基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐與思考

摘 要：以“有理數(shù)與無理數(shù)”一課的教學(xué)實踐為例，提出數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的形成策略.

關(guān)鍵詞：有理數(shù)與無理數(shù)；理解性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0031-05

引用格式：黃賢明. 基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐與思考：以“有理數(shù)與無理數(shù)”一課為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：31-35.

基金項目：2022年度江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題——大概念觀照下初中數(shù)學(xué)前建構(gòu)教學(xué)的實踐研究（C/2022/02/01）.

作者簡介：黃賢明（1999— ），男，中學(xué)二級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解. 有理數(shù)與無理數(shù)的概念是學(xué)生進(jìn)入初中階段后學(xué)習(xí)的第一個概念，它們是因數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)部發(fā)展的需要而生成的數(shù)學(xué)概念. 在探索有理數(shù)時，學(xué)生提取、歸納整數(shù)與分?jǐn)?shù)的共同屬性；而對無理數(shù)的探索過程是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感受和思考無限不循環(huán)小數(shù)的過程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對有理數(shù)和無理數(shù)的要求為：理解有理數(shù)的意義，了解無理數(shù). 由此可見，《標(biāo)準(zhǔn)》對有理數(shù)的要求是在掌握有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上理解其意義. 本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊“2.2 有理數(shù)與無理數(shù)”一課的教學(xué)為例，基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)進(jìn)行教學(xué)實踐與思考.

一、基于數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵闡述

數(shù)學(xué)理解是指個體建立了包含數(shù)學(xué)概念、法則等內(nèi)容的內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò). 數(shù)學(xué)理解不是一蹴而就的，而是一個層級發(fā)展的過程，是不斷豐富、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識意義的過程. 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)層級發(fā)展的過程模型主要闡述了學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的發(fā)展會依次經(jīng)歷經(jīng)驗性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解和文化性理解五個階段，具體如圖1所示.

經(jīng)驗性理解是指學(xué)習(xí)者從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取出對新知識的起始性理解，但這種理解往往摻雜著個性化理解，是模糊的、不全面的. 教師在教學(xué)中應(yīng)該積極把握學(xué)生已有的經(jīng)驗，尋找新舊內(nèi)容之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生利用已有經(jīng)驗促進(jìn)對新知的理解. 形式化理解是指通過接受有效的刺激進(jìn)行整理、組織、概括和重新表述等數(shù)學(xué)活動，使經(jīng)驗性知識逐漸擺脫數(shù)學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)屬性，進(jìn)而獲得對其本質(zhì)屬性的深刻理解. 結(jié)構(gòu)化理解實際上是一種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性理解，強(qiáng)調(diào)在一種知識的關(guān)系脈絡(luò)中把握相關(guān)知識的內(nèi)涵與本質(zhì). 遷移性理解是指個體在結(jié)構(gòu)化理解的基礎(chǔ)上，能夠靈活運(yùn)用知識解決問題，將所學(xué)知識遷移到陌生的情境中，運(yùn)用到問題的解決中. 文化性理解貫穿數(shù)學(xué)理解的始終，是數(shù)學(xué)理解的深層次指向. 教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識地推進(jìn)文化性理解，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)同感，鼓勵學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的文化歷史，形成對數(shù)學(xué)文化的個人感悟，進(jìn)而豐富經(jīng)驗性理解，加深形式化理解，拓展結(jié)構(gòu)化理解，完善遷移性理解.

二、對學(xué)生理解有理數(shù)與無理數(shù)過程中的障礙分析

1. 已有經(jīng)驗引發(fā)認(rèn)知沖突

有理數(shù)概念的獲得是對整數(shù)與分?jǐn)?shù)共同本質(zhì)屬性的提取，即都可以化為分?jǐn)?shù)形式. 學(xué)生基于已有認(rèn)知，能夠知道整數(shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別、有限小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系、整數(shù)與分?jǐn)?shù)形式的異同，但是隨著將整數(shù)以分?jǐn)?shù)形式表示出來，這就與學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗（分?jǐn)?shù)的分母不為1）矛盾，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，使得學(xué)生對有理數(shù)概念的理解不透徹.

2. 缺乏記憶導(dǎo)致概念混淆

布盧姆教育目標(biāo)分類法將認(rèn)知領(lǐng)域分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評價和創(chuàng)造六個部分，其中理解是在知道的基礎(chǔ)上發(fā)生的. 如果學(xué)生不記憶概念或片面記憶概念，隨著對不同概念的不斷學(xué)習(xí)與積累，就會導(dǎo)致概念記憶的混淆. 以對[-27]的分類為例，部分學(xué)生將其歸類為無理數(shù)，原因是經(jīng)過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)[-27]≈[-0.285 71…]，以為這個小數(shù)好像是無限不循環(huán)小數(shù)，認(rèn)定[-27]為無理數(shù). 這顯然是錯誤的. 原因之一，[-27=-0.2·85 714·]，是一個無限循環(huán)小數(shù)；原因之二，[-27]是兩個整數(shù)之比的形式，滿足有理數(shù)的定義. 究其原因，學(xué)生對于有理數(shù)和無理數(shù)的概念掌握不牢固，只關(guān)注所給數(shù)的小數(shù)形式.

3. 自身能力影響體系構(gòu)建

有些學(xué)生在分類有理數(shù)、利用逼近思想感受無理數(shù)、概念辨析等環(huán)節(jié)頻頻出錯，導(dǎo)致其對概念的學(xué)習(xí)停留在記憶的層級，對于概念的運(yùn)用浮于機(jī)械地模仿. 這終將導(dǎo)致學(xué)生無法獨(dú)立構(gòu)建有理數(shù)和無理數(shù)的概念體系，也就無法達(dá)到對概念的深入理解的層次.

三、基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的“有理數(shù)與無理數(shù)”的教學(xué)過程設(shè)計

1. 復(fù)習(xí)思考：激活經(jīng)驗性理解

問題1：讀一讀，并比較下列兩組數(shù)，它們有什么區(qū)別？

（1）+7，998，-1 035，0；

（2）[12]，[-312]，[23]，[-14].

問題2：觀察這兩組數(shù)，它們還能再細(xì)分嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生利用大括號將整數(shù)和分?jǐn)?shù)分類，具體分類情況如下.

[整數(shù)正整數(shù)：+7，9980負(fù)整數(shù)：-1 035]

[分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)： 12， 23負(fù)分?jǐn)?shù)：-312，-14]

問題3：觀察上述分?jǐn)?shù)，思考什么是分?jǐn)?shù)，什么是分?jǐn)?shù)形式.

【設(shè)計意圖】通過對具體數(shù)的分類與思考，引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)與分?jǐn)?shù)的概念及其分類，并利用具體分?jǐn)?shù)指出分?jǐn)?shù)的形式，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗，為有理數(shù)概念的本質(zhì)屬性的提取作鋪墊.

2. 歸納提?。荷尚问交斫?/p>

活動1：嘗試將0.1，-0.25，4，-3，0化為分?jǐn)?shù)形式.

依托原有的經(jīng)驗，學(xué)生能很快地將0.1化為[110]，將-0.25化為[-14]. 但對于整數(shù)而言，則需要教師進(jìn)一步輔助辨析分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)形式的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)表示為分母是1的分?jǐn)?shù).

問題4：0.1，-0.25等都是有限小數(shù)，可以化為分?jǐn)?shù)形式. 那么0.333 3…，0.666 6…等無限循環(huán)小數(shù)能化為分?jǐn)?shù)形式嗎？

小結(jié)：經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)）和整數(shù)都可以統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)形式，我們將能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式[mn]（m，n是整數(shù)，n ≠ 0）的數(shù)叫作有理數(shù).

教師完善板書，如圖2所示.

活動2：結(jié)合已有經(jīng)驗，嘗試采用不同的方式對有理數(shù)進(jìn)行分類.

學(xué)生進(jìn)行小組交流，教師補(bǔ)充完善，得到的結(jié)果如下.

[有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)] [有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)0負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)]

問題5：無限小數(shù)還包括無限不循環(huán)小數(shù)，你能舉幾個無限不循環(huán)小數(shù)的例子嗎？無限不循環(huán)小數(shù)能化為分?jǐn)?shù)形式嗎？

【設(shè)計意圖】通過活動1，將學(xué)生已有的經(jīng)驗進(jìn)行組織、再現(xiàn)，圍繞將有限小數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)形式的轉(zhuǎn)化，完善學(xué)生的經(jīng)驗性理解，打破學(xué)生的思維困境，使之自然理解整數(shù)的分?jǐn)?shù)化過程，再加以無限循環(huán)小數(shù)的補(bǔ)充，直觀呈現(xiàn)整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的共性，使得經(jīng)驗性知識逐步服務(wù)于有理數(shù)概念本質(zhì)屬性的提取，形成深層次的認(rèn)識，進(jìn)而在活動2的探究中獲得對有理數(shù)概念及其分類的形式化理解.

活動3：嘗試?yán)妹娣e是4的正方形ABCD（如圖3）畫出一個面積是2的正方形EFGH.

[A][B][C][D][圖3]

提示：嘗試?yán)谜叫渭埰瑒邮植僮?，探索發(fā)現(xiàn)分別連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得到的正方形EFGH（如圖4）面積為2.

[圖4] [2][A][B][C][D][E][F][G][H]

問題6：若設(shè)正方形EFGH的邊長為a，且[a2=][2]，則邊長a是有理數(shù)嗎？

活動4：探究面積為2的正方形的邊長a的值.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，啟發(fā)學(xué)生思考：面積為2的正方形的大小介于面積為4和面積為1的正方形之間，故其邊長a的大小也應(yīng)該介于1到2之間. 而后借助Excel表格，依次給出正方形的邊長與面積的數(shù)據(jù)（如圖5），讓學(xué)生逐步縮小a的范圍.

問題7：還可以繼續(xù)確定邊長a的取值范圍嗎？a是有限小數(shù)嗎？

師：借助計算器求得a = 1.414 213 562 373…，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我們將無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù). 仿照有理數(shù)的分類，無理數(shù)可以分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù).

活動5：嘗試說出一些無理數(shù).

① 圍繞π產(chǎn)生的數(shù)；② 依托正方形的面積等，給出不可以開方的數(shù)；③ 構(gòu)造如3.020 220 222…等形式的無理數(shù).

【設(shè)計意圖】通過活動3的動手嘗試，得到面積為2的正方形，讓學(xué)生在實踐操作中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.而后借助具體圖形對邊長a的大小進(jìn)行探索，揭示已有的數(shù)無法表示邊長，并通過活動4的探究活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)邊長a不具備有理數(shù)的特征，屬于無限不循環(huán)小數(shù)，自然生成無理數(shù)的概念，感受逼近、合情推理等數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)探究過程中的價值. 最后以活動5來豐富相關(guān)無理數(shù)的實例，促進(jìn)學(xué)生形式化理解的形成.

3. 歷史再現(xiàn)：滲透文化性理解

問題8：有理數(shù)的“理”是什么含義？

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“萬物皆數(shù)”理論，這里的“數(shù)”指的是有理數(shù)，即一切數(shù)都可以表示成整數(shù)或整數(shù)之比. 有理數(shù)也應(yīng)該稱為“可比數(shù)”或“成比例的數(shù)”. 1607年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟將有理數(shù)“proportion”翻譯為古漢語的“理”，“理”就是“比值”的意思.

【設(shè)計意圖】有理數(shù)名稱的由來源遠(yuǎn)流長，是人類智慧的結(jié)晶. 就定義來說，有理數(shù)更應(yīng)該稱為“可比數(shù)”，但由于古漢語的翻譯問題及各國之間的文化差異，最終形成了“有理數(shù)”的名稱. 以有理數(shù)的發(fā)展歷史開闊學(xué)生的視野，揭示有理數(shù)中“理”的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生初步形成對有理數(shù)概念的文化性理解.

4. 概念辨析：引導(dǎo)結(jié)構(gòu)化理解

練習(xí)1：判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）有理數(shù)都是有限小數(shù)；

（2）有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0；

（3）有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)；

（4）無限小數(shù)都是無理數(shù)；

（5）無理數(shù)都是無限小數(shù).

練習(xí)2：將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：-6，9.3，-[27]，42，0，0.333…，1.414 114 111，[π2]，3.303 003 000 3…，

-3.141 592 6.

正數(shù)集合：｛ …｝；

負(fù)數(shù)集合：｛ …｝；

有理數(shù)集合：｛ …｝；

無理數(shù)集合：｛ …｝.

問題9：-[27]經(jīng)過計算是-0.285 71…，看似無限不循環(huán)小數(shù)，為什么它卻是有理數(shù)？為什么[π2]有分?jǐn)?shù)線，但它不是分?jǐn)?shù)、有理數(shù)？如何判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？有理數(shù)和無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在哪里？

【設(shè)計意圖】經(jīng)過形式化理解，學(xué)生對于有理數(shù)和無理數(shù)的概念已經(jīng)有了一定的認(rèn)識. 通過概念辨析及數(shù)的分類的練習(xí)，進(jìn)行精細(xì)的信息加工，糾正學(xué)生對概念的錯誤認(rèn)識，將有理數(shù)和無理數(shù)的概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)合起來，類比學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生對新概念的記憶與存儲，使得學(xué)生從單一的形式化理解發(fā)展到具有關(guān)聯(lián)性的結(jié)構(gòu)化理解.

5. 拓展思考：指向遷移性理解

練習(xí)3：回答下列問題.

（1）如圖6，A，B所表示的集合代表什么含義？有哪些數(shù)無法在圖中表示出來？

[整數(shù)集合][正數(shù)集合][無理數(shù)集合][A][B][圖6][…][…][…]

（2）寫出4個數(shù)，同時滿足以下3個條件：① 其中3個數(shù)屬于有理數(shù)集合；② 其中2個數(shù)屬于負(fù)數(shù)集合；③ 其中2個數(shù)屬于整數(shù)集合.

（3）將（2）中的4個數(shù)和-12，3.515 115 111…，0.666…，-2π填入圖中的集合.

練習(xí)4：設(shè)面積為3π的圓的半徑為x，x是有理數(shù)嗎？試說明理由，并估計x的整數(shù)部分是多少. 同理，面積為5π，10π的圓，你能估計出它們半徑的整數(shù)部分嗎？

【設(shè)計意圖】這兩道練習(xí)題的設(shè)計旨在考查學(xué)生對有理數(shù)和無理數(shù)概念的理解及遷移應(yīng)用能力. 在練習(xí)3的設(shè)計中，設(shè)問從封閉到開放再回歸到封閉，使學(xué)生在設(shè)計、評價、分類的過程中，提升“四能”，進(jìn)一步加深對概念的理解. 在練習(xí)4的設(shè)計中，學(xué)生再次感受無理數(shù)的存在，進(jìn)一步應(yīng)用逼近思想解決問題.

6. 自我總結(jié)：促進(jìn)文化性理解

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并形成知識建構(gòu).

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對有理數(shù)和無理數(shù)有了哪些認(rèn)識？它們與我們所學(xué)的正數(shù)和負(fù)數(shù)存在哪些聯(lián)系與區(qū)別？

（2）本節(jié)課的學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（3）課后拓展：查閱相關(guān)有理數(shù)與無理數(shù)的歷史故事.

【設(shè)計意圖】通過自我總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回顧課堂所學(xué)的概念并系統(tǒng)梳理知識體系. 同時，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生個體的知識構(gòu)建情況，以談感想與疑惑等方式，讓學(xué)生在“說”的過程中進(jìn)一步理解、內(nèi)化概念，形成對知識綜合性、整體性的認(rèn)識.

四、教學(xué)反思

在常態(tài)化教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對知識的應(yīng)用情況（即結(jié)構(gòu)化理解和遷移性理解環(huán)節(jié)）. 基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)視角，經(jīng)驗性理解、形式化理解與文化性理解這三大環(huán)節(jié)也是在學(xué)生理解知識的過程中必不可少的.

1. 以舊啟新，依托經(jīng)驗性理解

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識不可能以實體的形式存在于個體之外. 對初中階段的學(xué)生而言，他們已經(jīng)有了小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，擁有了一定的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并且這些經(jīng)驗是在不斷積累、更新與完善的. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于學(xué)生已有的經(jīng)驗，重視對學(xué)生經(jīng)驗的激活，讓學(xué)生的已有經(jīng)驗服務(wù)于新知的獲得與理解，實現(xiàn)概念的自主構(gòu)建和自然生長. 因此，在“有理數(shù)與無理數(shù)”一課的教學(xué)中，教師從對數(shù)的分類的探究出發(fā)，激活學(xué)生對于分?jǐn)?shù)形式的認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生對整數(shù)與分?jǐn)?shù)本質(zhì)屬性的提取.

2. 直觀呈現(xiàn)，重視形式化理解

形式化理解是數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一環(huán)，既是學(xué)習(xí)概念的核心，也是后續(xù)結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解的重要基礎(chǔ). 學(xué)生經(jīng)過對經(jīng)驗的激活、提取，為新知的獲得搭好了“腳手架”. 在“有理數(shù)與無理數(shù)”一課中，學(xué)生依托經(jīng)驗獲得了分?jǐn)?shù)形式. 下一步就需要巧妙地利用多種方式（如提問、動手操作、列表等）直觀呈現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生自然構(gòu)建概念，獲得概念的內(nèi)涵，促使學(xué)生形成對概念的形式化理解.

3. 巧妙滲透，促進(jìn)文化性理解

文化是數(shù)學(xué)課堂的“潤滑劑”，對學(xué)生個人成長和素養(yǎng)發(fā)展具有重要作用. 文化性理解滲透于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的各個環(huán)節(jié)，不受學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的限制. 在“有理數(shù)與無理數(shù)”一課的教學(xué)中，文化性理解的內(nèi)容主要涉及以下兩點(diǎn). 其一，有理數(shù)與無理數(shù)都蘊(yùn)藏著豐富的歷史文化底蘊(yùn)，如有理數(shù)名稱的由來、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，等等. 但教學(xué)設(shè)計中只呈現(xiàn)了有理數(shù)名稱的由來，目的在于用數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生對有理數(shù)概念的理解，讓“理”與“比例”之間建立起文化性橋梁，既拓寬了學(xué)生的視野，也深化了學(xué)生對概念的理解. 其二，在對有理數(shù)與無理數(shù)概念的探索中體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法，如抽象思想、逼近思想、歸納猜想、類比、分類等. 這些數(shù)學(xué)思想方法存在于學(xué)生的自我總結(jié)中，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)探究活動累積了重要的探究經(jīng)驗.

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