加強(qiáng)代數(shù)推理 發(fā)展理性思維

摘 要：通過(guò)分析2024年全國(guó)各地區(qū)中考部分涉及代數(shù)推理的試題，啟發(fā)日常教學(xué)要注重學(xué)生符號(hào)抽象、推理、運(yùn)算的訓(xùn)練，加強(qiáng)知識(shí)形成和應(yīng)用過(guò)程的推理教學(xué)，關(guān)注代數(shù)推理的抽象性和直觀性，深層構(gòu)建代數(shù)推理認(rèn)知進(jìn)階體系等，為進(jìn)一步研究培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力提供思路.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；中考數(shù)學(xué)；命題特點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0050-05

引用格式：樊允浩. 加強(qiáng)代數(shù)推理 發(fā)展理性思維：2024年中考代數(shù)推理試題的評(píng)析及啟示［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：50-54.

基金項(xiàng)目：安徽省教育信息技術(shù)研究課題——基于智慧課堂的初中數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)實(shí)踐研究（AH2019073）.

作者簡(jiǎn)介：樊允浩（1984— ），男，高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用. 初中階段，除了在“圖形與幾何”領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容. 代數(shù)推理側(cè)重?cái)?shù)與式的運(yùn)算、變形，具有一定的抽象性. 加強(qiáng)代數(shù)推理教學(xué)，有助于學(xué)生理解代數(shù)及其運(yùn)算的意義. 綜觀2024年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷，發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生代數(shù)推理能力的考查，突出了素養(yǎng)立意. 筆者結(jié)合2024年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中涉及代數(shù)推理的相關(guān)試題，談?wù)劥鷶?shù)推理問(wèn)題的命題特點(diǎn)及其教學(xué)啟示.

一、代數(shù)推理試題類型

推理是思維的基本形式之一，一般可以分為演繹推理、歸納推理和類比推理. 其中，歸納推理和類比推理也可以統(tǒng)稱為“合情推理”. 代數(shù)推理是以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)演繹、歸納和類比等方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程. 本文中，將研究的代數(shù)推理問(wèn)題分為合情推理問(wèn)題、演繹推理問(wèn)題，以及兩者融合類問(wèn)題.

二、典型試題評(píng)析

1. 合情推理

（1）歸納推理.

例1 （寧夏卷）觀察下列等式：

第1個(gè)：1 × 2 - 2 = 22 × 0；

第2個(gè)：4 × 3 - 3 = 32 × 1；

第3個(gè)：9 × 4 - 4 = 42 × 2；

第4個(gè)：16 × 5 - 5 = 52 × 3；

……

按照以上規(guī)律，第n個(gè)等式為 .

解析：該題是一道典型的數(shù)式規(guī)律題. 給出一組算式，需要學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)等號(hào)左右兩邊每一項(xiàng)的特點(diǎn)及其與序數(shù)的關(guān)系. 將題干中的等式用表1的形式表示出來(lái)，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等式為n2（n + 1） - （n + 1） = （n + 1）2（n - 1）（n是正整數(shù)）.

表1 代數(shù)式變化規(guī)律表

[規(guī)律 A B C 第1個(gè)等式 1 2 0 第2個(gè)等式 4 3 1 第3個(gè)等式 9 4 2 第4個(gè)等式 16 5 3 … … … … 第n個(gè)等式 n2 n + 1 n - 1 ]

【評(píng)析】該題主要是運(yùn)用歸納推理解決問(wèn)題. 歸納是通過(guò)對(duì)某類事物中若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方式. 解決此類推理題的關(guān)鍵是分析問(wèn)題中所隱含的數(shù)量關(guān)系. 學(xué)生要學(xué)會(huì)通過(guò)觀察分析幾個(gè)特例，運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)出蘊(yùn)含在部分對(duì)象中的共同性質(zhì)，從而抽象出一般規(guī)律，用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)自己的想法. 此歸納推理是通過(guò)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的，即屬于代數(shù)推理.

（2）類比推理.

例2 （河北卷）“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算. 淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132 × 23，運(yùn)算結(jié)果為3 036. 圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的是（ ）.

<＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2024年飛翔＼中數(shù)初中2024年第10期＼image1樊.png>[圖1][圖2]

（A）“20”左邊的數(shù)是16

（B）“20”右邊的“■”表示5

（C）運(yùn)算結(jié)果小于6 000

（D）運(yùn)算結(jié)果可以表示為4 100a + 1 025

解析：該題考查了整式的加法和乘法運(yùn)算. 類比圖1，設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為[100x+10y+z]和[10m+n]. 如圖3，則[mz=20，nz=5，ny=2，nx=a].所以[m=4n]. 可以確定當(dāng)[n=1，y=2]時(shí)，[m=4，z=5，]

[x=a]. 根據(jù)題意可得選項(xiàng)D正確.

<＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2024年飛翔＼中數(shù)初中2024年第10期＼image8樊.png>[圖3]

【評(píng)析】該題主要是運(yùn)用類比推理解決問(wèn)題. 先結(jié)合圖1給出表示132 × 23的具體方法，計(jì)算結(jié)果為3 036，再引導(dǎo)學(xué)生類比這種運(yùn)算方法解答問(wèn)題. 解類比推理題的關(guān)鍵就是運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)分析未知與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有的相似特征，然后猜想其在解題方法和解題思維上的類似之處，從而解決問(wèn)題. 應(yīng)用類比推理解決問(wèn)題可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生更深層次的認(rèn)識(shí)，從而提高解題效率. 該題是通過(guò)運(yùn)算解決的，故屬于代數(shù)推理.

2. 演繹推理

例3 （重慶A卷）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2 - n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2 - n的過(guò)程，稱為“方減分解”. 例如，因?yàn)?02 = 252 - 23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602 = 252 - 23的過(guò)程就是“方減分解”. 按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 . 把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A = m2 - n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m + n = k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 .

解析：設(shè)m = 10a + b，則n = 10a + 8 - b（1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8）. 要使“方減數(shù)”最小，需a = 1，可求得m = 10，n = 18，即最小的“方減數(shù)”是82；根據(jù)“B除以19余數(shù)為1，且2m + n = k2（k為整數(shù)）”，得出[3a+4b+719]為整數(shù)，30a + b + 8是完全平方數(shù)，由于1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解.

【評(píng)析】該題主要是運(yùn)用演繹推理來(lái)解決. 從定義出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論. 已知新定義（大前提），并存在特殊情況（小前提），即設(shè)m = 10a + b，則n = 10a + 8 - b（1 ≤ a ≤ 9，0 ≤ b ≤ 8），且B = 1 000a + 100b + 10a + 8 - b = 1 010a + 99b + 8，利用新定義得出特殊情況下的結(jié)論. 演澤推理的基本形式為“三段論”，即“大前提—小前提—結(jié)論”. 這個(gè)過(guò)程既能培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，又能提升學(xué)生演繹推理的能力. 學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中要注重問(wèn)題的探究過(guò)程，體驗(yàn)知識(shí)抽象的過(guò)程，要學(xué)會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá). 以上演繹推理是通過(guò)相關(guān)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的，故屬于代數(shù)推理.

例4 （福建卷）已知實(shí)數(shù)[a，b，c，m，n]滿足[3m+n=ba，mn=ca].

（1）求證：[b2-12ac]為非負(fù)數(shù).

（2）若[a，b，c]均為奇數(shù)，[m，n]是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由.

解析：（1）由題意，得[b=a3m+n，c=amn]. 計(jì)算，得[b2-12ac][=a23m-n2].

由此可知[b2-12ac]是非負(fù)數(shù).

（2）m，n不可能都為整數(shù). 理由如下.

若m，n都為整數(shù)，其可能的情況有：① m，n都為奇數(shù)；② m，n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù).

① 當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，則[3m+n]必為偶數(shù). 因?yàn)閇3m+n=ba]，所以[b=a3m+n]. 因?yàn)閇a]為奇數(shù)，所以[a3m+n]必為偶數(shù). 這與[b]為奇數(shù)矛盾.

② 當(dāng)m，n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則mn必為偶數(shù). 因?yàn)閇mn=ca]，所以[c=amn]. 因?yàn)閇a]為奇數(shù)，所以[amn]必為偶數(shù). 這與[c]為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，m，n不可能都為整數(shù).

【評(píng)析】該題主要是運(yùn)用演繹推理解決問(wèn)題. 數(shù)與式的運(yùn)算及性質(zhì)的應(yīng)用都是基于數(shù)與式的性質(zhì)、運(yùn)算法則和運(yùn)算律的演繹推理. 方程、不等式和函數(shù)實(shí)質(zhì)上都是數(shù)量關(guān)系，研究數(shù)量關(guān)系主要是基于數(shù)式通性的等價(jià)變形，這種等價(jià)變形的本質(zhì)也是演繹推理. 第（1）小題的解答離開(kāi)演繹推理是沒(méi)法進(jìn)行的，考查了整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 解第（2）小題時(shí)，要按照推理證明的格式寫出證明過(guò)程. 該題表面看是考查學(xué)生對(duì)有關(guān)數(shù)的奇偶數(shù)性質(zhì)的掌握情況，深層看是以這些知識(shí)為載體，考查學(xué)生的推理能力.

3. 合情推理與演繹推理融合

例5 （江蘇·鹽城卷）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問(wèn)題：

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

分析問(wèn)題：

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開(kāi)圖上可以看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽. 該菠蘿的籽在側(cè)面展開(kāi)圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，n > k ≥ 3，d > 0），如圖4所示.

<＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2024年飛翔＼中數(shù)初中2024年第10期＼image27.png>[（a）][（b）][圖4]

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖5是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為 ，共鏟 行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為 .

<＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2024年飛翔＼中數(shù)初中2024年第10期＼image28.png>[圖5]

方案2：圖6是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為 .

<＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2024年飛翔＼中數(shù)初中2024年第10期＼image28.png>[圖6]

方案3：圖7是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng).

<＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2024年飛翔＼中數(shù)初中2024年第10期＼image28.png>[圖7]

解決問(wèn)題：

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？試寫出比較過(guò)程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

解析：對(duì)于方案1和方案2，由題意歸納出數(shù)量關(guān)系，列出代數(shù)式即可求解；對(duì)于方案3，由圖7可以得出斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為[d2+d22=2d2]，根據(jù)題意得到一共有2n列、2k行籽，斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長(zhǎng)，即可得出鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為[22k-12]dn. 在“解決問(wèn)題”階段，利用作差法比較三種方案即可得到方案3鏟籽路徑總長(zhǎng)最短. 銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對(duì)菠蘿的損耗.

【評(píng)析】該題是代數(shù)合情推理與演繹推理的融合運(yùn)用. 解題時(shí)，學(xué)生需要經(jīng)歷由合情推理到演繹推理的代數(shù)推理全過(guò)程. 在“分析問(wèn)題”階段，需要通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)三種方案中的每行籽數(shù)、行上相鄰兩籽的間距與每行鏟的路徑長(zhǎng)，以及鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)不完全歸納法抽象出一般規(guī)律并將其用式子表達(dá)出來(lái)，重在對(duì)歸納推理能力的考查. 在“解決問(wèn)題”階段，通過(guò)對(duì)代數(shù)式的運(yùn)算，推理出方案3的鏟籽路徑總長(zhǎng)最短，進(jìn)而解決問(wèn)題，重在對(duì)演繹推理能力的考查. 總體來(lái)說(shuō)，該題通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由合情推理到演繹推理的代數(shù)推理全過(guò)程.

總之，基于運(yùn)算的代數(shù)推理，以代數(shù)運(yùn)算為基礎(chǔ)，側(cè)重對(duì)數(shù)與式的運(yùn)算和變形，以及對(duì)運(yùn)算規(guī)律的提煉與證明，具有一定的抽象性. 該題要求學(xué)生能基于具體數(shù)值運(yùn)算實(shí)例歸納得到具有一般性的運(yùn)算規(guī)律，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示該規(guī)律，考查學(xué)生的歸納推理能力和演繹推理能力. 在實(shí)際解題中，為了確保歸納的正確性，學(xué)生可以依據(jù)運(yùn)算法則或等式（不等式）的性質(zhì)進(jìn)行演繹推理，積累用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗(yàn).

三、教學(xué)啟示

1. 注重對(duì)符號(hào)抽象、推理、運(yùn)算的訓(xùn)練

代數(shù)領(lǐng)域的符號(hào)抽象主要體現(xiàn)在運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律. 代數(shù)中的符號(hào)推理的特點(diǎn)是“基于運(yùn)算”，初中階段代數(shù)的本質(zhì)特征就是符號(hào)運(yùn)算，加強(qiáng)代數(shù)推理有助于學(xué)生理解代數(shù)及其運(yùn)算的意義. 在教學(xué)中，教師可以以數(shù)與式的性質(zhì)、運(yùn)算及關(guān)系作為代數(shù)推理教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生基于符號(hào)運(yùn)算和推演，探析和表征運(yùn)算法則、規(guī)律和公式，逐步發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力. 例1中給出了一組等式，觀察等式左右兩邊每一項(xiàng)的特點(diǎn)及其與序數(shù)的關(guān)系，要求學(xué)生推理得出第n個(gè)等式. 教師可以讓學(xué)生觀察：這組等式有什么特點(diǎn)？等式的每一項(xiàng)與它對(duì)應(yīng)的序數(shù)有什么關(guān)系？有什么發(fā)現(xiàn)？在學(xué)生經(jīng)過(guò)一系列觀察、比較、分析、推理并給出猜想后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一般規(guī)律并將其用字母表示出來(lái). 教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用乘法公式進(jìn)行證明. 加強(qiáng)運(yùn)算、推理的教學(xué)主要是加強(qiáng)算法、技能背后的算理、運(yùn)算律的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)算、推理的步步有序和步步有據(jù).

2. 加強(qiáng)知識(shí)形成和應(yīng)用過(guò)程的推理教學(xué)

日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程. 在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要從特殊事物的不同屬性中歸納出共同的、本質(zhì)的屬性，形成概念的定義；能夠利用概念的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 例如，根據(jù)有理數(shù)的定義推出兩個(gè)有理數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果仍然是有理數(shù)，利用無(wú)理數(shù)的定義判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù). 在數(shù)學(xué)法則的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、計(jì)算、歸納、類比、猜想、論證等過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力. 例如，在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，教師可以給出幾道數(shù)學(xué)表達(dá)式，引導(dǎo)學(xué)生觀察、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并讓學(xué)生嘗試編寫問(wèn)題，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，自然生成完全平方公式，再通過(guò)運(yùn)算、推理確定公式的合理性. 通過(guò)以上探索，學(xué)生能體驗(yàn)代數(shù)推理的內(nèi)涵和用途，切實(shí)提升推理能力. 同時(shí)，在知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生反思：正在做什么（目標(biāo)）？為什么要這么做（依據(jù)）？接下來(lái)該做什么（方向）？能得到什么結(jié)論？等等. 這樣的反思有助于學(xué)生厘清思考過(guò)程中每一個(gè)判斷的理由和依據(jù)，使思考的過(guò)程和思維的軌跡變得清晰、有條理，從而提高思維的敏捷性和深刻性，以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 這正是促進(jìn)代數(shù)推理能力進(jìn)階的重要方式.

3. 代數(shù)推理教學(xué)要關(guān)注抽象性和直觀性

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式. 其中，代數(shù)推理和幾何推理的側(cè)重點(diǎn)不同. 代數(shù)推理注重運(yùn)用代數(shù)規(guī)則和運(yùn)算法則進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化，幾何推理則注重觀察和分析圖形的性質(zhì)和關(guān)系. 日常教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注代數(shù)推理與幾何推理的融合，豐富學(xué)生理性思維的提升路徑. 教師要認(rèn)識(shí)到代數(shù)推理的抽象性是其核心特征，但過(guò)于抽象的內(nèi)容容易使學(xué)生感到困惑. 因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀尋求代數(shù)推理的方法，從圖形（圖象）出發(fā)，將圖形問(wèn)題代數(shù)化，將代數(shù)推理結(jié)論借助直觀加以解釋，使抽象性和直觀性相結(jié)合，使學(xué)生逐步深入理解代數(shù)推理的本質(zhì)，從而整體提升推理能力和問(wèn)題解決能力.

4. 深層構(gòu)建代數(shù)推理認(rèn)知進(jìn)階體系

代數(shù)推理過(guò)程是逐級(jí)抽象和一般化的思維發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生的抽象思維得到高度發(fā)展. 代數(shù)推理的認(rèn)知發(fā)展由低到高分為具體化算術(shù)、結(jié)構(gòu)化算術(shù)、符號(hào)化概括、形式化建構(gòu)和一般化推廣五級(jí). 圖8的代數(shù)推理學(xué)習(xí)進(jìn)階系統(tǒng)中，每一級(jí)代表學(xué)生代數(shù)推理認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中的關(guān)鍵點(diǎn)，前三級(jí)對(duì)應(yīng)意識(shí)層的進(jìn)階發(fā)展，后三級(jí)對(duì)應(yīng)能力層的進(jìn)階發(fā)展. 其中，符號(hào)化概括是意識(shí)層和能力層鏈接的橋梁，既是意識(shí)層的最高級(jí)，也是能力層的起點(diǎn). 每一層級(jí)的發(fā)展都是以前一層級(jí)為基礎(chǔ)，呈現(xiàn)螺旋上升式發(fā)展.

[一般化推廣][辯證邏輯] [形式化建構(gòu)][理性一般] [分析] [符號(hào)化概括][理性具體] [抽象] [結(jié)構(gòu)化算術(shù)][感性一般] [概括] [具體化算術(shù)][感性具體] [識(shí)別] [認(rèn)知進(jìn)階] [思維發(fā)展] [能力層] [意識(shí)層][圖8 代數(shù)推理學(xué)習(xí)進(jìn)階系統(tǒng)]

加強(qiáng)代數(shù)推理占據(jù)“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)領(lǐng)域的重要位置. 綜合分析學(xué)生核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)的認(rèn)知進(jìn)階發(fā)展，可以為構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的學(xué)習(xí)進(jìn)階系統(tǒng)奠定基礎(chǔ). 日常教學(xué)中，教師要因材施教、循序漸進(jìn)，加強(qiáng)代數(shù)推理教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的理性思維.

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