明晰作圖原理 發(fā)展理性思維

摘 要：依據(jù)新課標(biāo)、新教材的理念和導(dǎo)向，嘗試改變幾何作圖教學(xué)中只教作圖程序的現(xiàn)象. 以“如何用尺規(guī)作一個角等于已知角”這一典型實例為載體，重點引導(dǎo)學(xué)生思考“怎么想到這樣畫、為什么這樣畫”，啟發(fā)學(xué)生經(jīng)歷深度思考的過程，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作角；明晰原理；理性思維

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0041-04

引用格式：李莎. 明晰作圖原理 發(fā)展理性思維：以“尺規(guī)作角”的教學(xué)為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：41-44.

尺規(guī)作圖，即有限次地使用無刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖的活動. 從古希臘歐幾里得的《幾何原本》開始，尺規(guī)作圖就作為構(gòu)建幾何演繹體系的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)與理解幾何概念及其關(guān)系的基本工具.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，對于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要知道實施這些步驟的理由.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）中增加了尺規(guī)作圖的相關(guān)知識點，強(qiáng)調(diào)不僅要把尺規(guī)作圖作為一種幾何學(xué)習(xí)任務(wù)，更重要的是將它作為一種感知幾何圖形、理解幾何概念和圖形性質(zhì)、探究幾何規(guī)律的認(rèn)知工具.

學(xué)生在小學(xué)階段認(rèn)識幾何圖形，是基于對圖形的直觀感知，在初中階段注重用推理的方法研究幾何圖形. 用推理的方法所研究的幾何圖形，是有邏輯的直觀圖形——尺規(guī)作圖作出的幾何圖形. 因此，尺規(guī)作圖是用推理的方法研究幾何圖形的有邏輯的直觀基礎(chǔ). 下面以“尺規(guī)作角”一課的教學(xué)為例，啟發(fā)學(xué)生經(jīng)歷深度思考的過程，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課選自蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊“6.2 角”第2課時的第一部分，主要內(nèi)容為用圓規(guī)和無刻度直尺作一個角等于已知角. 尺規(guī)作角是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的初步體驗，其探究方法對后續(xù)開展其他尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)具有重要的啟蒙作用. 小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用三角板、量角器畫一些特殊角，在有關(guān)平面圖形的學(xué)習(xí)中也學(xué)習(xí)了線段和角等相關(guān)概念，掌握了用圓規(guī)截取等長線段的方法. 用尺規(guī)來實現(xiàn)作一個角等于已知角，即“復(fù)制”一個相同的角，其本質(zhì)是利用尺規(guī)作線段來確定所作角終邊上的關(guān)鍵點，這是本節(jié)課的重點也是難點. 教學(xué)過程應(yīng)立足學(xué)生的已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識儲備和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從用量角器畫角的過程中尋找靈感，有邏輯地構(gòu)建目標(biāo)圖形的示意圖，再根據(jù)直觀示意圖的組成元素及其位置關(guān)系，執(zhí)果索因，確定作圖方法，進(jìn)而用尺規(guī)構(gòu)圖作出目標(biāo)圖形，最后用邏輯推理證明所畫圖形的正確性. 從用量角器畫角到用尺規(guī)作角，是學(xué)生從形象思維到抽象思維的一次重要跨越. 教學(xué)過程中應(yīng)重點引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、猜想、證明等實踐活動的過程中，建立直觀操作與抽象作法之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和探究性思維，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

二、素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷尺規(guī)作角的過程，增強(qiáng)動手能力，能想象出通過尺規(guī)作角所形成的圖形，發(fā)展空間觀念和幾何直觀.

（2）理解尺規(guī)作角的基本原理與方法，發(fā)展幾何直觀和推理能力.

（3）經(jīng)歷尺規(guī)作角方法的探索過程，通過與量角器畫角過程的類比、猜想，推斷尺規(guī)作角的方法，初步體會尺規(guī)作圖的基本思路，發(fā)展推理能力和抽象能力.

三、教學(xué)過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)建目標(biāo)圖形.

引言：將一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置就形成了一個角，我們把這個角記為∠AOB. 為了進(jìn)一步用推理的方法研究角，需要用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作一個角等于已知角. 那么怎樣作呢？我們先從畫角開始探究.

問題1：如果∠AOB = 30°，你能畫一個和∠AOB一樣大的角嗎？

追問：如果∠AOB = 50°，你打算怎么畫一個與其一樣的角？∠AOB = 80°呢？

思考：你認(rèn)為用量角器畫角的關(guān)鍵是什么？

師生活動：教師先板演一個角的形成過程. 通過問題引領(lǐng)，學(xué)生嘗試用三角板或量角器分別畫出以O(shè)A為始邊的30°，50°，80°角，并將三個角分別標(biāo)記為∠AOB1，∠AOB2，∠AOB3. 學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、分析的過程，明確畫一個角的關(guān)鍵即確定角終邊上的一個點，我們稱之為確定該角的關(guān)鍵點.

【設(shè)計意圖】基于學(xué)生的已有認(rèn)知，以“如何畫一個30°的角”引入課題，使學(xué)生經(jīng)歷用三角板、量角器畫角的過程，明確畫一個角的關(guān)鍵即確定該角終邊上的一個點. 在引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知的同時為后面尺規(guī)畫角的教學(xué)作鋪墊.

環(huán)節(jié)2：類比關(guān)聯(lián)，分析目標(biāo)圖形.

問題2：觀察圖1，回答以下問題.

[O][B3][B2][B1][D3][D2][D1][C][圖1][A]

（1）描出來的關(guān)鍵點D1，D2，D3有什么共同的位置特征？

（2）隨著角度的變化，關(guān)鍵點D1，D2，D3與定點C的距離有什么變化？

追問：觀察圖2，你認(rèn)為角的大小和什么因素有關(guān)？

[O][B3][B2][B1][D3][D2][D1][C][圖2][A]

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過對圖1中幾個特殊角的關(guān)鍵點的觀察，得到一般猜想，即決定一個角大小的關(guān)鍵點具有共同的位置特征. 它們都在量角器的邊緣弧上. 如果把量角器的邊緣弧看成以中心O為圓心，OC長為半徑的半圓，則關(guān)鍵點到圓心O的距離相等，即OD1 = OD2 = OD3 = OC. 教師繼續(xù)用教具展示同一條圓弧上角的變化過程，通過問題引領(lǐng)，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：同一條圓弧上，關(guān)鍵點D（動點）與點C（定點）的距離隨著角度的變化而變化. 同一條圓弧上，一個角的大小由該圓弧上C，D兩點的距離（線段CD的長）確定.

【設(shè)計意圖】引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷同一圓弧上確定角的大小的關(guān)鍵因素的探究過程，將新舊知識有效銜接，逐步突破教學(xué)難點. 探究過程滲透了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，注重引導(dǎo)學(xué)生通過有邏輯地構(gòu)建直觀圖形來關(guān)注事物的共性，進(jìn)而得到作圖方法.

環(huán)節(jié)3：執(zhí)果索因，擬訂作圖方法.

問題3：如圖3，如何利用尺規(guī)畫∠A′O′B3′，使∠A′O′B3′ = ∠AOB3？

[O][B3][D3][C][圖3][A]

追問1：要“復(fù)制”一個和∠AOB3一樣的角，我們可以先任意畫一條射線O′A′作為始邊. 通過前面的分析，我們得到畫一個角的關(guān)鍵就是確定該角終邊上的一個點，那么這個關(guān)鍵點D3′在哪里呢？如何“復(fù)制”一個和圖3同樣大小的圓弧呢？

師生活動：學(xué)生借助圓規(guī)“復(fù)制”和圖3同樣大小的圓弧，即以點O′為圓心，OC長為半徑畫圓弧，從而得到關(guān)鍵點D3′所在的第一條圓弧.

追問2：此時點D3′一定在這個圓弧上. 那么圓弧上的哪一點表示點D3′呢？設(shè)所畫圓弧與射線O′A′的交點為點C′，那么所畫角的大小還與什么有關(guān)？如何“復(fù)制”一條和線段CD3等長的線段呢？

師生活動：學(xué)生借助圓規(guī)“復(fù)制”和CD3等長的線段，即以點C′為圓心，CD3長為半徑畫弧，從而得到關(guān)鍵點D3′所在的第二條圓弧. 通過兩條弧的交點確定關(guān)鍵點D3′，最后過點D3′畫射線O′B3′，作出∠A′O′B3′（如圖4）.

[O′][B3′][D3′][C′][圖4][A′]

追問3：在畫∠A′O′B3′的過程中，圓規(guī)和直尺分別發(fā)揮了怎樣的作用？

師生活動：學(xué)生回憶作角過程中直尺和圓規(guī)的作用，體會尺規(guī)作角的方法.

【設(shè)計意圖】立足已有的用量角器畫角的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生初步嘗試將尺規(guī)作角轉(zhuǎn)化為通過尺規(guī)作線段來實現(xiàn)，使學(xué)生經(jīng)歷用尺規(guī)作等角的探索過程，體會用尺規(guī)作等角的方法，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

環(huán)節(jié)4：尺規(guī)構(gòu)圖，作出目標(biāo)圖形.

問題4：如圖5，已知∠AOB，如何用尺規(guī)作∠A′O′B′，使∠A′O′B′ = ∠AOB？

[O][B][A][圖5]

追問1：現(xiàn)在沒有了圓弧，該怎么辦？圓弧的大小對角的大小有影響嗎？說說你的看法？

追問2：所作角與已知角是否相等？如何驗證？

師生活動：從“有弧”到“無弧”，學(xué)生經(jīng)歷了再思考的過程. 教師引導(dǎo)學(xué)生作出圓弧后，將問題4的解決自然轉(zhuǎn)化為問題3，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷尺規(guī)作角的完整操作過程. 在教師問題的引領(lǐng)下，全班學(xué)生交流展示. 學(xué)生或用量角器測量，或?qū)⑺嫿桥c已知角進(jìn)行疊合來驗證尺規(guī)作角的準(zhǔn)確性，同時直觀感受圓弧大小的任意性及尺規(guī)作角的科學(xué)性.

追問3：說一說用尺規(guī)作一個角等于已知角的步驟.

師生活動：全班交流、優(yōu)化作圖痕跡，師生共同得出用尺規(guī)作一個角等于已知角的步驟.

歸納作法如下.

（1）如圖6，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；

（2）畫射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

（3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧tNPF1ocB1T4gU3ufYJ/dhnlBHf0EBkPbD10KAA6eSFQ=，交前弧于點D′；

（4）過點D′作射線O′B′.

則∠A′O′B′即為所求.

[O′][B′][D′][C′][A′] [圖6] [O][B][D][C][A] [（a）][（b）]

【設(shè)計意圖】從問題3到問題4，從“有形”到“無形”，學(xué)生經(jīng)歷了從具體形象思維到抽象思維的跨越，思維活動漸次提升. 通過畫角、驗角等操作，培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力、科學(xué)態(tài)度和理性精神.

環(huán)節(jié)5：論證說理，抽象作圖本質(zhì).

問題5：如圖7，連接CD，C′D′，想一想△OCD和△O′C′D′的三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說一說你的理由.

[O′][B′][D′][C′][A′] [圖7] [O][B][D][C][A] [（a）][（b）]

師生活動：通過構(gòu)造如圖7所示的三角形，教師引導(dǎo)學(xué)生明晰尺規(guī)作角方法的實質(zhì). 學(xué)生或疊合△OCD和△O′C′D，或根據(jù)尺規(guī)作角的過程進(jìn)行推理，得出兩個三角形的三邊關(guān)系，即O′C′ = OC = O′D′ = OD，C′D′ = CD，抽象出化角為線的方法.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對尺規(guī)作角的作法進(jìn)行口頭說理論證，抽象化角為線的方法，發(fā)展學(xué)生的推理能力和抽象能力.

四、教學(xué)思考

與傳統(tǒng)思考問題的方式相比，尺規(guī)作圖更多的是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和逆向思維. 教師在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生主動用通性通法探究尺規(guī)作圖的方法，并對作出的圖形進(jìn)行說理論證. 在分析和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理能力.

1. 加強(qiáng)通法指導(dǎo)，形成整體思維

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中要求的19種尺規(guī)作圖在作圖方法的本質(zhì)、內(nèi)容的聯(lián)系性上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性. 在尺規(guī)作圖的教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)法有章可循的通法指導(dǎo)，幫助學(xué)生形成尺規(guī)作圖一般化的思維習(xí)慣和探究思路，使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的過程中，領(lǐng)悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗. 首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過對問題進(jìn)行分析，使學(xué)生明確“已知什么，要作什么”，并根據(jù)問題給出的條件構(gòu)建直觀圖形，然后借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和知識儲備思考該怎么作，并根據(jù)圖形的性質(zhì)及圖形間的聯(lián)系，通過推理找出畫圖的方法，進(jìn)而作出目標(biāo)圖形，最后通過說理正向證明所作圖形的正確性. 例如，本課例中，用尺規(guī)作一個角等于已知角時，可以先確定角的始邊，即借助直尺任意畫一條射線，然后思考“該怎樣確定角的終邊”. 通過對用量角器畫角過程的分析得出畫一個角的實質(zhì)，即確定該角終邊上的一個關(guān)鍵點，執(zhí)果索因，得出尺規(guī)作角的方法，最后說理證明所作角的正確性.

2. 注重過程實踐，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力. 依據(jù)新課標(biāo)、新教材的設(shè)計理念和導(dǎo)向，教師應(yīng)改變目前幾何作圖程序性教學(xué)的做法，不能僅限于讓學(xué)生掌握具體作法，更重要的是讓學(xué)生充分經(jīng)歷作圖方法探析的過程，讓學(xué)生在直觀操作與抽象作法之間建立聯(lián)系，感悟兩者相互依存的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力. 例如，本課例中，教師引導(dǎo)學(xué)生在用量角器量角、畫角的活動中尋找靈感，使抽象問題具體化，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、推理等實踐活動，得出確定一個角終邊關(guān)鍵點的方法，使教學(xué)難點得以突破，進(jìn)而完成尺規(guī)作角. 教師因勢利導(dǎo)，以問題引領(lǐng)學(xué)生觀察所構(gòu)建的三角形的三邊關(guān)系，使學(xué)生再次經(jīng)歷思維過程，抽象得出化角為線的方法，明晰尺規(guī)作角的本質(zhì).

在尺規(guī)教學(xué)的過程中，教師應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，注重“教思維”，讓學(xué)生在自主探究的過程中進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，形成解決尺規(guī)作圖問題的基本方法和策略，在遇到新的情境和新的問題時，可以遷移應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；在面對現(xiàn)實生活情境時，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：李莎（1986— ），女，中學(xué)一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.