基于軸對稱視角評析中考幾何壓軸題

摘 要：2024年中考數(shù)學(xué)浙江卷壓軸題為幾何綜合題，問題條件簡潔，蘊含的結(jié)論豐富. 圓的軸對稱性作為圓中最基本的性質(zhì)，在此題中起到了決定性作用. 聚焦圓的軸對稱性，對最后一道小題的通性通法、數(shù)學(xué)本質(zhì)、一般化推廣進行研究，并給出試題的命制評析和教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：中考壓軸題；圓；軸對稱；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0045-05

引用格式：聞國梁，張安軍. 基于軸對稱視角評析中考幾何壓軸題：對一道2024年中考試題的評析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：45-49.

作者簡介：聞國梁（1990— ），男，一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究；

張安軍（1975— ），男，正高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

2024年浙江省開始實施初中學(xué)業(yè)水平考試（以下統(tǒng)稱“中考”）省級統(tǒng)一命題. 首次實施省級統(tǒng)一命題的中考數(shù)學(xué)試卷的題型和難度不僅受到廣大師生的關(guān)注，而且對后續(xù)中考數(shù)學(xué)的備考具有一定的導(dǎo)向作用. 2024年中考浙江卷的壓軸題是一道圓與三角形、四邊形相結(jié)合的綜合題，其中考查的知識點、基本方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)、變式推廣具有一定的研究價值. 本文從此題的條件和所要求證的結(jié)論出發(fā)展開分析，聚焦圓的軸對稱性，探究問題解決的通性通法和數(shù)學(xué)本質(zhì)，最后對結(jié)論進行一般化推廣.

一、題目呈現(xiàn)

題目 如圖1，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，[AD<][AC]，[∠ADC<∠BAD.] 延長AD至點E，使[AE=][AC]，延長BA至點F，連接EF，使[∠AFE=][∠ADC].

[圖1]

（1）若[∠AFE=60°]，CD為圓的直徑，求∠ABD的度數(shù).

（2）求證：①[EF∥BC]；②[EF=BD].

作為中考壓軸題，此題的條件和圖形非常簡潔. 為了聚焦文章的核心內(nèi)容，略去對前面問題的討論，直接對第（2）小題第②問的解法、本質(zhì)和變式進行研究.

二、基于定性分析，確定圖形結(jié)構(gòu)

圖形結(jié)構(gòu)，即圖形中線段之間的位置和數(shù)量關(guān)系. 能否根據(jù)題中所給條件，確定圖形的結(jié)構(gòu)呢？分析題中的主干條件，并進行整理，得到如表1所示的圖形結(jié)構(gòu).

其中，條件①“圓內(nèi)接四邊形ABCD”等價于[∠ADC+∠ABC=180°]；對于條件⑤“[∠AFE=∠ADC]”，結(jié)合[∠ADC+∠ABC=180°]，可得[∠AFE+∠ABC=180°]. 所以[EF∥BC]. 可以按照如下順序確定該試題的圖形結(jié)構(gòu)：先畫一個圓內(nèi)接四邊形ABCD，滿足限制條件“②[AD<AC]”“③[∠ADC<∠BAD]”，再在AD的延長線上取點E，滿足條件“④[AE=AC]”，最后過點E作[EF∥BC]，交BA的延長線于點F. 雖然根據(jù)題中所給條件無法確定四邊形ABCD的形狀，但是當(dāng)四邊形ABCD確定后，△AEF也隨之確定. 第（2）小題第②問，即證明四邊形ABCD在變化的過程中，所蘊含的不變性條件為[EF=BD].

三、基于合情推理，開展演繹證明

解題成功的關(guān)鍵在于選擇正確的角度，從容易突破的點入手，尋求問題的求解路徑.

1. 構(gòu)造全等三角形

題目中已知的邊的數(shù)量關(guān)系有[AE=AC]，角的數(shù)量關(guān)系有[∠AFE=∠ADC]. 圓中也包含與角相關(guān)的諸多性質(zhì)，如同弧所對的圓周角相等，圓的內(nèi)接四邊形的對角互補等. 要證[BD=EF]，學(xué)生容易想到證明線段EF和線段BD所在的兩個三角形全等. 雖然線段AE和線段EF是△AEF的兩條邊，但是線段AC和線段BD不在同一個三角形中. 于是構(gòu)造一個以線段AC和線段BD為邊的三角形是求解此題的難點. 我們不妨來轉(zhuǎn)化線段AC.

如圖2，構(gòu)造過點D的弦DG，使[DG=AC]（當(dāng)然也可以構(gòu)造過點B的弦，這里不重復(fù)說明）. 在圓中構(gòu)造一條弦等于已知弦的方法是多樣的，可以過點C作一條與弦AD平行的弦CG，連接DG. 因為圓是軸對稱圖形，也可以通過軸對稱變化，作線段AC關(guān)于線段AD的垂直平分線的對稱線段DG. 從而將線段AC和線段DB集中在一個三角形中.

[圖2]

證法1為根據(jù)軸對稱變換構(gòu)造輔助線的證明方法.

證法1：如圖3，作線段AC關(guān)于線段AD的垂直平分線的對稱線段DG，連接BG. 根據(jù)圓的軸對稱性，可得點G在圓上，且[DG=AC]. 則[AC=DG]. 所以[∠ADC=][∠DBG]. 因為[∠AFE=∠ADC]，所以[∠AFE=∠DBG]. 因為AE = AC = DG，[∠EAF=∠DGB]，所以[△AEF≌][△GDB]. 所以[EF=BD].

[圖4] [圖3]

上述證法通過在圓內(nèi)構(gòu)造三角形全等證明線段相等. 考慮到線段AE與AC相等且有一個公共的端點A，于是可以將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)[∠EAC]的度數(shù)得到[△AEF]，如圖4所示. 只要證明點[F]在圓上即可. 這一方法的本質(zhì)也是利用全等三角形的性質(zhì)完成證明，這里不再贅述.

2. 構(gòu)造相似三角形

題中已知的數(shù)量關(guān)系有[AE=AC]. 要證[BD=EF]，如果能證明比例式[AEEF=ACBD]，即可得證. 由第（2）小題第①問的結(jié)論[EF∥BC]，想到構(gòu)造與[△AEF]相似的三角形. 如圖5，延長EA，CB交于點G，即可得到[△AGB∽△AEF]. 根據(jù)圓中的相關(guān)性質(zhì)，可以得到[△AGC∽△BGD]，通過相似三角形的性質(zhì)，即可求證[EF=BD]，于是得到了下面的證法.

[圖5]

證法2：如圖5，延長EA，CB交于點G. 因為[EF∥][BC]，所以[∠E=∠G]，[∠AFE=∠ABG]. 所以[△AEF∽][△AGB]. 所以[AEEF=AGGB]. 因為[∠AGC=∠BGD]，[∠ACB=][∠BDA]，所以[△AGC∽△BGD]. 所以[AGBG=ACBD]. 所以[AEEF=ACBD]. 因為[AE=AC]，所以[EF=BD].

3. 構(gòu)造等腰三角形和平行四邊形

構(gòu)造等腰三角形和平行四邊形也是證明線段相等的常用方法. 題中已知的數(shù)量關(guān)系有[AE=AC]，可以構(gòu)造等腰三角形AEC. 要證明[BD=EF]，能否構(gòu)造以BD為腰的等腰三角形呢？聯(lián)想第（2）小題第①問的結(jié)論EF∥BC，自然想到構(gòu)造平行四邊形，得到下面的證法.

證法3：如圖6，連接EC，過點E作[EH∥BF]，交BC的延長線于點H. 所以四邊形EFBH是平行四邊形. 所以[EF=BH，∠EHB=∠AFE]. 因為[∠AFE=∠ADC]，所以[∠EHC=∠ADC]. 所以C，D，E，H四點共圓. 則[∠AEC=∠DHB]. 因為[∠DBC=∠DAC]，所以[△ACE∽][△BDH]. 所以[ACBD=AEBH]. 因為[AC=AE]，所以[BD=BH]. 因為[EF=BH]，所以[EF=BD].

[圖6]

四、試題的推廣

一道好的數(shù)學(xué)題往往令人回味無窮，浮想聯(lián)翩. 解題完成后對題目進行重新審視，發(fā)現(xiàn)條件“[AD<][AC]”“[∠ADC<∠BAD]”在解題過程中好像沒有起到太大的作用，那么能否去掉呢？帶著這個疑問，筆者深入探究，同時聚焦圖形軸對稱的本質(zhì)，對條件和結(jié)論進行普遍化、特殊化、類比、分解和重組等操作，設(shè)計變式進一步推廣結(jié)論.

1. 去掉條件[AD<AC]

當(dāng)[AD=AC]時，點E與點D重合，如圖7所示. 因為[AE=AC]，即AD = AC，所以[∠ADC=∠ACD]. 因為[∠ABE=][∠ACD]，[∠AFE=∠ADC]，所以[∠ABE=][∠AFE]. 所以[EF=BD]，結(jié)論成立.

[圖7] [圖8]

如圖8，當(dāng)[AD>AC]時，點E在線段AD上. 此時仍然可以利用軸對稱變化，將線段AC和線段BD集中到一個三角形中，通過證明[△AEF≌△GBD]來證明[EF=][BD]，結(jié)論仍然成立. 這說明條件[AD<AC]是可以省略的.

變式1：如圖9，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，[AD>][AC]，[∠ADC<∠BAD]. 在線段AD上取點E，使[AE=AC]，過點E作[EF∥BC]，交BA的延長線于點F. 求證：[EF=BD].

[圖9]

此變式中的[△AEF]需要學(xué)生自行作圖. 雖然點E的位置發(fā)生改變，但是解決問題的方法不變，結(jié)論仍然成立.

2. 去掉條件[∠ADC<∠BAD]

如圖10，當(dāng)[∠ADC=∠BAD]時，點F與點A重合. 因為[∠ADC=∠BAD]，所以[AC=BD，AC=BD]. 所以[AB=CD.] 所以[∠ACB=∠CAD]. 所以[BC∥AD]. 因為[EF∥][BC]，所以點F與點A重合. 因為[AE=AC]，所以[EF=][BD]. 此時，雖然[∠FAE]不存在，但是結(jié)論仍然成立.

[圖10]

如圖11，當(dāng)[∠ADC>∠BAD]時，點F在線段AB上. 作AC關(guān)于線段BC的垂直平分線的對稱線段BG，連接DG. 由軸對稱的性質(zhì)，可得[BG=AC]. 所以[BG=AC=AE]. 所以[∠BDG=∠ABC=∠AFE]，[∠BGD=][∠BAD]. 所以[△AEF≌△GBD]. 所以[EF=BD]. 結(jié)論仍然成立，說明條件[∠ADC<∠BAD]可以省略.

[圖11] [圖12]

變式2：如圖12，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，[AD<AC]，[∠ADC>∠BAD]. 在線段AD的延長線上取點E，使[AE=AC]，過點E作[EF∥BC]，交線段AB于點F. 求證：[EF=BD].

此變式中的△AEF需要學(xué)生自行作圖. 雖然點F的位置發(fā)生改變，但是解決問題的方法不變，結(jié)論仍然成立.

變式3：在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC和BD是四邊形ABCD的對角線，點E在線段AD上（不與點A，D重合），過點E作[EF∥BC]，交線段BA的延長線于點F，求證：[EFBD=AEAC].

此變式對條件進行了一般化處理，需要學(xué)生自行作圖. 其中，點F的位置有三種情況：① 當(dāng)[∠ADC=][∠BAD]時，點F與點A重合；② 當(dāng)[∠ADC>][∠BAD]時，點F在線段AB上；③ 當(dāng)[∠ADC<∠BAD]時，點F在線段BA的延長線上. 此變式的解法還是通過圖形的軸對稱變化，將線段AC和線段BD轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，證明該三角形與[△AEF]相似.

變式4：在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC和BD是四邊形ABCD的對角線，[AD<AC]. 在線段AD上取點E，在直線AB上取點F，連接EF，且滿足[EFBD=AEAC]，探究[∠AFE]與[∠ADC]的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

與變式3相比，變式4將條件和結(jié)論進行了對換. 此時[∠AFE]和[∠ADC]之間的數(shù)量關(guān)系有兩種情況，即[∠AFE=∠ADC]或[∠AFE+∠ADC=180°].

五、對試題命制的評析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對第四學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W業(yè)質(zhì)量描述中指出，知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征，能運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理證明，初步掌握幾何證明方法，進一步增強幾何直觀、空間觀念和推理能力. 幾何試題的評價要凸顯幾何直觀、空間觀念和推理能力等核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn).

首先，素養(yǎng)立意下的適度創(chuàng)新. 通過對上述解法的分析與拓展，發(fā)現(xiàn)命題者以素養(yǎng)立意為導(dǎo)向來選擇合適的素材. 近年來，各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中壓軸題的命制傾向于以圓為背景的綜合性試題，聚焦對圓內(nèi)部圖形的性質(zhì)探究. 但此題的命制卻另辟蹊徑，將圓的內(nèi)接四邊形延伸到圓外的三角形，以圓為關(guān)聯(lián)，架構(gòu)對圓的內(nèi)接四邊形與圓外部三角形關(guān)系的研究. 看似“年年歲歲花相似”，但“歲歲年年花不同”. 由于立意不同，試題內(nèi)涵與同類試題也大相徑庭，有效地避免了學(xué)生對同類型題的重復(fù)練習(xí).

其次，聚焦對“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心內(nèi)容進行考查. 基于平行線、直角三角形、圓、等腰三角形等幾何基本圖形，考查了學(xué)生對平行線的判定定理、圓周角定理、圓心角定理、全等三角形等基礎(chǔ)知識的掌握情況，以及綜合利用圓的內(nèi)接四邊形的對角互補、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定定理、相似三角形的性質(zhì)等知識解決問題的能力.

在具體設(shè)問上，第（1）小題設(shè)置圓心在圓的內(nèi)接四邊形的一條邊上，由已知圓外三角形的一個外角探索圓內(nèi)的圓周角. 第（2）小題由兩個小問組成. 第①問中，由圓心在圓的內(nèi)接四邊形的邊上這個特殊位置到一般位置的變化，體現(xiàn)了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生探究圓外三角形的主要元素邊EF與圓的內(nèi)接四邊形ABCD的主要元素邊BC的位置關(guān)系；第②問中，讓學(xué)生繼續(xù)探究圓外三角形的主要元素邊EF與圓的內(nèi)接四邊形ABCD的相關(guān)元素對角線BD的數(shù)量關(guān)系，重視對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.

最后，設(shè)問前后連貫、層次分明. 整道題的設(shè)問聚焦圓的內(nèi)接四邊形ABCD的主要元素及相關(guān)元素與圓外部三角形的主要元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 各小問進階層次分明、前后連貫、邏輯一致，很好地體現(xiàn)了邏輯推理的傳遞性. 解答的起點低、入口寬，各小問之間層層推進. 最后一問的證明方法多樣，在構(gòu)造全等三角形、相似三角形和等腰三角時，蘊含尺規(guī)作圖或幾何變換等方法，不僅考查了學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和通法通性，也考查了學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力，更凸顯了思維的深刻性和靈活性，能很好地引領(lǐng)教與學(xué).

那么，什么樣的試題才是好的試題呢？吳增生認為，好的試題有以下三個特征：試題的有效性與可靠性；試題的教育性；試題的教學(xué)導(dǎo)向性. 通過上述分析，發(fā)現(xiàn)該題具有這些特征.

六、教學(xué)建議

《標準》在學(xué)業(yè)水平考試中，明確要求問題的設(shè)置要有利于考查對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達和應(yīng)用，注重考查學(xué)生的思維過程. 2024年中考浙江卷的幾何壓軸題條件簡潔、內(nèi)涵豐富而又深刻. 問題聚焦對“圖形與幾何”領(lǐng)域基本概念和基本性質(zhì)的考查，在幾何推理過程中顯露了學(xué)生的思維過程，考查了學(xué)生的幾何直觀和推理能力等素養(yǎng)，彰顯了“堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人價值”的命題原則. 對于在日常的幾何教學(xué)中如何提高學(xué)生的推理能力，筆者給出如下建議.

1. 關(guān)注圖形的構(gòu)造過程

圖形不僅是幾何題目的研究對象，對于很多與幾何沒有關(guān)系的題目，圖形也是一個重要的幫手. 如果一道幾何題中有很多細節(jié)，我們不可能同時想象出所有的細節(jié)，但它們卻能同時體現(xiàn)在一個圖形中. 當(dāng)題中沒有給出圖形時，我們要根據(jù)所給條件畫出對應(yīng)圖形，并將題中所給的條件盡可能多地標注在圖形上. 當(dāng)題中給出圖形時，也要引導(dǎo)學(xué)生思考圖形的要素是如何構(gòu)造出來的，即思考：先確定什么要素，再確定什么要素？圖形的結(jié)構(gòu)（形狀）是唯一確定的嗎？圖形的大小確定嗎？例如，對于圖2，教師可以追問學(xué)生：“點E和點F是如何確定的？你能根據(jù)題中所給的四邊形ABCD畫出△AEF嗎？”作圖就是確定點的位置，通過兩條軌跡的交點來作出這個點. 點E容易找，但是點F的位置不好確定，需要將[∠AFE=][∠ADC]的條件轉(zhuǎn)化為[EF∥BC]的位置關(guān)系. 對于變式1和變式2，需要構(gòu)造△AEF；對于變式3，則需要構(gòu)造出全部圖形，同時點F的位置有三種情況，結(jié)論不變；對于變式4，根據(jù)條件可知滿足要求的點F的位置有兩個，所以[∠AFE和∠ADC]之間的數(shù)量關(guān)系存在兩種情況. 思考作圖的先后順序可以有效引導(dǎo)解題思路，為解題提供重要線索. 因此，關(guān)注圖形的構(gòu)造過程，可以培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣和嚴謹?shù)倪壿嬎季S，提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

2. 關(guān)注圖形的對稱結(jié)構(gòu)

幾何證明題的難點在于轉(zhuǎn)化已知條件，建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系. 這需要教師從中“牽線搭橋”.“造橋”的靈感來自于哪？是否有跡可循？章建躍博士認為，我們應(yīng)該追求解決問題的“根本大法”——基本概念所蘊含的思想方法，強調(diào)思想指導(dǎo)下的解題操作. 圓的對稱性是圓最基本的性質(zhì)，基于對稱性可以推導(dǎo)出垂徑定理等性質(zhì). 同時，圖形的軸對稱變化也是圖形變化、轉(zhuǎn)化條件的重要方法. 因此，在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的整體結(jié)構(gòu). 例如，在圓的單元復(fù)習(xí)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以設(shè)置如下問題：“圓是軸對稱圖形，在圓中添加任意一條弦還是軸對稱圖形. 如果在圓中添加兩條弦，你能得到哪些軸對稱圖形？盡可能多地畫出不同圖形并標出對稱軸.”學(xué)生在進行充分地思考、畫圖、交流、補充后，可以得到如圖13 ～ 圖16這四種對稱結(jié)構(gòu)，而題目最后一問的基本圖形結(jié)構(gòu)就是圖15和圖16. 與圓相關(guān)的問題往往是這些圖形的分解和重組. 因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的對稱結(jié)構(gòu).

[圖13] [圖14]

[圖15] [圖16]

七、結(jié)束語

正如羅素所說，數(shù)學(xué)，如果正確地看，不但擁有真理，而且具有至高的美. 對于這道以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的中考試題，從軸對稱的視角看圖形的整體結(jié)構(gòu)，不但多種解法油然而生，而且能使學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)、解題的通性通法和圖形結(jié)構(gòu)的對稱美.

參考文獻：

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［3］吳增生. 初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試命題變革的思考與實踐［J］. 數(shù)學(xué)通報，2021，60（1），41-51.