基于學生思考路徑的習題解法研究與反思一例

摘 要：針對一道填空題的解法，兩名學生分別基于“幾何模型”和“函數(shù)最值模型”的視角，提供了與預設解題思路完全不同的思考路徑. 通過對這兩種思考路徑的進一步研究，發(fā)現(xiàn)了幾種意料之外的解法. 同時，基于學生思考路徑的解法研究，提出幾點思考.

關鍵詞：思考路徑；解法探究；解后反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0061-04

引用格式：范明明，鄭金. 基于學生思考路徑的習題解法研究與反思一例［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2024（10）：61-64.

基金項目：廣東省2022年度中小學數(shù)學教學研究專項課題——指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學習題課教學策略研究（GDJY-2022-M-b71）.

作者簡介：范明明（1988— ），男，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教育教學研究；

鄭金（1989— ），女，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教育教學研究.

在九年級備考復習階段的一次鞏固練習中，有一道填空題難度較大，學生的完成情況不理想. 在筆者講解題目的解題思路后，學生雖然恍然大悟但也表示很難想到. 在筆者提出“大家是如何思考該問題的？”這一追問后，學生紛紛給出了自己的思考路徑. 當筆者根據(jù)學生的思考路徑繼續(xù)研究題目時，發(fā)現(xiàn)了意想不到的解法. 現(xiàn)整理成文，與同行分享.

題目 如圖1，在正方形[ABCD]中，[AB=2 cm]，點 E為 邊BC 中點，M ，N 分別是邊 CD ， AB 上的動點，連接 MN ，AE，且始終保持[MN⊥AE]，連接AM，EN，則[AM+EN]的最小值為__________.

一、預設的解題思路

該題是一道以正方形為背景的雙動點求最值問題. 一般來說，求兩條線段和的最小值問題的最終落腳點是“三點共線”，故線段 AM 和線段 EN 在線段 MN 的兩側是該問題求解的難點所在. 要想利用“三點共線”，就需要把 線段AM 和線段 EN 通過某種方式“移”到一起. 于是，想到將線段 AM 沿著 AE 的方向平移到 線段EF 處，如圖 2 所示. 當 F ，E ，N 三點共線時，[EF+NE]的值最小，即[AM+][EN]的最小值為線段 NF 的長度.

隨后，筆者根據(jù)[MN⊥AE]這一條件想到直角和直角三角形，進而想到勾股定理，繼而思考是否可以以 NF 為一邊構造直角三角形. 考慮到線段 EF 與線段 AM 平行且相等，于是自然地聯(lián)想到連接 MF 構造平行四邊形 AMFE . 由此，不僅可以推出[∠FMN=90°]，得到“[△FMN]是直角三角形”這一關鍵條件，還可以由平行四邊形的性質(zhì)得到[MF=AE=12+22=5]. 此時，求線段 MN 的長成為解決問題的關鍵 . 如圖2，過點M作[MG⊥AB]于點G，易 證[△ABE≌][△MGN]. 所以[MN=5]. 在[Rt△FMN]中，由勾股定理，得[NF=MF2+MN2=][10]. 故[AM+][EN]的最小值為[10 cm].

當然，也可以將EN沿著EA的方向平移到AF處，如圖3所示. 在[Rt△MNF]中亦可求出[MF=10]，即[AM+][EN]的最小值為[10 cm]，此處不再贅述.

二、學生的思考路徑

在筆者向?qū)W生展示上述解題思路后，他們恍然大悟，在驚訝解法竟如此簡單的同時，也有部分學生發(fā)出沒想到或根本想不到的感嘆. 當筆者提出“大家是如何思考該問題的？”的追問后，學生紛紛給出了自己的思考路徑. 其中，有兩名學生的思考路徑比較典型，具體如下.

生1：題目所求的是[AM+EN]的最小值，從形式上看，容易想到“將軍飲馬”模型，利用該模型的一般思路是“對稱 + 共線”，于是想到作點 M 關于線段 AB 的對稱點 F . 如圖4，連接 AF 和 NF ，則[AM=AF]. 但受方向和角度的影響，AF 和 EN 不能共線. 于是考慮將 AF 向 FN 轉(zhuǎn)化. 但 由于點M 是動點，故 AF 和 NF 之間不存在明顯的數(shù)量關系，解題陷入了困境. 我又換了一個角度作點 E 關于 AB 的對稱點，但結果還是一樣.

生2：由兩條線段和的最小值問題聯(lián)想到函數(shù)最值問題，即先用代數(shù)式表示線段的和，再結合自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性求其最小值. 如圖5，過點 M 作[MF⊥AB]于點 F. 由[△ABE≌][△MFN]，得[FN=][BE=1.] 設[AF=x]，則[BN=1-x]. 設[AM+EN=y]，則[y=x2+22+][1-x2+12]，其中x的取值范圍為[0≤x≤1]. 但是該函數(shù)的表達式中含有根號，無法求出y的最小值.

以上兩名學生分別從幾何和代數(shù)的角度思考了該問題. 雖然受已有經(jīng)驗的影響，兩名學生沒有求得最終結果，但是他們分析問題的思考路徑無疑是值得稱贊的，這也是比較符合大多數(shù)學生認知水平的思考方式.

三、基于學生思考路徑的解法探究

雖然這兩名學生沒有求得最終結果，但是筆者認為這兩種思路還有進一步研究的價值. 因此，筆者在課后對這兩種思考路徑作了更進一步地探究.

1. 從“將軍飲馬”到“將軍遛馬”

筆者在分析生1的思路后，發(fā)現(xiàn)AF 與 NE 之所以無法共線，原因在于線段 AF 的位置“不合適”，不符合運用“將軍飲馬”模型的基本條件. 筆者嘗試轉(zhuǎn)化線段 AM ，從而改變 AF 的位置，以滿足“將軍飲馬”模型的運用條件. 結合圖5，筆者想到可以連接DF（如圖6），則[DF=AM]. 所以[AM+EN]的最小值等于[DF+][EN]的最小值. 此時，雖然還構不成“將軍飲馬”模型，但竟然得到了“將軍飲馬”模型的一個變式——“將軍遛馬”模型.

“將軍遛馬”模型：如圖7，已知將軍在點A 處，現(xiàn)在將軍要帶馬到河邊飲水，并沿著河岸走一段固定長度的路 MN，再返回軍營 B，問怎么走才能使得路程最短？解決該問題的關鍵在于將“將軍遛馬”模型轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型. 如圖8，將 AM 沿著 MN 的方向平移到 EN，作點 E 關于 MN 的對稱點 F，連接 FB ，交 MN 于點G，連接EG，過點A作[AH∥EG]交 MN 于點 H，則當將軍沿著[AH—HG—GB]的路徑走可以使得路程最短，最短路程為[BF+MN].

按照這個思路，上述題目可以有如下解法.

如圖9，過點 M 作[MF⊥AB]于點 F，連接 DF，則[DF=AM]. 將 DF 沿著FN的方向平移到 G N，作點 G 關于 AB 的對稱點 H ，連接 HN ，當 E， N，H 三點 共線時，[AM+NE]取得最小值，且最小值等于線段 EH 的長. 過點 H 作 CB 的垂線，交 CB 的延長線于點 L ，則[BL=][AD=2]，[HL=GC]. 因為[FN=BE=1]，所以[DG=1]. 所以[HL=GC=][1]. 在[Rt△ELH]中，由勾股定理，得[EH=][EL2+HL2=10]. 所以[AM+NE]的最小值為[10 cm].

2. 從“由形到數(shù)”到“由數(shù)思形”

生2將線段和的最小值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想. 但遺憾的是，利用初中階段的數(shù)學知識確實無法判斷函數(shù)[y=x2+22+1-x2+12][0≤x≤1]的HgqmXr1QTqvx2YiLytKnHNiFSEEh05JFZsoN3vBstVo=增減性. 但是，筆者發(fā)現(xiàn)，雖然求[y=][x2+22+1-x2+12 0≤x≤1]的最小值與求[AM+EN]的最小值在本質(zhì)上相同，實際上已經(jīng)是一個獨立的新問題了. 同時，生2的思考路徑從本質(zhì)上看是一個由“形”到“數(shù)”的過程，那么對于求[y=x2+22+][1-x2+12 0≤x≤1]的最小值問題，是否可以反過來思考，即由數(shù)到形地對[y=x2+22+1-x2+12 0≤x≤1]賦予新的幾何意義呢？想到此處，筆者茅塞頓開，于是有了如下兩種解題思路.

思路1：將[x2+22]看作兩條直角邊分別是x和2的直角三角形的斜邊長，將[1-x2+12]看作兩條直角邊分別是[1-x]和1的直角三角形的斜邊長，則求[y=][x2+22+][1-x2+12]的最小值即為求這兩條斜邊和的最小值. 如圖10，令[AB=2，BE=x，EC=1-x，CD=1，] 則求[y=][x2+22+1-x2+12 0≤x≤1 ]的最小值即為求[AE+DE]的最小值. 其中，點E是線段BC上的一個動點. 顯然，只有當點 D，E，A 三點共線時，[AE+DE]取得最小值，且最小值為[AD]的長，[AD=32+12=10]，即[AM+][NE]的最小值為[10 cm].

思路2：如圖11，將[y=x2+22+1-x2+12][0≤x≤1 ]看作是平面內(nèi)一點[Px，0]到點[A0，2]和點[B1，1]的距離之和，則求[y=x2+22+1-x2+12][0≤x≤1 ]的最小值即為求[AP+BP]的最小值. 其中，點 P 是線段 OC 上一動點. 由“將軍飲馬”模型可知，[AP+][BP]的最小值為[10]，即[AM+NE]的最小值為[10 cm].

四、解后反思

1. 廣泛聯(lián)想找思路，大膽嘗試尋方向

解數(shù)學題，就其本質(zhì)而論，就是尋求命題的條件與結論之間的邏輯聯(lián)系. 整個解題的思維推理過程，實質(zhì)上就是一系列的廣泛聯(lián)想過程. 聯(lián)想的內(nèi)容主要有相似問題的處理方法，類似條件的處理策略，可能相關的定理、方法或數(shù)學模型等. 換而言之，就是聯(lián)想已往的解題經(jīng)驗和相關的數(shù)學模型. 例如，在預設的解題思路中，由兩條線段和的最小值問題想到“三點共線”，進而想到將兩條線段“移”到一起，正是受

以往解題經(jīng)驗的影響. 學生由[AM+NE]想到“將軍飲馬”模型和“函數(shù)最值”模型，也是聯(lián)想相關數(shù)學模型的具體體現(xiàn). 但是聯(lián)想只能尋找可能的解題思路，在此基礎上還需要配合大膽嘗試才能驗證解題方向的正確性，進而確定是否需要調(diào)整解題策略. 筆者基于生1的思考路徑繼續(xù)探究，正是將線段 AM 轉(zhuǎn)化為線段 DF 并作出大膽嘗試，才發(fā)現(xiàn)了“將軍遛馬”模型. 此外，從“由形到數(shù)”到“由數(shù)思形”的轉(zhuǎn)變也是廣泛聯(lián)想和大膽嘗試的具體體現(xiàn). 當然，廣泛聯(lián)想和大膽嘗試是在全面、深入加工題目信息基礎上進行的解題活動，而不是思維定式般的機械模仿和套用.

2. 模型結構要理解，模型思想更關鍵

生1能從[AM+NE]的最小值聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，說明其對“將軍飲馬”模型的結構具有一定了解. 但是從生1作點 M 關于 AB 的對稱點 F 的解題步驟來看，這種了解只停留在對該模型簡單套用的層次，而沒有深刻理解模型的本質(zhì)和內(nèi)涵. 由前文的解析過程可知，要想改變線段 AF 的位置，只能從“源頭”上對線段 AM 進行轉(zhuǎn)化，這顯然已經(jīng)超出了單純記憶與復制模型結構的層次，是需要學生對“將軍飲馬”模型有深刻理解才能實現(xiàn)的模型建構，是模型思想的體現(xiàn). 但是模型結構和模型思想之間存在本質(zhì)的差異. 掌握模型結構只是對模型固有形態(tài)的一種靜態(tài)理解，而模型思想則是通過分析、聯(lián)想、建立（或選擇）恰當?shù)哪Ｐ?，并運用該模型的性質(zhì)分析問題，使問題得以解決的思維策略，是一種動態(tài)的建構過程. 顯然，掌握模型結構并不等于具有模型思想. 換句話說，生1解題思路受阻的根本原因在于其頭腦中雖有模型結構但缺乏模型思想，因此在解題過程中只能對“將軍飲馬”模型進行簡單的記憶與模仿，而不能自主地選擇和建構.

3. 數(shù)形結合百般好，數(shù)形分離莫忽略

我們知道，數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學方法，主要是指數(shù)與形之間的一一對應關系. 根據(jù)前后對應順序的不同，這種對應關系應包含兩個方面：一是從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，二是從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化. 生2將求[AM+NE]的最小值轉(zhuǎn)化為求[y=x2+22+][1-x2+12 0≤x≤1]的最小值，正是體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化. 但“轉(zhuǎn)化”這個詞本就暗含了數(shù)與形的獨立性，即數(shù)形結合的前提是數(shù)形分離. 事實上，在生2將[AM+NE]轉(zhuǎn)化為[x2+22+][1-x2+12]后，“數(shù)”與“形”就已經(jīng)實現(xiàn)了分離，求[y=x2+22+1-x2+12 ][0≤x≤1 ]的最小值已經(jīng)成為了一個獨立的新問題. 筆者正是在“數(shù)形分離”的基礎上賦予了[x2+22+][1-x2+12 0≤x≤1]新的幾何意義，從而繼續(xù)了由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，并最終求出結果. 事實上，只關注“數(shù)形結合”而忽略“數(shù)形分離”，正是導致生2解題思路受阻的根本原因. 綜合分析此種解法，正是從“數(shù)形結合”到“數(shù)形分離”再到“數(shù)形結合”的探究過程.

參考文獻：

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