可知[BC=FH]，于是由三角形中位線公式可得梯形中位線公式.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][圖8] [H] [E][F][G][B][C][D][A] [H] [M][N] [I][圖9]

再到一般旋轉角度的情況，如圖9，連接[BM]并延長[BM]至點[H]，使得[BM=MH]，連接[HF]，[HE]. 顯然，可得[HE∥MN]且[HE=2MN]. 現(xiàn)在證明[HE=BE]且[HE⊥][BE]. 仿照圖8的特殊情形，容易證得[△CMB≌△FMH]，故有[HF=BA]. [FE=AE]是當然的. 與圖8相比，圖9中H，F(xiàn)，E三點不共線，產生了新的三角形. 點B，A，E也類似，圖8中的這兩個三角形都退化為三點共線，化歸為平角. [∠HFE]和[∠BAE]都因正方形[AEFG]旋轉而產生，直覺感知其相等，若能證明則可以得到[△ABE≌△FHE]. 進一步觀察，[∠HFE]由[∠HFG]和一個直角構成. 由[△CMB≌△FMH]，可得[HF]與[CB][DA]平行，由正方形[AEFG]的旋轉產生了夾角[∠DAG]，其與[∠HFG]互余. 受此啟發(fā)，在圖9中延長[DA]交[BE]于點[I]，則[GF∥AE]，[HF∥DI]. 所以[∠EAI=∠HFG]. 因為[∠BAI=∠GFE=90°]，所以[∠BAE=∠BAI+∠EAI=]

[∠GFE+∠HFG=∠HFE]，因此[△ABE≌△FHE]得證. 由此，BE = HE，[∠AEB=∠FEH]，得到[∠HEB=90°]. 至此第（2）小題得證，此為思路1.

其實，在圖8中作不同的輔助線，將[MN]轉化為不同三角形的中位線，也會對應產生第（2）小題的其他證明思路.

思路2：由圖10到圖11，證明[△FME≌△CMH]和[△CHB≌△AEB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][圖10] [H] [E][F][G][B][C][D][A] [H] [M][N][I][圖11]

思路3：由圖12到圖13，證明[△CBN≌△HEN]和[△FEH≌△EAB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][圖12] [H] [E][F][G][B][C][D][A][H] [M][N][圖13]

思路4：由圖14到圖15，證明[△BNH≌△ENF]和[△BHC≌△AEB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [H] [圖14] [E][F][G][B][C][D][A][H] [M][N] [圖15]

思路2 ～ 思路4與思路1的方法本質上是一樣的. 在如圖8所示的特殊旋轉角度下，除了倍長中線的方法外，還有一種得到梯形中位線公式的方法，就是連接梯形的對角線，將梯形分成兩個三角形來處理. 具體思路如下.

思路5：如圖16，連接[BF]，與[MN]交于點[Q]，則[MN]被分成兩部分——[MQ]和[QN]，它們分別是[△FCB]和[△BFE]的中位線. 如圖17，連接[BF]，取[BF]的中點[Q]，連接[MQ]，[NQ]，易證得[MQ=12AB]，[MQ⊥AB]，[QN=12AE]，[QN⊥AE]. 所以，為了得到[MN⊥BE]且[MN=12BE]，需要證明[△QMN∽△ABE]，且相似比為[12]. 證明過程中的一個難點仍然是通過導角得到一對夾角相等，即[∠BAE=∠MQN]. 其證明方法與前面類似，在此不再贅述.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [Q][圖16] [E][F][G][B][C][D][A] [M][N] [Q] [圖17]

思路6：如圖18，連接[CE]，交[MN]于點[P]. 如圖19，連接[CE]，取[CE]的中點[P]，連接[PM]，[PN]. 需要證明[△PMN∽△AEB]，且相似比為[12]. 該思路與思路5完全一樣.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [P][圖18][圖19] [E][F][G][B][C][D][A] [M][N] [P]

以上關于第（2）小題的六種思路，都是從特殊情形到一般情形的類比和推廣. 雖然此小題解答中所需的輔助線較多（3條以上），但因為都是從特殊情形得到思路和方法的啟發(fā)，學生容易理解，解題教學中也易于引導學生想到.

3. 直觀想象，合理推算

對于第（3）小題，學生解題的難點是難以想象出[QN]掃過的圖形是怎樣的. 在正方形[AEFG]旋轉一周的過程中，要同時把握兩個動點的難度較大. 自然的想法是，分別確定點[Q]和點[N]的運動路徑. 先看點[N]，選擇觀察[△BAE]，因為[AE]在轉時[BE]跟著轉，而[AB]沒動. 如圖20，取[AB]的中點[S]，連接[SN]，由三角形中位線定理，得[SN=12AE]，其中點[S]固定，[AE]的長度不變，則[SN]的長度也不變，于是點[N]在以點[S]為圓心，[AE2]長為半徑的圓上. 同理，連接[QS]，[AF]，點[Q]在以點[S]為圓心，[AF2]長為半徑的圓上. 這樣，旋轉一周，[QN]掃過的圖形是一個圓環(huán)，其面積可以用兩圓的面積之差求得. 第（3）小題得解，此為思路1.

[圖20] [E][F][G][B][C][D][A] [N][Q] [S]

回顧思路1，既然利用三角形的中位線定理，其實不必要取到[AB]的中點. 如圖21，直接觀察[△BEF]，[QN]正是[△BEF]的中位線，即[QN∥EF]且[QN=12EF]. 當正方形[AEFG]繞點[A]旋轉一周時，[EF]也繞點[A]旋轉一周，且在旋轉過程中，[QN]與[EF]的數量關系和位置關系都保持不變. 從點[B]作為頂點來看，[QN]運動形成的圖形與[EF]運動形成的圖形形成一種特殊的相似——位似（同側位似），且相似比為[12]. 而點[E]繞點[A]旋轉形成的圓的半徑為[EA]，點[F]繞點[A]旋轉形成的圓的半徑為[FA]，故[EF]轉一圈掃過的圖形為一個圓環(huán). 可以由兩圓半徑長求出兩圓的面積，作差即可求得圓環(huán)的面積. 由位似的性質，可以類比判斷[QN]掃過的圖形也為一個圓環(huán)，其面積為[EF]掃過圖形面積的[14]（因為相似比為[12]）. 此為思路2.

[圖21] [E][F][G][B][C][D][A] [N][Q]

因為人教版《義務教育教科書·數學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）中并沒有給出三角形之外的其他圖形相似時面積的比等于相似比的平方的結論，所以對于思路2的解答，還需要嚴格寫出該結論的證明. 考慮到用類比的方法思考得出該題結論是行之有效的數學思想方法，所以筆者認為這也是命題者將第（3）小題設置為“直接寫出結論，不必證明”的高明之處.

四、教學啟示

合情推理是指“合乎數學情理”的推理，是從已有的事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果. 在數學研究中，為得到新結論或方法，合情推理能提供問題研究的思路和方向.

1. 滲透合情推理，助力問題解決

數學的合情推理方法由觀察與試驗、不完全歸納、特殊化與一般化、類比、直覺與想象五個方面的元素組成，其中又以通過不完全歸納和類比得到數學猜想作為關鍵體現(xiàn). 合情推理的這五個方面在以上題目的解答探究中都有深刻的滲透，具體表現(xiàn)如下.（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)題目的本質是尋找旋轉變化中的不變關系，故選取特殊的旋轉位置畫圖進行試驗尋求結論與方法；（2）從特殊位置的結論猜測一般情況下的結論屬于不完全歸納；（3）為打開思路選取了0°，90°，180°等比較特殊的角度，是要借助特殊角度時解決問題的方法的啟發(fā)，進而探求一般化后的本質規(guī)律；（4）第（3）小題由相似三角形的面積比等于相似比的平方類比猜測相似圓環(huán)的面積比也有此性質，做到敢于類比、大膽猜想、善于轉化、嚴格求證；（5）學生在不使用幾何畫板軟件等信息技術工具的情況下，在頭腦中通過有限的點而直覺想象加工出圓的軌跡及圓環(huán). 幾何對象間存在的相通性，為直觀想象提供了類比的依據和啟示.

2. 強化合情推理，把握探究教學

第（2）小題中作倍長中線或作對角線的方法，源于人教版教材第18章“平行四邊形”. 雖然該章是關于四邊形的內容，但滲透了大量平行四邊形與三角形之間的相互轉化. 合情推理思想在該章教學中也有很多體現(xiàn). 例如，通過觀察、度量具體的平行四邊形，用不完全歸納的方式猜想平行四邊形的性質；通過連接平行四邊形的兩條對角線，將其化歸為四個三角形，運用三角形的性質得出平行四邊形的性質，發(fā)現(xiàn)對角線互相平分；在探索并證明三角形的中位線定理時，通過構造平行四邊形，把三角形的問題類比轉化為平行四邊形的相應問題，利用平行四邊形的性質得到三角形中位線定理，此為“反向類比，相互轉化”；基于性質與判定的互逆關系，反向類比，大膽猜測并發(fā)現(xiàn)結論；對菱形性質與判定的探討，完全類比矩形的性質與判定展開. 好的解題想法并非空穴來風，教材中的探究方法往往是解決問題的方法源泉，更彰顯了合情推理的思想光輝. 合情推理大量存在于初中數學的教學內容中，不限于幾何. 例如，對于同底數冪的乘法教學，人教版教材中先舉出幾個具體的數字和字母的算例，讓學生觀察計算結果并直覺感悟規(guī)律，然后用不完全歸納的方式提出同底數冪的乘法公式，再用[am ? an]的抽象代數式運算（演繹推理）驗證公式. 對合情推理思想的深入理解，有助于教師更好地把握和認識探究式教學.

3. 重視合情推理，優(yōu)化思維鏈條

合情推理是獲得數學猜想的基本方法. 好的合情推理，就像數學解題探索過程中一個合適的引路人. 每個人在解題過程中都會有一些猜想，如在證明一個數學結論之前，可以直覺感知或者猜測結論；在得出詳細的證明之前，需要猜測證明的思路；根據條件順推或者根據結論逆推時，還可以根據條件特征猜測中間結論作為橋梁；在探索解題策略或路徑的過程中，有時需要做選擇，選擇也是一種猜測；一次次地類比后進行嘗試，當嘗試的路走不通時，需要判斷猜測是否有誤，并分析該回到哪里重新猜測；等等. 通過合情推理得出的數學猜想未必都是正確的，必須經過嚴密的演繹推理，要么證明確認，要么找出否定猜測的數學反例. 應用合情推理不僅可以培養(yǎng)學生認真觀察事物、分析事物和發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系的良好品質，還可以培養(yǎng)學生善于發(fā)現(xiàn)問題、探求新知的創(chuàng)新意識.

4. 豐富活動經驗，提升推理水平

培養(yǎng)學生的合情推理能力沒有固定的模式和方法，但通過加強數學思維活動，積累活動經驗，可以有效增強學生合情推理的意識和水平. 以直覺為例，不同的人在同一問題上的直覺往往是不一樣的，這不僅取決于其知識結構和認知方式，還取決于在以往認知活動中所積累的思維活動經驗. 幾何教學中，教師切忌直接告訴學生幾何結論，或者在一開始就連好所有的輔助線，也不能把學生做不出幾何題全部歸因于沒能作出輔助線，而是要讓學生經歷觀察、操作等活動過程，直觀感知幾何圖形的性質和結構，通過合情推理探索可能的幾何結論. 通過合情推理猜想的結論可能是錯的，這也是正常的，但如果因為實驗幾何和合情推理缺少一定的嚴謹性就跳過這個環(huán)節(jié)，這是不應該的. 為了增加合情推理的可靠性，教學中要將實驗幾何與論證幾何有機統(tǒng)一，多在實驗幾何環(huán)節(jié)讓學生積極嘗試、思考和反思，積累活動經驗；多引導學生從特殊值、特殊點、特殊角度入手，在復雜變化的圖形中把握問題中的不變量，從嘗試多畫草圖和測量估計入手，感知條件的本質，推敲猜想過程中的合理性，及時感知或預警錯誤并調整猜想. 題目的第（2）小題中，假如在特殊的旋轉角度下仍然探究不到明確結論，還可以考慮假定兩個正方形的邊長取特殊的數量比值的情形. 即使學生直接套用“中線倍長”順利得到解答，也應該引導學生解后重新將圖形退到特殊情形，從而感悟方法的本質和源頭.

演繹推理用來肯定數學結論，而合情推理用來猜想并發(fā)現(xiàn)數學結論. 類似地，運算中也有估算與精算的區(qū)別. 在解決代數問題的過程中，往往可以先依賴數感對所求對象進行估計并評估合適的運算策略或路徑，然后再進行精確運算求解. 這種運算和推理中頗為相似的模式可以總結為圖22.

兩種思維模式在數學中是同等重要的. 從腦科學研究的角度來說，兩種思維模式是在大腦的不同部位發(fā)生的：演繹推理的過程屬于精算加工，更多地激活人腦的左側顳葉區(qū)域；合情推理與估算一樣，是一種概略化結果的認知加工過程，更多地激活人腦的雙側上頂葉區(qū)域. 而且它們具有不同的腦機制，相互支撐、交互發(fā)展. 雖然演繹推理是合情推理的自然延伸，且數學又是演繹推理和合情推理思想的辯證統(tǒng)一，但對學生合情推理能力的培養(yǎng)模式與演繹推理能力并不相同. 因此，要加強合情推理能力的培養(yǎng)，助力數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，聯(lián)系和協(xié)同兩種不同腦機制，奏好直覺和邏輯的交響樂，發(fā)揮數學自身的力量，實現(xiàn)學科育人的目標.

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