恒成立問題的求解策略

楊道坦+楊英輝

恒成立問題是指題設(shè)中含有恒成立條件的問題，此類問題具有“變”中“不變”的特點(diǎn)，題型涉及函數(shù)的圖像和性質(zhì)，滲透著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力。本文對(duì)常見的恒成立問題的求解策略進(jìn)行歸類與解析，以饗讀者。

一、構(gòu)造函數(shù)法

例：設(shè)集合P={m|-1

A. PQ B. QP C. P=Q D. P∩Q=?

分析：不等式與函數(shù)關(guān)系密切。遇到不等式問題時(shí)，可考慮構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)來解決問題。

解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=mx2+4mx-4，對(duì)其函數(shù)類型進(jìn)行討論：

當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-4<0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）=mx2+4mx-4<0恒成立m<0且?=（4m）2+16m<0，即-1

評(píng)注：構(gòu)造函數(shù)法是解決不等式恒成立問題的常用方法。本題的易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽略m=0的情況，習(xí)慣地將f（x）視為二次函數(shù)，從而出現(xiàn)漏解情形，容易錯(cuò)選為C。

一般情況下，這種題型的解題步驟是：先構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax2+bx+c。

ax2+bx+c>0恒成立a=b=0，c>0或a>0，?<0；

ax2+bx+c<0恒成立a=b=0，c<0或a<0，?<0。

變式研究：求使不等式mx2+4mx-4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈〔-1，1〕恒成立的條件。

分析：解此題時(shí)不要思維定勢(shì)，應(yīng)換位思考，把不等式mx2+4mx-4<0視為關(guān)于m的不等式。將所求范圍的參數(shù)視作已知量，將已知范圍的參數(shù)視作參變量，從而構(gòu)成新的函數(shù)解析式。

設(shè)f（m）=mx2+4mx-4=（x2+4x）m-4，m∈〔-1，1〕

f（m）<0，m∈〔-1，1〕恒成立

解得-2-2

評(píng)注：本題看上去是一個(gè)不等式問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，我們把它化歸為一個(gè)非常簡單的函數(shù)問題。一般情況下，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax+b。

二、分離參變量法

例：已知c>0，設(shè)P：函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù)，Q：關(guān)于x的不等式x+|x-2c|>1的解集是R，如果P和Q中有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍。

分析：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量（非參變量）的范圍已知，則可以通過恒等變形將參變量和非參變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題。

三、構(gòu)造恒等式法

例：設(shè)A、B是拋物線y2=2px（p>0）上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β=時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由題意得x1，x2≠0，又直線OA，OB的傾斜角α，β滿足α+β=，得0

將y1+y2=，y1·y2=代入上式整理化簡，得b=2p+2pk，此時(shí)直線AB的方程可表示為y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）-（y-2p）=0。

等式k（x+2p）-（y-2p）=0是不隨著k的變化而變化的恒等式，故，故直線AB恒過定點(diǎn)（-2p，2p）。

評(píng)注：解本題的關(guān)鍵是抓住A、B兩點(diǎn)的“變”中有α+β= “不變”的特點(diǎn)，以等式為載體，構(gòu)造關(guān)于k的恒等式，在恒等式中比較等式兩邊的系數(shù)，列方程組進(jìn)行求解。