數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

楊靜梅

摘要：

數(shù)學(xué)課程要介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用趨勢(shì)，以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展過(guò)程中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.要達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中僅僅作“介紹”是不夠的，而應(yīng)連同其背后隱藏的思想方法、對(duì)學(xué)生人格的啟發(fā)作用等等，都要“滲透”在數(shù)學(xué)課程和教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)史上有許多“火熱”的思考，正是經(jīng)過(guò)這些思考，將數(shù)學(xué)打造成一門邏輯性極強(qiáng)，高度抽象的學(xué)科，正是這些思考將數(shù)學(xué)本質(zhì)完完整整的呈現(xiàn)出來(lái).教師將這些內(nèi)容介紹給學(xué)生，將在概念的引入、學(xué)生思維的建構(gòu)方面起到意想不到的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；思想方法；人格培養(yǎng)

要上好一堂數(shù)學(xué)課就需要有一個(gè)好的導(dǎo)入，好的導(dǎo)入能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使數(shù)學(xué)課生動(dòng)有活力，數(shù)學(xué)史就是一個(gè)很好的導(dǎo)入。其實(shí)，一些數(shù)學(xué)的發(fā)展往往都是伴隨著實(shí)際需要應(yīng)運(yùn)而生的，數(shù)學(xué)史正好是這一歷程的見證者，它反映了數(shù)學(xué)家們致力于研究數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維過(guò)程和方式，學(xué)生了解數(shù)學(xué)史無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)會(huì)有更大的體會(huì).在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情操和弘揚(yáng)民族精神起著很大的作用。

1 問(wèn)題提出

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中教師在課堂上講授的知識(shí)偏重于演繹論證的訓(xùn)練，忽視了知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程.教科書上講的往往是成熟的、完美的知識(shí)，而不講授獲得真理的艱苦歷程，學(xué)生認(rèn)識(shí)不到數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性，更不能了解知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，學(xué)生易產(chǎn)生誤解：以為數(shù)學(xué)家獲得知識(shí)很輕松，因此聯(lián)系新課程改革將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合已成為一種趨勢(shì)。

2數(shù)學(xué)史的作用

2.1數(shù)學(xué)史有利于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)

數(shù)學(xué)中不少概念是抽象的，難以理解的.因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，直接引用那些能體現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)的產(chǎn)生、發(fā)展重要階段的數(shù)學(xué)史資料，通過(guò)這些生動(dòng)的歷史資料，使學(xué)生能更好的掌握概念，從而培養(yǎng)正確的思維方式。

學(xué)生常常只記住了數(shù)學(xué)知識(shí)的形式和符號(hào)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)卻知之甚少。對(duì)此多數(shù)教師都會(huì)有一種心有余而力不足的感覺，要改變這種狀況就應(yīng)該考慮把數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)，幫助學(xué)生深刻理解學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)。美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊茵指出： 歷史上的大數(shù)學(xué)家遇到的困難，恰好是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)歷的障礙。另外，學(xué)生克服這些困難的方式與數(shù)學(xué)家用過(guò)的方式是大致相同的，按照克萊茵的觀點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程與數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程有許多相似之處，數(shù)學(xué)的歷史能夠?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)提供有益的幫助，使學(xué)生透徹地理解相關(guān)知識(shí)。

例1.在學(xué)習(xí)球體面積的時(shí)候，教師可以引入阿基米德發(fā)明的球面積和體積的平衡法，求出面積或體積后，再用窮竭法加以證明。平衡法與窮竭法的結(jié)合是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范.阿基米德用平衡法推導(dǎo)了球的體積公式，平衡法實(shí)際上體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績(jī)，但是，平衡法本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基米德意識(shí)到了他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以他用平衡法求出一個(gè)面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴(yán)格證明[1]。

阿基米德阿基米德發(fā)明的求面積和體積的平衡法，求出面積或體積后，再用窮竭法加以證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師借助不同的方法解決問(wèn)題從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、本質(zhì)的理解與掌握。

例2.對(duì)于解一元一次方程，我國(guó)和西方的數(shù)學(xué)家曾給出相似的解法，在公元4世紀(jì)巴克沙里的手稿中，曾有這樣的記錄： 甲乙丙丁四人各持金，乙為甲的2倍，丙為乙的3倍，丁為乙的4倍，并知4人持金的總數(shù)為132盧比，問(wèn)甲持金多少？ 那時(shí)的數(shù)學(xué)家先假設(shè)甲為一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)，如1盧比，則4人共持金33盧比，與132 比較后得知是4 倍的關(guān)系，所以甲持金為盧比。這種方法后來(lái)在歐洲被稱為試位法.同時(shí)不難看出，方程的發(fā)展源于人們生活的實(shí)際需要，但是這種解決方法，因?yàn)槠溥^(guò)程中只采用了一次假設(shè)，即單假設(shè)法，所以能夠適用的范圍較狹窄。與單假設(shè)法不同的是，我國(guó)的“盈不足術(shù)”應(yīng)用更廣泛，盈不足術(shù)也叫契丹算法萬(wàn)能算法及雙假設(shè)法[2]。

《九章算術(shù)》第七章即為盈不足，李籍音義說(shuō)： 盈者滿也不足者，虛也，滿虛相推，以求其適，故曰盈不足。通過(guò)兩次假設(shè)，來(lái)求繁難問(wèn)題的解的方法。

可見盈不足術(shù)這種雙假?zèng)]法比起前述的單假設(shè)法具有一般性和普遍性。教師借助各種不同的解決方法來(lái)解問(wèn)題，其主要作用在于幫助學(xué)生沖破思維上的局限。對(duì)學(xué)生而言，可以幫助他們?cè)诹祷髦袑ふ矣忠淮?，從而提高他們的?shù)學(xué)思維能力。

2.2數(shù)學(xué)史有利于提高教學(xué)質(zhì)量

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家的感人事跡，以及數(shù)學(xué)家對(duì)真理不懈追求的精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，可以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

（1）函數(shù)概念建構(gòu)的教學(xué)

現(xiàn)在公認(rèn)的函數(shù)概念的定義是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲給出的。這可能是他第一個(gè)引入“函數(shù)”一詞有關(guān)。1673年，他在一篇手稿里首先引入“函數(shù)（拉丁文functio）”，并用它來(lái)表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)度、垂線的長(zhǎng)度等等，即所有與曲線上點(diǎn)有關(guān)的量，也就是說(shuō)，萊布尼茲把把函數(shù)看作是一個(gè)幾何量；是隨著曲線上點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量。由此可見，函數(shù)概念引入初期，人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)還是相當(dāng)膚淺的。為了適應(yīng)和推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們對(duì)它進(jìn)行了一次又一次的擴(kuò)展，使函數(shù)概念逐漸完整起來(lái)。

（1）可以畫出函數(shù)圖象，（2）根本就畫不出圖象，是不是函數(shù)呢？就從當(dāng)時(shí)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平來(lái)看，就可能得出不是函數(shù)的結(jié)論。但這兩個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)史上是“有名”的函數(shù)。（1）參與了“真函數(shù)”與“假函數(shù)”的討論：當(dāng)時(shí)人們將只有一個(gè)解析式的函數(shù)稱為“真函數(shù)”，反之則稱為“假函數(shù)”，其實(shí)已經(jīng)看到“假函數(shù)”也是函數(shù)的一種，只是從當(dāng)時(shí)的函數(shù)定義來(lái)看，還不是“函數(shù)”。很快地隨著函數(shù)定義的擴(kuò)充，這一類“假函數(shù)”也成為函數(shù)中的一員，沒(méi)有人再對(duì)他們的“身份”產(chǎn)生懷疑了。（2）將“對(duì)應(yīng)”引入了函數(shù)的定義中，它根本就畫不出函數(shù)圖象，只能從對(duì)應(yīng)的角度考慮，形成了現(xiàn)在高中的函數(shù)的概念。

（2）對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的教學(xué)

問(wèn)題情境是概念，規(guī)律賴以產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景。數(shù)學(xué)概念、規(guī)律是前人知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的概括總結(jié)，往往具有一定的抽象性。因此講授概念、規(guī)律之前，若能呈現(xiàn)相關(guān)的背景材料。促使學(xué)生主動(dòng)地自由地去想象、思考、探索，了解知識(shí)的形成過(guò)程，使數(shù)學(xué)概念、規(guī)律自然產(chǎn)生出來(lái)，那么我們守到得效果不僅僅是知識(shí)的本身了。下面就也對(duì)數(shù)運(yùn)算法則教學(xué)談?wù)勛约旱母邢搿?/p>

例4.問(wèn)題提出：觀察下例兩例數(shù)，你能從中得出什么規(guī)律？

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10……

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024……

學(xué)生1：上一行數(shù)是自然數(shù)列，下一行數(shù)中每一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的兩倍，或者說(shuō)每一個(gè)是，其中n取自對(duì)應(yīng)上的一行數(shù)。

教師提示：當(dāng)我們計(jì)算512×1024時(shí)或計(jì)算后面更大的數(shù)時(shí)，數(shù)字顯得比較大，如何使我們的表示顯得更簡(jiǎn)潔一點(diǎn)，減輕我們的思想負(fù)擔(dān)？

教師分析：由以上運(yùn)算法則，如我們知道logam，logan的值，那么我們就可以計(jì)算mn的值了。事實(shí)上在上面的兩列數(shù)

中，log2512=9，log21024=10所以我們可以通過(guò)9與10想加來(lái)計(jì)算512與1024的乘積。而這恰是對(duì)數(shù)的一大作用，引入對(duì)數(shù)的意圖是將乘除運(yùn)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算，所以著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯贊譽(yù)說(shuō)：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。

2.3數(shù)學(xué)史有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

課堂教學(xué)中，適當(dāng)加入數(shù)學(xué)史常識(shí)，有助于拓寬學(xué)生的知識(shí)面，改變學(xué)生認(rèn)為“數(shù)學(xué)很枯燥”的偏見，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解題方法并不唯一。

（1）數(shù)學(xué)史在等差、等比數(shù)列學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的歷史也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展史，引導(dǎo)學(xué)生重復(fù)古人在解決問(wèn)題時(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，從而了解數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，形成正確的數(shù)學(xué)觀。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐家萊認(rèn)為：“教育工作者上課任務(wù)就是要讓孩子的思維經(jīng)歷祖先之經(jīng)歷，迅速通過(guò)一些階段而不跳過(guò)任何階段?！焙商m數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家福來(lái)登塔爾稱；“年輕的學(xué)習(xí)者重沓人類學(xué)習(xí)的過(guò)程，盡管方式改變。”他把過(guò)于注重邏輯嚴(yán)密性，沒(méi)有絲毫歷史感的教材比喻成“把火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗” [5]。

例5.等差、等比數(shù)列的求和方法

等差數(shù)列和等比數(shù)列是數(shù)學(xué)中最古老的問(wèn)題之一，他們的歷史至少可以追溯到三四千年的古埃及（早在約公元前1700年成書的“紙草算書”中就已經(jīng)有記載了）。在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，我們可以對(duì)課本中提出的用“錯(cuò)位相減”法求和進(jìn)一步思索：為什么要在和式：Sn=a＼-1+a＼-1q+a＼-1q＼+2+…a＼-1q＼+n-1的兩邊同時(shí)乘以公比q？是否還可以由等比數(shù)列及其和的定義、通項(xiàng)公式得出其它求和方法（或更簡(jiǎn)單的方法）呢？其實(shí)歐幾里得在《幾何原本》中早就給出了等比數(shù)列的求和公式，其證明過(guò)程如下：

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師考慮的效率問(wèn)題、應(yīng)考的問(wèn)題往往就采用“總結(jié)規(guī)律”的方法，這提高了學(xué)生的應(yīng)試能力，但數(shù)學(xué)教學(xué)中最精彩的部分——波利亞所謂的“怎樣解題”，并沒(méi)有教授給學(xué)生，學(xué)生僅成為一個(gè)真正意義上的“解題機(jī)器”在數(shù)學(xué)史引入課堂教學(xué)后，學(xué)生不但對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，求和的思想方法等有深刻的了解，掌握得牢固靈活而且在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中，提高和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體會(huì)到了解題的樂(lè)趣[4].

（2）數(shù)學(xué)史在二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

作為二項(xiàng)式展開式的系數(shù)表，教材中出現(xiàn)了“楊輝三角”。教師講二項(xiàng)式定理時(shí)，不妨讓學(xué)生多了解一些關(guān)于它的知識(shí)，世界上最早發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用這一“三角”的人，并不是楊輝，而是我國(guó)北宋時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家賈憲，此圖原名為“開方作法本源”。運(yùn)用此圖即可求得任意高次展開式系數(shù)，又可進(jìn)行任意高次冪的開方，它還是研究任意高次方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)。在歐洲人們稱他為“帕斯卡三角”。雖然帕斯卡在距賈憲幾百年以后才發(fā)現(xiàn)了它，但他對(duì)它進(jìn)行了更進(jìn)一步的研究，建立了正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理：

（a+b）n=C0n+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn

帕斯卡還把這一“三角”用于高階等差數(shù)列求和，并成功地應(yīng)用它解決了賭博過(guò)程中的賭金分配的難題—點(diǎn)數(shù)問(wèn)題，以此成為概率的創(chuàng)始人之一[5]。

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)史教育在促進(jìn)學(xué)生智力、能力和學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)良好道德品質(zhì)的過(guò)程中所起的作用不應(yīng)忽視，在數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘教材中的數(shù)學(xué)史教育資源是教材培養(yǎng)功能和教育功能的具體體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教育中運(yùn)用好、發(fā)揮好數(shù)學(xué)史教育在教學(xué)中的作用，可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、具有感染力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量有著事半功倍的作用。 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多問(wèn)題的解決需要借助數(shù)學(xué)史知識(shí)。數(shù)學(xué)史可以告訴我們概念、定理、公式的由來(lái)、產(chǎn)生的背景。中學(xué)生大都向往發(fā)明、創(chuàng)造，喜歡追根溯源，教學(xué)中要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)去激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生的注意力，給枯燥的符號(hào)數(shù)學(xué)融入生動(dòng)感人的故事，使之引人入勝，催人奮進(jìn)。

[參考文獻(xiàn)]

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（作者單位： 曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，云南 曲靖 655011）